逻辑与科学方法论[6].ppt

1、,科学与逻辑方法论 第五讲,上一讲的要点： 1） 自然语言在命题逻辑层次上的符号化 2） 真值形式的类型： 重言式、矛盾式与可真式 3）真值形式的判定,本讲要点： 命题推理有效性的判定： 1）传统逻辑对几种基本类型的命题推理的判定。 2）现代逻辑对命题推理的判定： a）真值表 b）归谬赋值 c）真值树,一个存遗的问题： 如果周未天晴，则举行校运动会；否则， P q 举行校歌咏比赛。 r 以下哪式是上述命题的正确符号化？ (pq）（pr） (pq）（pr） 让我们算一算吧！,如果事实情况是： 第一，周未确实天晴（P = 1）； 第二，周未校运动会末举行（q = 0）； 第三，校歌咏比赛举行了（r

2、 = 1）。 在这样的事实条件下， 如果周未天晴，则举行校运动会；否则，举行校歌咏比赛。 这一命题显然是假的。 让我们算一算在上述条件（p =1；q = 0；r = 1）下以下两式的真值： (pq）（pr） (pq）（pr）,p q r (pq）（pr） (pq）（pr） 1 0 1 0 1 关于上述计算,以下哪项表述是准确的？ 上述计算能说明，式是对的，式是错的。 上述计算能说明，式是错的，但不能说明式是错的,命题推理的判定,传统逻辑关于几种基本类型的命题推理的判定 联言推理 选言推理：相容选言推理 不相容选言推理 假言推理：充分条件假言推理 必要条件假言推理 充分必要条件假言推理 二难推理

3、,联言推理,合成式：p p1，pn q - - p1 pn pq 分解式： pq pq p1 pn - - - p q pi （i= 1， ，n）,选言推理,相容选言推理 有效式：否定肯定式 pq pq p q q p 无效式：肯定否定式 pq pq p q q p,不相容选言推理 有效式： 否定肯定式 要么p，要么q 要么p，要么q p q q p 肯定否定式 要么p，要么q 要么p，要么q p q q p,注意： 在日常语言中： “要么，要么”只表示不相容关系； “或者，或者”在不同的语境下，有时表示相容关系，有时表示不相容关系。,假言推理,充分条件假言推理 有效式： 无效式： 肯定前件式

4、：p q 否定前件式：p q p p q q 否定后件式： p q 肯定后件式：p q q q p p,必要条件假言推理 有效式： 无效式： 否定前件式：只有p，才 q 肯定前件式：只有p，才q p p q q 肯定后件式： 只有p，才q 否定后件式：只有p，才q q q p p,充分必要条件假言推理 有效式： 肯定前件式：p q 肯定后件式：p q p q q p 否定前件式： p q 否定后件式：p q p q q p,如果P不上场，则S不上场； 只有D不上场，G才上场； A和C要么都上场，要么都不上场； 当且仅当D上场，R才不上场； 只有R不上场，C才不上场； A和P两人中，只能上场一个

5、； 如果S不上场，则T和Q也不上场； R和F两人中也只能上场一个。 G上场。 从上述条件可推出谁上场，谁不上场？,只要天上有太阳并且气温在零度以下，街上总有很多人穿着皮茄克。只要天下着雨并且气温在零度以上，街上总有人穿着雨衣。有时，天上有太阳但却同时下着雨。 如果上述断定是真的，则以下哪项一定是真的？ A有时街上会有人在皮茄克外面套着雨衣。 B如果街上有很多人穿着皮茄克但天没下雨，则天上一定有太阳。 C如果气温在零度以下并且街上没有多少人穿着皮茄克，则天一定下着雨。 D如果气温在零度以上并且街上有人穿着雨衣，则天一定下着雨。 E如果气温在零度以上但街上没人穿雨衣，则天一定没下雨。,二难推理：

6、p q p q pp q,古代有一个智者，犯了死罪，按律当斩。国王设计了一种特殊的行刑方式，希望智者能通过自己的智慧来拯救自己的生命。有两个武士，每人手里各拿着一瓶外观完全一样的酒，其中，一瓶是美酒，另一瓶是毒酒；两个武士有问必答， 其中一个回答的都是真话，另一个回答的都是假话。两个武士都知道上述所有信息。现在只允许智者向两个武士中的任意一个提一个问题，并根据得到的回答判定哪瓶是美酒，并把它一饮而尽。,智者问（不妨问甲）： 请告诉我，乙将如何回答他手里拿的是美酒还是毒酒这个问题？ 分析： 如果甲说真话，则乙说假话，这样，甲把一句假话如实地告诉智者，结果，智者得到的是一句假话； 如果甲说假话，则

