第1节 集合及其运算

1、2021新亮剑高考总复习集合与常用逻辑用语第一章第1节集合及其运算1磨剑课前自学目录CONTENTS2悟剑课堂精讲3目 录 磨剑课前自学高考动态拓展知识知识查缺补漏磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录 4最新考纲考向分析1. 了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系.2. 能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.3. 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.4. 在具体情境中,了解全集与空集的含义.5. 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.6. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.7. 能使用韦恩(Venn)图

2、表达集合间的基本关系及进行集合的基本运算1. 利用集合的含义与表示求集合的元素或元素的个数.2. 根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围.3. 考查数集的交集、并集及补集运算.4. 常运用数轴或韦恩图及数形结合思想来求解含未知参数的集合问题.5. 以集合为载体,结合其他数学知识考查新概念、新性质、新法则的创新问题的应用高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录一、集合与元素1.集合中元素的三个特征:确定性、 互异性、 无序性.2.集合与元素的关系是 属于或 不属于 的关系，用符号“示.”或“”表3.集合的表示法: 列举法图示法 .、 描述法、4.常见数集的记法5集合自然数集正整数集整数集有理数集实数

3、集符号NN*(N+)ZQR高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录二、集合间的基本关系6关系自然语言符号语言Venn 图子集集合 A 中所有元素都在集合 B 中(即若 xA,则 xB)AB(或 BA)真子集集合 A 是集合 B 的子集,且集合 B中至少有一个元素不在集合 A 中AB(或 BA)集合相等集合 A,B 中的元素相同或集合 A,B互为子集A=B 高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录三、集合的基本运算 7运算自然语言符号语言Venn 图交集由属于集合 A 且属于集合B 的所有元素组成的集合AB=x|xA且 xB并集由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合AB=x|xA或 x B补集

4、由全集 U 中不属于集合 A的所有元素组成的集合UA=x|xU 且 xA高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录C AC.1.AB,BC AC;AB,B2.含有 n 个元素的集合 A=a1,a2,an有真子集,有 2n-2个非空真子集.个子集,有2n-1个2n 3.A= A,AA= A,AB= BA,A(AB),B(AB).4.A=,AA=A,AB=BA,AB A,AB B.8高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录5.AB=ABA=B .6.ABAB= AAB= B(UA)(UB)A(UB)=.7.(UA)(UB)= U(A,(UA)(UB)= U(AB).UA)= A,8.A(UA)= U,A(A=

5、A.UA)=,U(AA=,9高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【概念辨析】判断下列结论的正误.(正确的打“”,错误的打“”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.(2)集合x2+x,0中,实数 x 可取任意值.(3)x|y=x2=y|y=x2=(x,y)|y=x2.(4) 直线 y=x+3 与 y=-2x+6 的交点组成的集合是1,4.(5) 对于任意两个集合 A,B,关系(AB)(AB)恒成立.()答案解析10目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识解析(1)错误.空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的.(2) 错误.由元素的互异性知 x2+x0,即 x0 且

6、x-1.(3) 错误.三个集合分别表示函数 y=x2 的定义域(-,+), 值域0,+)以及抛物线 y=x2 上的点集.(4) 错误.两直线交点组成的集合为(1,4).(5)正确.因为(AB)A,而 A(AB),所以(AB)(AB)恒成立.11目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【基础自测】1.(广东省韶关市 2020 届高考模拟测试)已知集合 A=x|0x3,B=x|(x-2)(x-4)0,则集合 AB=(A.x|0x2 C.x|2x4D).B.x|0x4 D.x|2x3解析选D.因为 B=x|2x4,A=x|0x3,所以 AB=x|2x3.故答案解析12目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识2.

