09现代控制理论chp1-1

1、第一章控制系统的状态空间表达式1-1 状态变量及状态空间表达式1-2 状态空间表达式的模拟结构图1-3 状态空间表达式的建立(一)1-4 状态空间表达式的建立(二)1-5 状态向量的线性变换(坐标变换)1-6 从状态空间表达式求传递函数阵1-7 离散时间系统的状态空间表达式1-8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式1本章的重点内容状态空间表达式的模拟结构图状态空间表达式建立的基本方法状态向量的线性变换从状态空间表达式求传递函数阵21-1 状态变量及状态空间表达式状态变量状态矢量状态空间状态方程输出方程状态空间表达式状态空间表达式的系统方块图31-1-1 状态变量v 状态变量的定义：v 完全表

2、征的含义：4.一旦给定变量组在t=t0时刻的数值，则只要知道t t0的输入变量ui(t)(i=1,2,r),就能唯一确定这一变量组本身及输出变量yi(t)(i=1,2,m)在t t0时刻的一切值足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量称为状态变量u1y1u2动力学系统.y2.S.u.r.ymx1x2xn1-1-1 状态变量（续） y(t)=ke(t)5 表达式是代数方程； 系统的行为可以由输出与输入的瞬时关系确定，与系统的过去历史无关,不需要引入状态变量； 网络中只包含瞬时元件，没有任何储能元件；k=r2/(r1+r2)r1e(t)r2y(t)1-1-1 状态变量（续）dy/dt=i(t)

3、/C 1C 1C 1Ctttt )dt =t )dti(t )dty(t) =+0i(i(-t0y(t) = y(t) + 1ti(t )dt0Ct06x&(t) = y&(t) = i(t) / Ctt0 ,x(t0 ) = y(t0 )i(t)cy(t)1-1-1 状态变量（续）7x&(t) = y&(t) = i(t) / Ctt0 ,x(t0 ) = y(t0 ) 表达式是微分方程； 网络中有一个储能元件电容C； 系统未来的行为受过去历史的影响，必须引入一个状态变量来概括这种影响i(t)cy(t)1-1-1 状态变量（续）v 状态变量的选取原则：8 状态变量相互独立，个数等于微分方程的

4、阶数； 状态变量的个数等于系立储能元件的个数； 同一系统中，状态变量的选取并不是唯一的。 从理论上讲，并不要求状态变量在物理上是可测的量，但在工程实践中，仍以选取那些容易测量的量作为状态变量为宜1-1-2 状态矢量如果n个状态变量用x1(t)、 x2(t)、 xn(t)表示，并把这些状态变量看作是矢量x(t)的分量，则x(t)就称为状态矢量。记作：x1(t) x(t)x(t) = x(t) = 2Tx (t), x(t), x(t)L或M12nx(t)n91-1-3 状态空间10x3x(t)x(t0)x2x1以状态变量x1、 x2、 xn为坐标轴所构成的n维空间， 称为状态空间1-1-4 状态

5、方程C duc= idtL di + Ri + u= ucdt= 1 iu&cC1LRL1Li& = -u-i +uc11R+iCuc-L由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为系统的状态方程1-1-4 状态方程（续）12x& = Ax + bu 1x00 x = 1 , A = C,b = 1 x2 - 1- C LL L 0 10 x&1 = Cx1 + ux& 1Rx 1 2 -2 L LLx&=1 x1C21R1x&= -x-x+u2L1L2L令x1 = uc , x2 = i1u&c =iC1R1i& = -u-i +uLcLL1-1-5 输出方程R令x1 = uc作为输出，则有i

6、+Cuc y = u y = x或-c1L或13CT = 10y = CT xy = 10 x1 x2 在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量之间的函数关系式，称为系统的输出方程1-1-6 状态空间表达式设单输入-单输出定常系统，其状态变量为x1, x2, , xn, 则状态方程的一般形式为：14x&1 = a11 x1 + a12 x2 +L+ a1n xn + b1ux&2 = a21 x1 + a22 x2 +L+ a2n xn + b2uLLx&n = an1x1 + an 2 x2 +L+ ann xn + bnu状态方程和输出合起来，构成对一个系统完整的动态描述， 称为系统的状态

7、空间表达式。1-1-6 状态空间表达式（续）输出方程的一般形式为：用向量表示的状态空间表达式为：n维状态矢量系统矩阵输入矩阵15a11a12La1n aaLaA = 21222n MOOMaaLan1n2nn x1 xx = 2 M xn b1 b b = 2 M b n x& = Ax + buy = CT xy = c1x1 + c2 x2 +L+ cnxn1-1-7 状态空间表达式（续）对具有r个输入，m个输出的复杂系统，设其状态变量为x1,x2, , xn, 则状态方程的一般形式为：16x&1 = a11 x1 + a12 x2 +L+ a1n xn + b11u1 + b12u2 +

8、L+ b1rur x&2 = a21 x1 + a22 x2 +L+ a2n xn + b21u1 + b22u2 +L+ b2rurLLx&n = an1x1 + an 2 x2 +L+ ann xn + bn1u1 + bn 2u2 +L+ bnrur1-1-7 状态空间表达式（续）输出方程的一般形式为：17y1 = c11 x1 + c12 x2 +L+ c1n xn + d11u1 + d12u2 +L+ d1rury2 = c21 x1 + c22 x2 +L+ c2n xn + d21u1 + d22u2 +L+ d2rurLLym = cm1x1 + cm2 x2 +L+ cmn

