第二类曲线积分.ppt

1、第十章,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二类曲线积分,二、第二类曲线积分的概念与性质,一、向量场,三、第二类曲线积分的计算,一、向量场,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,画向量场,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,梯度场和保守场,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,二、对坐标的曲线积分,定向曲线与切向量：,定向曲线：带有确定走向的一条曲线。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则 L 的切向量为：,分割,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,“分割, 近似,

2、求和, 取极限”,求变力沿曲线所作的功，利用,近似,例：求变力 F 沿曲线 L 所作的功。,求和:,取极限:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量形式,坐标形式,则,对坐标的曲线积分的定义：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上式也称为第二类曲线积分的向量形式。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二类曲线积分也称为向量场的线积分。,说明：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,基本性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质1：,性质2：,性质3：,第二类曲线积分的坐标表示,设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,若上式左端的极限存在，则右端的极限也存在,记为,上式右端称为第

3、二类曲线积分的坐标表示。,（2）若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示。,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、两类曲线积分之间的关系,证明：,于是有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面曲线的情况完全类似推导。,故,解1：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解2：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,于是,四、对坐标的曲线积分的计算,定理（平面曲线的情形）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明：,机动 目录 上页 下页 返

4、回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意：a 未必小于 b。,特殊情形,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4) 若曲线 L 的方程为极坐标方程：,先化成参数方程：,然后用公式计算。,定理（空间曲线的情形）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意：两类曲线积分之间区别,（1）第一类曲线积分是数量函数对弧长的积分； 第二类曲线积分是向量函数的各分量函数 对坐标的积分。,（2）第一类曲线积分与路径的方向无关，化成 定积分时，下限总小于上限； 第二类曲线积分与路径的方向有关（方向 改变，积分值变号），化成定积分时，下 限未必小于上限。,机动 目录 上

5、页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（2）对于第二类曲线积分，当积分弧 L 是垂直于某坐标轴的直线段 AB 时，对该坐标的积分为零，即,空间曲线上的第二类曲线积分也有类似的性质。,说明：,（1）在第二类曲线积分中，由于涉及积分曲线的方向问题，因此要慎用对称性。一般情况下，应在曲线积分化为定积分后再考虑能否利用对称性来化简计算。,例3:,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4：,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般情况下，第二类曲线积分的值，不仅与积分路径的起点或终点有关，而且与积分路经本身有关。即被积函数相同，起

6、点和终点也相同，但路径不同积分结果不同。,例3说明：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在有些情况下，第二类曲线积分的值，仅与积分路径的起点或终点有关，而与积分路经本身无关。即被积函数相同，起点和终点也相同，路径不同积分但结果相同。,例4说明：,例5. 求,其中 L 是双纽线的右半支,逆时针方向。,解: L 的极坐标方程是：,L 的参数方程是：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,奇函数,例6. 求,其中,从 z 轴正向看为顺时针方向.,解: 取 的参数方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,解:,动到,向坐标原点，,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比。,沿直线移,机动 目录

7、 上页 下页 返回 结束,例8：,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如图,则,例9：,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则在 t 时刻：,单位时间流出的油漆为：,1. 定义,2. 性质,(1) L 可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2) L 表示 L 的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 计算, 对有向光滑弧,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 若曲线 L 的方程为极坐标方程：,先化成参数方程：,然后用公式计算。, 对空间有向光滑弧 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,区别：,第一类曲线积分与路径的方向无关，

8、化成定积分时，下限总小于上限；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二类曲线积分与路径的方向有关（方向改变，积分值变号），化成定积分时，下限未必小于上限。,4. 两类曲线积分的联系与区别,联系：,作业,习题9-2(P250) 1(3)(6)(7)(8)； 2(2)(4); 3; 5；7,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,1、,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 已知,为折线 ABCOA(如图), 计算,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原点 O 的距离成正比,4、 设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,逆时针移动到,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.,将积分,化为对弧长的积,分,解1：,其中L 沿上半圆周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.,将积分,化为对弧长的积,分,解2：,其中L 沿上半圆周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6：设在力场,作用下, 质点由,沿移动到,解: (1),(2) 的参数方程为,试求力场对质点所作的功.,其中为,机动 目