7、(四川省攀枝花市 2020 届高三第二次统一考试)已知集合 A=-1,2,B=x|ax-2=0,若 BA,则由实数 a 组成的集合为().DA.-2B.1C.-2,1D.-2,1,0集合 A=-1,2,B=x|ax-2=0,BA,B=或 B=-1或解析B=2,a=0,1,-2.故选 D. 答案解析13目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识3.(重庆南开中学 2020 届高三第四次教学检测)已知集合 A=x|0log2(x-1)2,集合 B=x|x2-3x0,则 AB=(C).A.(2,3)B.(2,3C.0,5)D.(0,5解析A=x|0log2(x-1)2=x|1x-14=x|2x5,B=x|x

8、2-3x0=x|0x3,则 AB=0,5).故选 C. 答案解析14目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识RB)= x|-3x-1.4.设全集为 R,集合 A=x|x2-90,B=x|-1x5,则 A(解析由题意得 A=x|x2-90=x|-3x3,B=x|-15,A(x5=x|-3x-1.RB)=x|-3x3x|x-1 或 答案解析15目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【易错检测】5.(山东省淄博市 2020 届高三阶段性诊断考试)已知集合 A=xZ|x2-x-20,则A.0ZA=(CB.1).C.0,1D.-1,0,1,2解析由集合 A=xZ|x2-x-20,解得 A=xZ|x2 或 x-1,

9、ZA=0,1.故选 C. 答案解析16目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识6.(湖北省荆门市 2020 届高三模拟)已知集合 M=x|x22,则下列结论正确的是(D).B.M(RN)=D.M(RN)A.MN=NC.M(RN)=R集合 M=x|-1x1.选项 A 中,MN=N,A 错误;解析RN=y|y1,所以 M(RN)=x|-1x1，B 错误;选项 B 中, 选项 C 中,M(RN)=x|x1R,C 错误;选项 D 中,M=x|-1x1,RN=y|y1,所以 M(RN),D 正确.故选 D.答案解析 1718目 录悟剑课堂精讲考点探究素养达成高考真题磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录考点 1集合的

10、基本概念 例 1(1)若集合 A=xR|ax2-3x+2=0中只有一个元素,则 a=().DA.9B.9D.0 或9C.0288(2)(江西省南昌市 2020 届高三质量检测)已知集合 A=1,2,3,集合B=z|z=x-y,xA,yA,则集合 B 中元素的个数为().BA.4B.5C.6D.7答案解析19考点探究素养达成高考真题目 录分析(1)由题意,对方程 ax2-3x+2=0 的二次项系数分 a=0 与 a0 两种情况进行讨论.(2)根据集合 B 中的元素与 A 中的元素之间的关系,求出 x-y 的值是本题解答的关键.解析(1)若集合 A 中只有一个元素,则方程 ax2-3x+2=0 只

11、有一个实数根.当a=0 时,x=2,符合题意;当 a0 时,由 =(-3)2-8a=0,得 a=9.a 的取值为 0 或9.388(2)A=1,2,3,B=z|z=x-y,xA,yA,x=1,2,3,y=1,2,3.当 x=1 时,x-y=0,-1,-2当 x=2 时,x-y=1,0,-1;当 x=3 时,x-y=2,1,0.综上所述,x-y=-2,-1,0,1,2,即 B=-2,-1,0,1,2,集合 B有 5 个元素.故选 B.20考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：1.在研究集合问题时,首先要搞清楚集合的类型,是数集、点集,还是其他类型的集合.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确

12、定集合中元素的个数时,要注意检验集合是否满足元素的互异性. 21考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 1】1.(湖南省长沙市 2020 届高考一模)设集合 A=-2,-1,0,1,2,B=-1,0,1,22C= (x,y) +1,xA,yB ,则集合 C 中元素的个数为().A43A.11B.9C.6D.4解析x 从-1,0,1 中任选 1 个,y 从-1,0,1 中任选 1 个,有 9 种选法;当 x=-2 或x=2 时,y=0,有 2 种选法.共有 11 种选法,C 中元素有 11 个.故选 A. 答案解析22考点探究素养达成高考真题目 录2.设集合 A=1,2,3,B=4,5,M=x