9、 xn + dm1u1 + dm2u2 +L+ dmrur1-1-7 状态空间表达式（续）多输入-多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为： x和A同单输入系统，分别为n维状态矢量和nn系统矩阵r维输入矢量m维输出矢量n r输入矩1阵8b11b12Lb1r bbLbB = 21222r MOOMbbLbn1n 2nr y1 yy = 2 M ym u1 uu = 2 M u r x& = Ax + Buy = Cx + Du1-1-7 状态空间表达式（续）x& = Ax + Buy = Cx + Dum n维输出矩阵m r直接传递矩阵19 d11d12Ld1r ddLdD = 21222r M

10、OOMddLdm1m2mr c11c12Lc1n ccLcC = 21222r MOOMccLcm1m2mn 1-1-8 状态空间表达式的系统方块图单输入单输出系统20x& = Ax + buy = CT x ux&xy+CTAb1-1-8 状态空间表达式的系统方块图多输入多输出系统Dy+xux&+21x& = Ax + Buy = Cx + DuCAB1-2 状态空间表达式的模拟结构图1.2.3.用途和绘制方法根据微分方程绘制模拟结构图根据状态空间表达式绘制模拟结构图221-2 -1模拟结构图的用途和绘制方法v 用途用于反映系统各状态变量之间的信息传递关系v绘制方法1.2.3.积分器的数目等

11、于状态变量数，将它们画在适当的位置；每个积分器的输出表示相应的某个状态变量；根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器；4.用箭头将这些元件连接起来；231-2-2 根据微分方程绘制模拟结构图例1一阶标量微分方程 x& = ax + buux&+24+xab1-2-2 根据微分方程绘制模拟结构图（续）例2三阶微分方程：可改写为： ux&x&x&+-25a0-a1&x&a2b&x&+ a2&x&+ a1x& + a0 x = bu&x& = -a0 x - a1x& - a2&x& + bu1-2-2 根据状态空间表达式绘制模拟结构图例3+x3x2x1yu+26-6+-3-2x&1

12、= x2x&2 = x3x&3 = -6x1 - 3x2 - 2x3 + u y = x1 + x21-3 状态空间表达式的建立（一）1.2.从系统方块图出发建立状态空间表达式从系统的机理出发建立状态空间表达式27281-3-1从系统方块图出发建立状态空间表达式例4 ux&3xx&2xx&1x= y 3K 2 21+-+T2+K 4-1T1T2K 3T3-1 K1T1 u y+-K 4K3T3sK2T2 s + 1K1T1s + 1例4290K30T3 0 x& = 0- 1K2 x + 0 uT2T2 K K K 1 1 - 140- T1 T1T1 y = 100xx&= K3 x1 T2

13、3x&= - 1 x+ K2 x2 T2T322x&= - 1 x- K1K4 x+ K1 u3 T3T1T111y = x1 ux&3xx&2xx&1x= y 3K 2 21+-+T2+K 4-1T1T2K 3T3-1 K1T11-3-1从系统方块图出发建立状态空间表达式（续）yu例5+u= yx1+-301s + aKsx2zps + p3-x-1s + aKss - z s + p+u= yx1+-x&1x&3x&2x3+x= yx u+ - z - p2+ 1+-31-a-Kp1s + aKsx2zps + p3-xx&1x&3x&2x3+x= yx u+ z - p2 1+- a10

14、000Kx& = - KK x + u- (z - p)y = 100x- pz - p32x&1 = x2 - ax1x&2 = Kx3 - Kx1 + Kux&3 = - px3 - (z - p)x1 + (z - p)u y = x1-a-Kp1-3-2 从系统的机理出发建立状态空间表达式v 常见的控制系统，按其能量属性，可分为： 电气 机械 机电 气动液压等v 一般遵循的物理规律有： 基尔霍夫定律 牛顿定律 能量守恒定律 虎克定律331-3-2从系统的机理出发建立状态空间表达式电网络如下图所示，输入量为电流源，并指定以电容C1和C2的电压作为输出，求此网络的状态空间表达式例5C2+u

15、c2l3i2i1bacL1L2ui4i3+c1iCR1R-1l2l213435C2+例5uc2l3i2i1bacL1L2ui4i3+c1iC1R1R2-ll12电流方程= - 1 x- 1 xx&134CC11x&- L x&= - x+ R x+ R iR C122131131电压方程+=-R2C2 x&2L2 x&4- L1x&3 + L2 x&4x1R2 x4= x2- L1x&3 + x1 + R1i3 = 0- x1 + L2x&4 + R2i4 = 0L2x&4 - L1x&3 - x2 = 0i + i3 + x3 - C2x&2 = 0C1x&1 + x3 + x4 = 0C2x&2 + x4 - i4 = 0uC= x1,uC= x212i1 = x3 ,i2 = x411= -x-x&x134CC11R1C2 x&2 - L1x&3= - x1 + R1x3= x1 - R2 x4+ R1i+ L2 x&4R2C2 x&2 011- L x&+ L x&= x-013242CC x 11 x&1C2 (R1 + R2 )R1R21 01-x&2 = C2 (R1 + R2 )C