第5节函数yasinωxφ的图象及应用

1、2021新亮剑高考总复习三角函数与解三角形第四章第5节函数 y=Asin(x+)的图象及应用1磨剑课前自学目录CONTENTS2悟剑课堂精讲3目 录 磨剑课前自学高考动态知识查缺补漏磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录 4最新考纲考向分析1.了解函数 y=Asin(x+)的物理意义;能作出函数 y=Asin(x+)的图象. 2.了解参数 A, 对函数y=Asin(x+)的图象变化的影响.3.会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型1. “五点法”作图及图象变换.2. 函数 y=Asin(x+)的图象及其应用.3. 三角函数的综合问题高考动态知识查缺补漏目 录一

2、、函数y=Asin(x+)(A0,0)的有关概念 5y=Asin(x+)(A0,0), x0,+)振幅周期频率相位初相AT=2 f=1= 2x+高考动态知识查缺补漏目录二、用“五点法”作y=Asin(x+)(A0,0,xR)一个周期内的简图时,要找五个特征点如下表所示: 6x-22-3-222-x+02322y=Asin(x+)0A0-A0高考动态知识查缺补漏如下:目 录三、函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(x+)(A0,0)的图象的步骤7高考动态知识查缺补漏目 录查缺补漏高考动态知识【概念辨析】判断下列结论的正误.(对的打“”,错的打“”)(1)把 y=sin x 的图象上各点

3、的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的1,所得图象对应的2 函数解析式为 y=sin.()2(2)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.()答案解析8目 录查缺补漏高考动态知识解析为 y=sin 2x.(1)错误.横坐标缩短,周期变小, 变大,故变换后,所得图象的解析式(2)错误.“先平移,后伸缩”的平移单位长度为|,而“先伸缩,后平移”的平移单位长度为|(0).故当 1 时平移的长度不相等.9目 录查缺补漏高考动态知识(3)由图象求解析式时,振幅 A 的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的.()(4)函数 y=Acos(x+)的最小正周期为

4、T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()2(5)已知简谐运动 f(x)=2sin + | 的图象经过点(0,1),则该简32谐运动的初相 为.()6答案解析10目 录查缺补漏高考动态知识解析(3)正确.振幅 A 的值是由最大值 M 与最小值 m 确定的, 其中 A=- .2(4)正确.函数 y=Acos(x+)图象的两个相邻对称中心之间的距离为半个周期.(5)正确.将点(0,1)代入函数表达式可得 2sin =1,即 sin =1.因为|0,-的部分图象如图所示,则 , 的值分别22是().AA.2,-B.2,-C.4,-D.4,3663由图可知,3T=5- - =3,解得 T=,

5、所以 =2=2.解析4123455因为点 ,2 在图象上,所以 2+=+2k,kZ,12122所以 =-+2k,kZ.又- 0,排除 B,D.223332当 x=时,y=sin 2- =sin 0=0,故排除 C,故选 A.663答案解析16目 录查缺补漏高考动态知识6.(2020 届山东郓城模拟)函数 y=sin 2x+ 的图象可由函数 y= 3sin 2x-cos 2x 的图6象(). A.向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐3标不变得到B.向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐6标不变得到C.向左平移个单位长度,再

6、将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的1,横坐标不32答案变得到D.向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的1,横坐标不解析62变得到17目 录查缺补漏高考动态知识由 y= 3sin 2x-cos 2x 得 y=2sin 2x- ,将它的图象向左平移个单位解析66长度,可得函数 y=2sin 2x+ 的图象,再将上述图象上所有点的纵坐标缩短到原6来的1,横坐标不变,得到 y=sin 2x+的图象.故选 D.26答案1819目 录悟剑课堂精讲考点探究素养达成高考真题磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录考点 1用“五点法”作图及函数 y=Asin(x+)的图象与变换(2020 届河南