13、|x=a+b,aA,bB,则 M 中元素的个数为(A.3B).B.4C.5D.6解析a1,2,3,b4,5,M=5,6,7,8,即 M 中元素的个数为 4.故选 B. 答案解析23考点探究素养达成高考真题目 录考点2集合间的基本关系例 2 (1)(天津市南开中学 2020 届高三模拟)已知集合 M=-1,0,1,N=x|x=ab,a,bM 且 ab ,则集合 M 与集合 N 的关系是().CD.MN=A.M=NB.MNC.NM(2)(山东省临沂市 2020 届高考模拟考试)已知集合 A=x|x2x+2,B=x|xa,若 AB,则实数 a 的取值范围为(C).A.(-,-1B.(-,2C.2,+

14、)D.-1,+)答案解析24考点探究素养达成高考真题目 录分析(1)根据题意,分 a=-1,a=0,a=1 三种情况进行讨论,先分析 b 的值,再求出 x 的值,即得集合 N,从而可判断出集合 M、N 的关系.(2)先解不等式,化简集合 A,再根据集合间的包含关系,结合数轴求解. 解析(1)根据题意,当 a=-1 时,b=0 或 1,x=0 或-1;当 a=0 时,无论 b 取何值都有 x=0;当 a=1 时,b=-1 或 0,x=-1 或 0.综上所述,N=0,-1,则有 N故选 C.(2)因为 A=x|x2x+2=x|-1x2,B=x|x0,B=x|x0=x|x3,因为 BA,所以 a1.

15、故选 D. 答案解析26考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：1.判断两集合之间的关系:当两集合不含参数时,可直接利用数轴、图示法进行判断;当集合中含有参数时,需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法.2. 根据集合间的关系求参数的值或取值范围的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、图示法来解决这类问题.3. 由于空集是任何集合的子集,故在涉及集合间的关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.27考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 2】1.(安徽省宣城市 2020 届高三第二次调研测试)已知集合 A=x|3x-a0,B=x|log2(

16、x-2)1,若 BA,则实数 a 的取值范围是().BA.(-,6)B.(-,6C.(-,12)D.(12,+) 解析3x-a0,x,A=,+ .log2(x-2)1=log22,0x-22,2x4,33B=(2,4.BA, 2,a6,实数 a 的取值范围是(-,6.故选 B.3 答案解析28考点探究素养达成高考真题目 录2.已知集合 A=x|x2-2021x+20200,B=x|xa,若 AB,则实数 a 的取值范围是 2020,+).解析由 x2-2021x+20200,解得 1x2020,故 A=x|1x2020.又 B=x|xa,AB,如图所示,所以实数 a 的取值范围是2020,+)

17、. 答案解析29考点探究素养达成高考真题目 录考点3集合的基本运算考向 1:集合的交集、并集及补集运算例 3 (1)(广东省深圳市高级中学 2020 届高三适应性考试)已知集合A=x|y= (1-)( + 3),B=x|log2x1, 则 AB=(B).A.x|-3x1B.x|0x1C.x|-3x2D.x|x2(2)(山东省烟台市 2020 届高三适应性练习)设集合 A=x|y= -3,B=y|y=2x,x3,则集合(RA)B=().CA.x|x3B.x|x3C.x|0x3D.x|0x3答案解析30考点探究素养达成高考真题目 录分析(1)求函数的定义域得集合 A,解对数不等式得集合 B,由集合

18、的交集运算可得结果.(2)分别对集合 A,B 进行化简,由集合的交集及补集运算求出(RA)B.解析(1)解不等式(1-x)(x+3)0,得-3x1,所以 A=x|-3x1,又 B=x|log2x1=x|0x2,所以 AB=x|0x1.故选 B.(2)因为 A=x|y= -3=x|x3,所以RA=x|x3,又 B=y|y=2x,x3=y|0y8,所以(RA)B=x|0x4,B=x|(x-1)(x-3)4 可得 x2,由(x-1)(x-3)0 可得 1x3,所以集合 A=(2,+),B=(1,3),UA=(-,2,所以(UA)B=(1,2,故选 B. 答案解析35考点探究素养达成高考真题目 录20

