立体几何证明题(文科)

1、立体几何练习1. 如图：梯形和正所在平面互相垂直，其中 ，且为中点. ( i ) 求证：平面；( ii ) 求证：. 2.如图，菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥,点是棱的中点，.（）求证：平面；（）求证：平面平面；ababccdmodo（）求三棱锥的体积.pabcdqm3. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，ad/bc，adc=90，bc=ad，pa=pd，q为ad的中点（）求证：ad平面pbq； （）若点m在棱pc上，设pm=tmc，试确定t的值，使得pa/平面bmq4. 已知四棱锥的底面是菱形，为的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面5. 已知直三棱柱的所有棱长都相等，且

2、分别为的中点. (i) 求证：平面平面；（ii）求证：平面. 6. abcdfe如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，.()求证：平面；()求证：平面；（）求四面体的体积.7. 如图，在四棱锥中，平面pad平面abcd，ab=ad，bad=60，e、f分别是ap、ad的中点求证：（1）直线ef/平面pcd； （2）平面bef平面pad.8.如图，四边形abcd为正方形，qa平面abcd，pdqa，qa=ab=pd（i）证明：pq平面dcq；（ii）求棱锥qabcd的的体积与棱锥pdcq的体积的比值9. 如图，在abc中，abc=45，bac=90，ad是bc上的高，沿ad把abd折起，使

3、bdc=90。（1）证明：平面平面；（2）设bd=1，求三棱锥d的表面积。参考答案：1. 证明: (i) 因为为中点，所以 又，所以有所以为平行四边形,所以 又平面平面所以平面 . (ii)连接.因为所以为平行四边形， 又,所以为菱形，所以 ， 因为正三角形,为中点，所以 ， 又因为平面平面,平面平面 ， 所以平面， 而平面，所以 ，又，所以平面. 又平面，所以 . 2. （）证明：因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点.又点是棱的中点，所以是的中位线，. 因为平面,平面，所以平面. （）证明：由题意，,因为,所以，. abcmod又因为菱形，所以. 因为,所以平面， 因为平面，所以平面平面

4、. （）解：三棱锥的体积等于三棱锥的体积. 由（）知，平面，所以为三棱锥的高. 的面积为， 所求体积等于. 3. 证明：（）ad / bc，bc=ad，q为ad的中点， 四边形bcdq为平行四边形， cd / bq pabcdqmn adc=90 aqb=90 即qbad pa=pd，q为ad的中点， pqad pqbq=q，ad平面pbq （）当时，pa/平面bmq连接ac，交bq于n，连接mnbcdq，四边形bcqa为平行四边形，且n为ac中点，点m是线段pc的中点， mn / pa mn平面bmq，pa平面bmq， pa / 平面bmq 4. （）证明：因为，分别为，的中点， 所以 因为

5、平面 平面 所以平面（）证明：连结 因为，所以在菱形中，因为所以平面 因为平面 所以平面平面 5. （）由已知可得， 四边形是平行四边形， 平面，平面， 平面； 又 分别是的中点， ， 平面，平面，平面； 平面，平面， 平面平面 . () 三棱柱是直三棱柱， 面，又面， . 又直三棱柱的所有棱长都相等，是边中点， 是正三角形， 而， 面 ，面 ，面 ， 故 . 四边形是菱形， 而，故 , 由面，面，得 面 . 6. ()证明：因为平面平面，所以平面， 所以. 因为是正方形，所以，所以平面. ()证明：设，取中点，连结，所以，. 因为，所以， 从而四边形是平行四边形，. 因为平面,平面, 所以平

6、面，即平面. （）解：因为平面平面，,所以平面. 因为,，所以的面积为， 所以四面体的体积. 7. 解：（1）因为e、f分别是ap、ad的中点，又直线ef/平面pcd（2）连接bd为正三角形 f是ad的中点，又平面pad平面abcd，所以，平面bef平面pad.8. 解：（i）由条件知pdaq为直角梯形因为qa平面abcd，所以平面pdaq平面abcd，交线为ad.又四边形abcd为正方形，dcad，所以dc平面pdaq，可得pqdc.在直角梯形pdaq中可得dq=pq=pd，则pqqd所以pq平面dcq. （ii）设ab=a.由题设知aq为棱锥qabcd的高，所以棱锥qabcd的体积由（i）知pq为棱锥pdcq的高，而pq=，dcq的面积为，所以棱锥pdcq的体积为故棱锥qabcd的体积与棱锥pdcq的体积的比值