7、周口二模)将函数 y=sin x+ 的图象上所有的点向例 16左平移 个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标4不变),则所得图象的解析式为().BA.y=sin 2 + 5 B.y=sin + 5 12212 C.y=sin- D.y=sin + 5 212224答案解析20考点探究素养达成高考真题目 录解析将函数 y=sin x+ 的图象上所有的点向左平移 个单位长度,可64得函数 y=sin x+ =sin x+5 的图象,再把所得图象上各点的横坐标扩大4612 +5到原来的 2 倍(纵坐标不变),可得函数 y=sin的图象,故选 B.21221考点探究素养达成高考

8、真题目 录例 2(2020 届湖北荆门质检)已知函数 f(x)= 3sin 2x+cos4x-sin4x+1(01),若点 - ,1 是函数 f(x)图象的一个对称中心.6(1)求 f(x)的解析式,并求 f(x)的最小正周期;(2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标6伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,用 “五点法”作出函数 f(x)在区间-,3上的图象.解析22考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)f(x)= 3sin 2x+(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)+1= 3sin 2x+cos 2x+1=2

9、sin 2 + +1.6 - ,1 是函数 f(x)图象的一个对称中心,- + =k(kZ),=-3k+1,kZ.6362又 00,0)的图象常用作法:(1)“五点法”作图:用“五点法”作 y=Asin(x+)的简图,主要是通过变量代换,设 z=x+,由z 取 0,3,2 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点坐标,描点、连线后作出图象.22(2)图象的变换:由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=Asin(x+)的图象有两种途径,“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 25考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 1】已知函数 f(x)=1sin x+ 3cos x(0)的最小正周期

10、为 .22(1)求 的值,并在坐标系中画出函数 y=f(x)在区间0,上的图象.解析(2)函数 y=f(x)的图象可由函数 y=sin x 的图象经过怎样的变换得到?26考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)由题意知 f(x)=sin x+.3因为 T=,所以2=,即 =2,3故 f(x)=sin. 2 + 列表如下: 272x+33232273x0 12371256 f(x) 3210-10 32考点探究素养达成高考真题目 录则函数 y=f(x)在0,上的图象如图所示.28考点探究素养达成高考真题目 录(2)将 y=sin x 的图象上的所有点向左平移 个单位长度,得到函数 y=sin +

11、3 3 的图象,再将 y=sin + 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1(纵坐标32不变),得到函数 f(x)=sin 2 + (xR)的图象.329考点探究素养达成高考真题目 录考点2函数y=Asin(x+)的图象与解析式(1)已知函数 f(x)=2sin(x+)(0,|0,|)的图象,且 A,1 ,B(,-1),可得2从点 A 到点 B 正好经过了半个周期,即12=- ,所以 =2.再把点 A,B 的坐标代入22函数解析式,可得 2sin 2+ =-2sin =1,2sin(2+)=2sin =-1,所以 sin =-1,所22以 =2k-或 =2k-5,kZ.再结合“五点作图法”,可得

12、 =-5.66631考点探究素养达成高考真题目 录(2)(2020 ,若 x ,x -,且 f(x )=f(x ),则 f(x +x )=(C1212126 3A.1B. 2C. 3D.1222(2)由题图知,=,即 T=,则 =2,所以 f(x)=sin(2x+).解析22因为点 ,0 在函数 f(x)的图象上,所以 sin 2+ =0,即2+=k,kZ,333所以 =k-2,kZ.又|0,0)的步骤和方法(1)求 A,b 的值,确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A=-,b=+.22(2)求 的值,确定函数的最小正周期 T,可得 =2.(3)求 的值常用的方法代入法:把图象上的一个已知

13、点代入函数解析式中(此时 A,b 已知)求解或利用函数图象与直线 y=b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).特殊点法:确定 值时,常以寻找“最值点”为突破口.具体如下: “最大值点”(即图象的“峰点”),x+=+2k,kZ; “最小值点”(即图象的“谷2点”),x+=3+2k,kZ. 233考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 2】1.(2020 届西安八校联考)已知函数 f(x)=sin(x+) 0,- 的图象上的一个最高点和2,则函数 f(x)=2sin12 + 26它相邻的一个最低点的距离为 2 2,且过点 2,-. 2+ =2 2,则 =2,即 = ,所以

