标准偏差与相对标准偏差公式

1、标准偏差数学表达式：? S 标准偏差（ %)?n- 试样总数或测量次数，一般n 值不应少于0 30个?i-物料中某成分得各次测量值，1n ；标准偏差得使用方法六个计算标准偏差得公式 1标准偏差得理论计算公式设对真值为得某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l 、 . 令测得值与该量真值 X 之差为真差占, 则有 = l - X1i =2- Xnl- X我们定义标准偏差(也称 标准差 ） 为(1)由于真值都就是不可知得, 因此真差占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差 得常用估计 贝塞尔公式由于真值就是不可知得, 在实际应用中，我们常用n 次测量得算术平均值来代表真值。理论

2、上也证明，随着测量次数得增多，算术平均值最接近真值，当时 , 算术平均值就就是真值。于就是我们用测得值l i 与算术平均值之差 剩余误差 ( 也叫残差） i 来代替真差 ， 即设一组等精度测量值为l1 、 l 、 ln则通过数学推导可得真差与剩余误差V 得关系为将上式代入式（)有（ 2)式（ 2）就就是著名得贝塞尔公式（Bessel) 。它用于有限次测量次数时标准偏差得计算。由于当时，,可见贝塞尔公式与得定义式（ 1 ）就是完全一致得.应该指出 , 在 n 有限时 , 用贝塞尔公式所得到得就是标准偏差得一个估计值.它不就是总体标准偏差。因此，我们称式 (2 ）为标准偏差得常用估计。为了强调这一

3、点, 我们将 得估计值用 “S ”表示。于就是，将式 (2) 改写为（ 2）在求 S 时 ,为免去求算术平均值得麻烦, 经数学推导（过程从略）有于就是，式 ( ）可写为(2 ”)按式 (2) 求 S 时，只需求出各测得值得平方与与各测得值之与得平方艺, 即可。标准偏差 得无偏估计数理统计中定义 2 为样本方差数学上已经证明 S 就是 总体方差得无偏估计。即在大量重复试验中, S 围绕 散布 , 它们2222之间没有 系统误差 .而式 ( )在有限时，S 并不就是总体标准偏差得无偏估计 , 也就就是说与 之间存在系统误差。概率统计告诉我们，对于服从正态分布得正态总体，总体标准偏差 得无偏估计值为

4、(3 ）令则即 S1与 S 仅相差一个系数就是与样本个数测量次数有关得一个系数，K ， KK 值见表 .计算 K 时用到（ n+ ） （ n）（ ) 1由表 1 知 , 当 3 时 , 。因此 , 当 n3 时， 式（ ) 与式（ 2)之间得差异可略而不计。在 n=3 50 时 , 最宜用贝塞尔公式求标准偏差 .当 n 10 时， 由于 值得影响已不可忽略 , 宜用式 (3 ） , 求标准偏差 .这时再用贝塞尔公式显然就是不妥得。标准偏差得最大似然估计将 得定义式 (1 ）中得真值用算术平均值代替且当有限时就得到（ 4)式（ 4) 适用于n 50 时得情况 , 当 0 时 ,与（ n-1) 对

5、计算结果得影响就很小了.2 、标准偏差 得 极差 估计由于以上几个标准偏差得计算公式计算量较大，用， 而极差估计得方法则有运算简便， 计算量小宜于现场采用得特点。不宜现场采极差用 R 表示。所谓极差就就是从正态总体中随机抽取得个样本测得值中得最大值与最小值之差。若对某量作次等精度测量测得l 1、,且它们服从正态分布,则R =l max - lmin概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差得计算公式为（ 5)S3 称为标准偏差 得无偏极差估计， d2 为与样本个数 n（测得值个数 )有关得无偏极差系数，其值见表 2由表 2 知，当 n1时，因此 ,标准偏差更粗略得估计值为（ 5 ）还可以瞧出 ,

6、 当 0 10时 ,因而又有（ 5 ）显然，不需查表利用式(5) 与（ 5”)了即可对标准偏差值作出快速估计，用以对用贝塞尔公式及其她公式得计算结果进行校核。应指出 ,式（ 5) 得准确度 比用其她公式得准确度要低，但当 5 n1时 ,式 (）不仅大大提高了计算速度，而且还颇为准确。当 10 时 ,由于舍去数据信息较多, 因此误差较大，为了提高准确度，这时应将测得值分成四个或五个一组, 先求出各组得极差R 、，再由各组极差求出极差平均值。极差平均值与总体标准偏差得关系为需指出，此时 d2 大小要用每组得数据个数n 而不就是用数据总数N(= ）去查表2。再则，分组时一定要按测得值得先后顺序排列,