19、20 届高考第二次适应性检测)已知集合 A= | +2 2.(-30 ,B=x|xt,若 AB,则实数 t 的取值集合是().DA.(2,+)B.2,+)C.(3,+)D.3,+)解析由+20 得-2x3,所以 A=x|-2x3,因为 AB,B=x|xt,所以 t3.-3故选 D. 答案解析36考点探究素养达成高考真题目 录3.已知集合 A=x|x2-x-120,B=x|2m-1xm+1,且 AB=B,则实数 m 的取值范围为(A.-1,2)D).B.-1,3C.2,+)D.-1,+)解析由 x2-x-120,得(x+3)(x-4)0,即-3x4,所以 A=x|-3x4.又 AB=B,所以 B

20、A.当 B=时,有 m+12m-1,解得 m2;-3 2-1,当 B时,有 + 1 4,解得-1m2.2-1 + 1,综上所述,m 的取值范围为-1,+).答案解析37 考点探究素养达成高考真题目 录数学抽象集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现为目的,这类试题以集合为依托,考查考生对新概念的理解,充分体现了数学抽象素养.解决集合的新定义问题的两个切入点:正确理解创新的定义,常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等;合理利用集合的性质,运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键.38考点探究素养达成高考真题目 录

21、例(1)(2020 届合肥模拟)对于集合 M,N,定义 M-N=x|xM,且 xN,MN=(M-N)(N-M). 设 A=y|y=x2-3x,xR,B=y|y=-2x,xR, 则 AB=().CA. - 9 ,0 B. - 9 ,0 44C. -,- 9 0,+)D. -,- 9 (0,+)44()-(),() (),(2)用 C(A)表示非空集合 A 中元素的个数,定义 A*B= ()-(),() ().若 A=1,2,B=x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0,且 A*B=1,设实数 a 的所有可能取值组成的集合是 S,则 C(S)= 3.答案解析39考点探究素养达成高考真题目 录解析(

22、1)因为 A= | - 9 ,B=y|y0,所以 A-B=y|y0,B-A= | 4- 9 ,所以 AB=(A-B)(B-A)= | 0 或 0,即 a2 2时,易知 0,-a 均不是方程 x2+ax+2=0 的根, 故 C(B)=4,不符合题意;当 0,即-2 2a2 2时,方程 x2+ax+2=0 无实数解,当 a=0 时,B=0,C(B)=1,符合题意.综上,S=0,-2 2,2 2,故 C(S)=3.40考点探究素养达成高考真题目 录【突破训练】1.已知集合 A=xN|x2-2x-30,B=1,3,定义集合 A,B 之间的运算“*”:A*B=x|x=x1+x2,x1A,x2B.则 A*

23、B 中的所有元素数字之和为().DA.15B.16C.20D.21解析由 x2-2x-30,得(x+1)(x-3)0,得 A=0,1,2,3.因为 A*B=x|x=x1+x2,x1A,x2B,所以 A*B 中的元素有 0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去),2+3=5,3+1=4(舍去),3+3=6,所以 A*B=1,2,3,4,5,6,所以 A*B 中的所有元素数字之和为 21. 答案解析41考点探究素养达成高考真题目 录2.(北京市意 xR,定义:m= 0,n= 1,1,(1)若 AB,则对任意 xR,m(1-n)= 0;A=RB(2)若对任意 xR,m+n=1,则 A,B 的关系为.解析(1)AB,当 xA 时,m=0,m(1-n)=0;当 xA 时,必有 xB,m=n=1,m(1-n)=0.综上可得,m(1-n)=0.(2)对任意 xR,m+n=1,则 m,n 的值一个为 0,另一个为 1,即当 xA 时,必有 xB 或当 xB 时,必有 xA,A,B 的关系为 A=