7、乙说真话，这样，甲把一句真话不如实地告诉智者，结果，智者得到的还是一句假话。 甲或者说真话，或者说假话； 总之，智者得到的总是一句假话。,真值表方法,构造一个真值形式的真值表的步骤是： 第一，确定真值形式中有多少个不同的命题变项； 第二，列出命题变项的所有不同的取值情况，一般地，n个命题变项所有不同的取值情况是2n组； 第三，相应于命题变项的各组取值，计算出真值形式的真值，作出完整的真值表。,一个真值形式是重言式，当且仅当它在其真值表各行中的取值都真。 一个真值形式是矛盾式，当且仅当它在其真值表各行中的取值都假。 一个真值形式是可真式，当且仅当它在其真值表至少一行中取值为真。,例用真值表判定以

8、下真值形式： (pq)(pq) pq(pq) (pq) 11(11) (11) = 1 10(10) (10) = 1 01(01) (01) = 1 00(00) (00) = 1,上述真值表可省略其计算过程，直接写为： pq(pq) (pq) 11 1 10 1 01 1 00 1,例用真值表判定下列命题推理是否有效： 1）此案的作案者是张三，或者是李四。有证据证明张三没作案。因此，作案者是李四。 2）此案的作案者是张三，或者是李四。有证据证明是张三作案。因此，作案者不是李四。 3）此案的作案者是张三，或者是李四。因此，并非两人都参与作案。 解 令p = 作案者是张三，q = 作案者是李四

9、。则上述三个推理的真值形式是： 1）(pq)p)q 2）(pq)p)q 3）(pq)(qp),pq (pq)p)q (pq)p)q (pq)(qp) 11 1 0 0 10 1 1 1 01 1 1 1 00 1 1 1,例用真值表判定以下命题推理： 或者逻辑难学，或者没有多少学生喜欢它。如果数学容易学，那么逻辑不难学。因此，如果许多学生喜欢逻辑，那么数学并不太容易。 解 ：令p = 逻辑难学，q = 没有多少学生喜欢逻辑，r = 数学容易学。 则该推理的真值形式是： (pq)(rp)(qr),构造它的真值表如下： p q r(pq)(rp)(qr) 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1

10、 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 推理有效。,能行方法 真值表方法是一种能行方法。 能行方法是一种问题求解的方法。 一种问题求解的方法是能行的，是指：第一，这种方法对问题求解的每一步都给出确定的操作指令；第二，作为第n步求解操作的结果，这种方法给出第n+1步的确定操作指令；第三，这种方法确保在有限步内完成问题的求解。 显然，能行方法有两个根本特点：一是操作方法是机械的，二是操作步骤是有限的。,任一真值形式是能行可判定的。 任一命题推理是能行可判定的。,归谬赋值法,例如果地球围绕太阳公转，但并不围绕自己的轴心自转，那么地球上就没有白天和黑夜。因

11、为事实是地球上有白天和黑夜。所以，或者地球并不公转，或者地球既公转又自转。 解 令p表示地球（围绕太阳）公转，q表示地球（围绕自己的轴心）自转，r表示地球上有白天和黑夜， 则该推理的真值形式及其归谬赋值如下： （pq）r）r）（ p（pq） 1 0 1 1 1 1 0 0,例用归谬赋值法判定以下推理： 事实是我的勺是干的，所以我没有在自己的咖啡中加糖。因为我如果搅动了咖啡，我的勺一定是潮的。然而我不会搅动咖啡，除非我给它加糖。 解 令p表示我的勺是干的，q表示我没有在自己的咖啡中加糖，r表示我搅动了咖啡。 该推理的结论是“我没有在自己的咖啡中加糖”，其余的断定都是前提。 该推理的真值形式及归谬