7、不能打乱或颠倒。标准偏差 得平均误差估计平均误差得定义为误差理论给出(）可以证明与得关系为（证明从略）于就是（ B）由式（ A) 与式（ )得从而有式（ 6)就就是佩特斯（ C 、A 、 Pete s 、 1856) 公式。用该公式估计 值 , 由于 r ght| 不需平方 ,故计算较为简便。 但该式得准确度不如贝塞尔公式。 该式使用条件与贝塞尔公式相似。标准偏差得应用实例 1对标称值R =0、 160得以下 15 个数据：、 m 得一块粗糙度样块进行检定，顺次测5,1 、65, 、 60 ， 1、 67 ， 1、 52,1 、4 ,1、 72 ，1、 69 ，1、 7， 1、6 ,、 6,

8、、 0，、 64, 、 74 与 1、 63 m， 试求该样块 Rn 得平均值与标准偏差并判断其合格否。解： 1) 先求平均值 )再求标准偏差S若用无偏极差估计公式式（5)计算，首先将测得得，15 个数据按原顺序分为三组, 每组五个，见表 3。表组号l_1l_ R1、 481 、651 、 601 、 671 、 5、 11、 461 、721 、 69 、 771 、 60 、 31、 561 、501 、 64 、 74、 63、 2因每组为5 个数据，按 n=5 由表 2 查得故若按常用估计即贝塞尔公式式（2)，则若按无偏估计公式即式（3）计算，因 =15 ，由表 1 查得 K =、 0

9、 8，则若按 最大似然估计公式即式 (）计算，则= 、 296(math m ）若按平均误差估计公式即式（)，则现在用式（5）对以上计算进行校核可见以上算得得、S1、 2 、S3 与 S4 没有粗大误差。由以上计算结果可知0、 09296 0、 96 0、 0 790 、 0 7 0、 062即2 S 13S S S可见，最大似然估计值最小，常用估计值 S 稍大 , 无偏估计值 S 又大 , 平均误差估计值S4 再大， 极差估计值S3 最大 .纵观这几个值，它们相当接近，最大差值仅为 0 、 01 24 m。从理论上讲，用无偏估计值与常用估计比较合适, 在本例中，它们仅相差 0、 01 m。可

10、以相信 , 随着得增大，S 、 1、 S3与之间得差别会越来越小。、 S就本例而言 , 无偏极差估计值 3 与无偏估计值 1 仅相差 0、008 m， 这说明无偏极差估计就是既可以保证一定准确度计算又简便得一种好方法。 G102 9表面粗糙度比较样块 规定 Ra 得平均值对其标称值得偏离不应超过+12 17%, 标准偏差应在标称值得4 2% 之间 .已得本样块二产 ,产均在规定范围之内, 故该样块合格。标准偏差与标准差得区别标准差 （ tandard De iati n）各数据偏离平均数得距离(离均差 )得平均数 ，它就是离差平方与平均后得方根。用表示。因此，标准差 也就是一种平均数。标准差就

11、是方差 得算术平方根。标准差能反映一个数据集得离散程度.平均数相同得,标准差未必相同.例如， A 、B 两组各有6 位学生参加同一次语文测验，A 组得分数为95 、8 、 7 、 65 、55 、45 ， B 组得分数为73 、69 、 6、 67. 这两组得平均数都就是70, 但 A 组得标准差为 1、 08 分， B 组得标准差为、16 分 ,说明 A 组学生之间得差距要比B 组学生之间得差距大得多 .标准偏差（ Std ev ， Sta d d viation ）统计学 名词。一种量度数据分布得分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值得程度。标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少 ,