14、f(x)=sin + .解析依题意得 2222由于该函数图象过点 2,- 1 ,因此 sin(+)=-1,即 sin =1,而-,故 =,所222226以 f(x)=sin. + 26解析答案34考点探究素养达成高考真题目 录2.已知函数 f(x)=Atan(x+) 0,|,y=f(x)的部分图象如图所示,则 2 3f= . 24解析由图象可知,=3-=,即=,所以 =2.再结合图象,288424可得 2+=k+,kZ,即 =k+,kZ.又|0,0,|的图2象如图所示,则 f(x)的递增区间为(B).+ , 5+ ,kZA. -B. -122122+ , 5 + ,kZ1212C. - + 2

15、, 5 + 2 ,kZ66D. - + , 5 + ,kZ66答案解析36考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)(法一)由图象可知 A=2,3T=11 -=3,所以 T=,故 =2.4126411=-2,得 =2k-(kZ).因为|,所以 =-,所以 f(x)=2sin 2x-由 f.123233由 2x- 2k-,2k+ (kZ),得 x - +k,5+k (kZ),故选 B.3221212(法二)由题图知3T=11 -=3,所以 T=,-=-=- , += + =5,412646 46412 646412所以 f(x)的递增区间是 k- ,k+5(kZ).故选 B.121237考点探究素

16、养达成高考真题目 录(2)(2020 届河北名校联考)已知函数 f(x)=1+2cos xcos( x+3)是偶函数其中 0, ,则下列关于函数 g(x)=cos(2x-)的描述正确的是(C).2A.g(x)在区间 - , 上的最小值为-112 3B.g(x)的图象可由函数 f(x)的图象向上平移 2 个单位长度,再向右平移个单位长度得到 3C.g(x)的图象的一个对称中心是 - ,012D.g(x)的一个单调递减区间是 0,2答案解析38考点探究素养达成高考真题目 录解析(2)因为函数 f(x)=1+2cos xcos(x+3)是偶函数,y=1,y=2cos x 都是偶函数所以 y=cos(

17、x+3)是偶函数,所以 3=k,kZ,所以 =,kZ.又 0,所以 =,323所以 g(x)=cos 2x- .当- x时,-2x-,所以 cos 2x- 0,1,故 A 项错31232333误;f(x)=1+2cos xcos( x+)=1-2cos2x=-cos 2x,显然 B 项错误;当 x=- 时,g(x)=cos -122=0,故 C 项正确;当 0x时,-2x-2,函数 g(x)=cos 2x- 在此区间内有增有减,故23333D 项错误.故选 C.39考点探究素养达成高考真题上有两个不同的实数根的图目 录考向 2: 三角函数零点(方程的根)问题 2例 5已知关于 x 的方程 2s

18、in2x- 3sin 2x+m-1=0 在, 上有两个不同的实数根,则 m 的取值范围是 (-2,-1).解析方程 2sin2x- 3sin 2x+m-1=0 可转化为 m=1-2sin2x+ 3sin 2x=cos 2x+,x, .设 2x+ =t,则 t 3sin 2x=2sin 2x+7,13,所以题中的条件可转化为62666 27,13.所以 y =和 y =sin t,t7,13=sin t 在 t1266266象有两个不同的交点,如图所示. 由图象知, 的取值范围是 -1,- 1 ,故 m 的取值范22围是(-2,-1).答案解析40考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：1.先将

19、 y=f(x)化为 y=Asin(x+)+B 的形式,再借助 y=Asin(x+)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.2.三角函数的零点(方程的根)的问题可转化为两个函数图象的交点个数问题.研究 y=Asin(x+)的性质时可将 x+ 视为一个整体,利用换元法和数形结合思想解题. 41考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 3】1.(2020 届云南昆明调研)函数 y=sin 2 + 的图象向右平移个单位长度后与3函数 y=f(x)的图象重合,则下列结论错误的是(A.函数 f(x)的一个周期为-23).DB.函数 f(x)的图象关于直线 x=-7对称1