12、赋值如下： （rp）（qr）p）q 0 1 1 0 1 1 该推理无效。,真值树,问题 下列断定是否一致（是否自相矛盾）？ 谋杀至少由管家、女仆和园丁三人中一人参与；有证据说明，或者谋杀在室内发生，或者管家参与了谋杀；如果谋杀在室内发生，则园丁可排除作案的可能；如果使用了毒药，那么除非女仆作案，否则管家不会作案。但是，第一，女仆没参与作案，第二，谋杀确实使用了毒药。,真值树方法的基本思想,构造真值树的规则,1）合取分解： AB A B 根据该规则，合取式被分解后，它的合取支写在该合取式下方的同一枝上。真值形式被被分解后，写上“”标记，表示该式已经过分解。,2）析取分解： AB A B 根据该规

13、则，析取支被分解后，它的析取支写在该析取式下方的不同分枝上。 3）双否分解： A A,基本规则只有这三条。 由于任一真值联结都可由、和定义，因此，依据以上三条规则可分解任意真值形式。,问题 如何分解： AB （AB） （AB） （AB） AB （AB）,因为（AB）（AB），所以下面的分解成立： AB A B 因为（AB）（AB），所以下面的分解成立： （AB） A B,因为（AB） （AB），所以下面的分解成立： （AB） A B 因为（AB）（AB），所以下面的分解成立： （AB） A B,因为（AB）(AB)（AB）)，所以下面的分解成立： AB A A B B 因为（AB） (（AB）

14、（AB），所以下面的分解成立： （AB） A A B B,为了操作方便，一般地说， 第一，先分解那些不产生新分叉的真值形式； 第二，再分解那些能在同一分叉上迅速产生一命题变项及其否定的真值形式； 如果前两条都不能满足，那就先分解最复杂的真值形式。,例1 用真值树方法判定： A B，C， A C是否一致。,解 构造该命题集的真值树。 （1） AB 前提 （2） C 前提 （3） AC 前提 （4） A （1）分解 （5） B （1）分解 （6） A C （3）分解 真值树封闭，命题集不一致。,例谋杀至少由管家、女仆和园丁三人中一人参与；有证据说明，或者谋杀在室内发生，或者管家参与了谋杀；如果谋杀

15、在室内发生，则园丁可排除作案的可能；如果使用了毒药，那么除非女仆作案，否则管家不会作案。但是，第一，女仆没参与作案，第二，谋杀确实使用了毒药。 令p表示“管家参与谋杀”，q表示“女仆参与谋杀”，r表示“园丁参与谋杀”，s表示“谋杀在室内发生”，t表示“谋杀使用了毒药”。,（1） pqr 前提 （2） sp 前提 （3） sr 前提 （4） t（qp） 前提 （5） q 前提 （6） t 前提 （7） t qp (4)分解 （8） q p (7)分解 （9） q (10) s p (2)分解 (11) s r (3)分解 (12) p q r (1)分解 真值树封闭，题目中的议论自相矛盾。,问题

16、： 真值树方法能否判定命题推理的有效性？,由于A是重言式，当且仅当A是矛盾式，因此，真值树方法同样可以用来判定一真值形式是否为重言式，即可以用来判定一命题推理是否有效。,例3 用真值树方法判定下面推理是否有效： 如果“世界上没有真理”这个命题是真的话，那么，它就是假的。因此，“世界上没有真理”这个命题是假的。 令p表示“世界上没有真理”，则上述推理的真值形式是 （pp） p 该真值形式是重言式，当且仅当它的否定是矛盾式。因此，只要通过构造真值树来判定 （p p） p） 是否为矛盾式就可以了。,构造 （p p） p）的真值树如下： （1） （p p） p） 前提 （2） （p p） （1）分解 （3） p （1）分解 （4） p （3）分解 （5） p p （2）分解 真值树封闭，推理有效。,甲乙丙三人处于一个等边三角形的三个端点上，持手枪进行决斗。甲的射击准确率是100%，乙是80%，丙是50%。三人互相之间都知道各自的准确率。三个通过摸阄确定射击的次序。每人每次只能朝选定的目标射击一次，决斗在三人中有两人被打死的情况下结束。 假设三人的推理无误，则谁在决斗 中存活的可能性最高？谁次之？谁最低？,先考虑一下： 轮到丙射击，他的最佳处置是什么？,在甲乙两人都仍存活的情况下，如果轮到丙射击，他的最佳处置是朝天开枪。 （想想看，为什么？）,本题可以精确地计算出三人存活的概