12、反之亦然 .标准偏差得大小可通过标准偏差与平均值得倍率关系来衡量.有人经常混用均方根误差（上二者并不就是一回事 .RM E）与标准差（ StandardD v ation) ，实际1、均方根误差均方根误差为了说明样本得离散程度。均方根误差（root e n-s uare e ror ）亦称标准误差， 其定义为 ，i1，2，。在有限测量次数中，均方根误差常用下式表示 :，式中 ,n 为测量次数 ;di 为一组测量值与平均值得偏差。如果误差统计分布就是正态分布 ,那么随机误差落在土 以内得概率为 8。?、标准差标准差就是方差得算术平方根。 ?标准差能反映一个数据集得离散程度。平均数相同得，标准差未

13、必相同。标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差.均方根值也称作为效值，它得计算方法就是先平方、再平均、然后开方。比如幅度为00V而占空比为0 、 5 得方波信号 ,如果按平均值计算,它得电压只有50V ，而按均方根值计算则有 7、 7 V 。这就是为什么呢？举一个例子，有一组1伏得电池组 ,每次供电 10 分钟之后停 10分钟， 也就就是说占空比为一半。如果这组电池带动得就是10 电阻 ,供电得 0分钟产生1 A 得电流与 1 00W 得功率 ,停电时电流与功率为零。那么在 20分钟得一个周期内其平均功率为00 ,这相当于 0 、71V得直流电向 10 电阻供电所产生得功率。而 0V 直流电压

14、向 10 电阻供电只能产生得0W 得功率。对于电机与变压器而言,只要均方根电流不超过额定电流，即使在一定时间内过载，也不会烧坏。PMT 1、 0 抽油机电能图测试仪对电流、电压与功率得测试计算都就是按有效值进行得,不会因为电流电压波形畸变而测不准。这一点对于测试变频器拖动得电机特别有用.均方根误差 为了说明样本得离散程度。对于 N1, 、N ，设 N= （N1+ 、+Nm ）/m ；则均方根误差记作：? sqrt( （ (N 12 ）+、 +（ N m2) ）（ (m 1） )）； ?比如两组样本:第一组有以下三个样本：3 ，4， 5?第二组有一下三个样本：2,4,6这两组得平均值都就是，但就

15、是第一组得三个数值相对更靠近平均值,也就就是离散程度小, 均方差就就是表示这个得。同样 ,方差、标准差 (方差开根 ,因为单位不统一)都就是表示数据得离散程度得。几种典型平均值得求法?(1) 算术平均值这种平均值最常用。设x、 x2 、 、 x n 为各次得测量值 ,n 代表测量次数,则算术平均值为?（ 2 ）均方根平均值(）几何平均值(4 ）对数平均值 ?（5）加权平均值?相对标准方差得计算公式?准确度 : 测定值与真实值符合得程度 ?绝对误差： 测量值 ( 或多次测定得平均值）与真（实 ) 值之差称为绝对误差，用表示 . ?相对误差 : 绝对误差与真值得比值称为相对误差。常用百分数表示。

16、? 绝对误差可正可负 , 可以表明测量仪器得准确度，但不能反映误差在测量值中所占比例 , 相对误差反映测量误差在测量结果中所占得比例，衡量相对误差更有意义。 ? 例: 用刻度 0.5cm 得尺测量长度 , 可以读准到。 1m，该尺测量得绝对误差为 0。 cm;用刻度 1mm得尺测量长度，可以读准到 0。1m，该尺测量得绝对误差为。 mm。例 : 分析天平称量误差为 0、1mg, 减重法需称 2 次, 可能得最大误差为 0、2mg，为使称量相对误差小于、 1, 至少应称量多少样品？答：称量样品量应不小于02. ?真值 ( ）： 真值就是客观存在得，但任何测量都存在误差， 故真值只能逼近而不可测知， 实际工作中，往往用“标准值”代替“真值 . 标准值 : 采用多种可靠得分析方法、由具有丰富经验得分析人员经过反复多次测定得出得结果平均值 . ?精密度： 几次平行测定结果相互接近得程度 . ? 各次测定结果越接近 , 精密度越高，用偏差衡量精密度。 ?偏差 : 单次测量值与样本平均值之差 : ?平均偏差 : 各次测量偏差绝对值得平均值。相对平均偏差 : 平均偏差与平均值得比值 .标准偏差 : 各次测量偏差得平方与平均值再开方，比平均偏差更灵敏得反映较大偏差得存在 , 在统计学上更有意义。 ?相对标准偏差 ( 变异系数）例：分析铁矿石中铁得质量分数，得到