20、2C.x=7是函数 f(x)的一个零点6D.函数 f(x)在 -, 5 上单调递减1212答案解析42考点探究素养达成高考真题时上单调目 录解析函数 y=sin 2x+ 的图象向右平移个单位长度后与函数 y=f(x)的图33象重合,f(x)=sin 2 x-+=sin 2x- ,函数 f(x)的一个周期为-2,故A 正确;函数333f(x)的对称轴满足 2x-=k+ ,kZ,当 k=-2 时,函数 f(x)的图象关于直线 x=-7对称,3212故B 正确;由 f(x)=sin 2x- =0,得 2x-=k,kZ,解得 x=+,kZ,x=7是函数33266f(x)的一个零点,故 C 正确;当 x

21、 - ,5,2x- -, ,函数 f(x)在 - ,512 1232 212 12递增,故 D 错误.故选 D.43考点探究素养达成高考真题目 录2.(2020 届天津高三模拟)函数 f(x)=Asin(x+)的部分图象如图中实线所示,图中圆C 与 f(x)的图象交于 M,N 两点,且 M 在 y 轴上,则下列说法正确的是(A.函数 f(x)的最小正周期是 2).B4B.函数 f(x)的图象关于点,0 成中心对称3C.函数 f(x)在 - 2 ,- 上单调递增36D.函数 f(x)图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平移 个3单位长度后关于 y 轴对称答案解析44考点

22、探究素养达成高考真题目 录解析由对称性得 xC= , = - - ,T=,=2=2,故 A 错误.由图可知函数3236f(x)图象的对称中心为 - + ,0 (kZ),函数 f(x)的图象关于点 4,0 对称,故 B 正确623由图可知函数 f(x)在 -5,- 上单调递增,在 -2,-5 上单调递减,故 C 错误.函数 f(x)图126312象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍,可得 y=Asin(x+)的图象,再向右平移 个单3位长度,可得 y=Asin x- + 的图象,由图象可知 f - =0,得 sin -2+ =0,-+=k(k3663Z),= +k(kZ),因此 y=Asin

23、x-+ =A sin(x+k)=A sin x 不关于 y 轴对称,故33D 错误.析45考点探究素养达成高考真题目 录3.(2020 届武汉模拟)函数 f(x)=3sinx-log1 x 的零点的个数是().D22D.5A.2B.3C.4解析函数 f(x)的零点个数即 y=3sinx 与 y=log1 x 两函数图象的交点个数,如22图所示,函数 y=3sinx 与 y=log1 x 的图象有 5 个交点.22答案解析46考点探究素养达成高考真题目 录数学建模三角函数模型的简单应用数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题,用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括:在实际情

24、境中,从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型、求解结论,同时验证结果并改进模型,最终解决实际问题.三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型,再利用三角函数的有关知识解决问题.47考点探究素养达成高考真题目 录例如图,某大风车的半径为 2 m,旋转一周的时间为 12 s,它的最低点 O 距离地面0.5 m.已知大风车圆周上一点 A 从最低点 O 处按逆时针方向旋转,t s 后点 A 离地面的距离为 h m.(1) 求函数 h=f(t)的关系式;(2) 画出函数 h=f(t)(0t12)的大致图象.解析48考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)如图,以 O 为坐标原点,过点 O 的圆 O1 的切线为 x 轴,过点O,O1 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系.设点 A 的坐标为(x,y),则 h=y+0.5.设OO1A=,则 cos =2-,y=-2cos +2.2又 =2t,即 =t,126所以 y=-2cos t+2,6h=f(t)=-2cos t+2.5(t0).6(2)函数 h=-2cost+2.5(0t12)的大致图象如图所示.649考点探究素养达成高考真题