第2讲 数列求和及综合应用

1、创新设计第2讲数列求和及综合应用热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合1创新设计1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位高考定位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合2创新设计真题感悟1.(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和.若Sn2an1，则S6 .法一因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11.解析当n2时，anSnSn12an1(2an11)，所以an2an1，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所

2、以an2n1.1（126）所以 S663.12热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合3创新设计法二由Sn2an1，得S12S11，所以S11，当n2时，由Sn2an1得Sn2(SnSn1)1，即Sn2Sn11，Sn12(Sn11)，又S112，Sn1是首项为2，公比为2的等比数列，所以Sn122n12n，所以Sn12n，S612663.答案63热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合4创新设计2.(2017全国卷)设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；an(2)求数列的前 n 项和.2n1解(1)因为a13a2(2n1)an2n，故当

3、n2时，a13a2(2n3)an12(n1)， 2得(2n1)a 2，所以 a nn2n1 2又 n1 时，a 2 适合上式，从而a 的通项公式为 a .1nn2n1热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合5创新设计an(2)记的前 n 项和为 Sn，2n1an 2 1 1，由(1)知2n1（2n1）（2n1）2n12n1 1 1111则 S 1n3352n12n1 1 2n1.2n12n1热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合6创新设计3.(2019天津卷)设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于0.已知a1b13，b2a3，b34a23.(1)求an和bn的

4、通项公式；1，n为奇数，(2)设数列cn满足 cn求 a1c1a2c2a2nc2n(nN*).nb2，n为偶数.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合7创新设计解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q(q0).3q32d，d3，依题意，得解得23q 154d，q3，故an33(n1)3n，bn33n13n.所以an的通项公式为an3n，bn的通项公式为bn3n.(2)a1c1a2c2a2nc2n(a1a3a5a2n1)(a2b1a4b2a6b3a2nbn)n（n1）123nn36(63 123 183 6n3 )23n26(131232n3n).热点聚焦 分类突

5、破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合8创新设计记Tn131232n3n，则3Tn132233n3n1，得，2Tn332333nn3n13（13n）（2n1）3n13n3n1.213所以a1c1a2c2a2nc2n3n26Tn（2n1）3n13（2n1）3n26n293n23(nN*).22热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合9创新设计考点 整合S1 （n1），1.(1)数列通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系，anSnSn1（n2）.(2)应用an与Sn的关系式f(an，Sn)0时，应特别注意n1时的情况，防止产生错误.2. 数列求和(1) 分组转化法：一个数列既不是等差

6、数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.(2) 错位相减法：主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合10创新设计(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中 c间若干项的方法，裂项相消法适用于形如a a(其中an是各项均不为零的等差数列，nn1c 为常数)的数列.温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.热点聚焦 分类突破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合11创新设计3.数列与函数、不等式的

7、交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题， 解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合12创新设计热点一an与Sn的关系问题【例 1】 设数列an的前 n 项和为 Sn，对任意的正整数 n，都有 an5Sn1 成立，bn1b 1log |a |，数列b 的前 n 项和为 T ，c .n2nnnnTnTn1(1) 求数列an的通项公式；(2) 求数列cn的

8、前 n 项和 An，并求出 An 的最值.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合13创新设计解(1)因为an5Sn1，nN*，所以an15Sn11，1两式相减，得 an14an，1又当 n1 时，a 5a 1，知 a14111所以数列a 是公比、首项均为 的等比数列.n41n所以数列a a .的通项公式nn4热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟考点整合14创新设计(2)由(1)知bn1log2|an|2n1，数列bn的前n项和Tnn2，bn1 2n1 1 1，c n2（n1）2n2n1）2（nTnTn11所以 A 12.n（n1）因此An是单调递增数列，13当 n1 时，

9、A有最小值 A 1 ；A没有最大值.n1n44热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合15创新设计给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用SnSn1an(n2)探究提高转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合16创新设计【训练1】(2019济南调研)已知数列an的前n项和是Sn，且Sn2an1(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)令 bnlog2an，求数列(1)nb2前 2n 项的和 T.nSn2an1，解 (1)当 n2 时，由得 an2an1

10、，Sn12an11，又当n1得a11，于是an是首项为1，公比为2的等比数列.所以an2n1.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合17创新设计(2)由(1)知，bnlog2anlog22n1n1，于是数列bn是首项为0，公差为1的等差数列.Tb2b2b2b2b2b212342n12nb1b2b3b2n1b2n，2n（2n1）所以 Tn(2n1).2热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟考点整合18创新设计热点二数列的求和角度1分组转化法求和【例21】(2019石家庄调研)已知数列an是等差数列，且a81，S1624.(1)求数列an的通项公式an；(2)若数列bn是递增

11、的等比数列且b1b49，b2b38，求(a1b1)(a3b3)(a5b5)(a2n1b2n1).a17d1，a16，解 (1)由已知得解得2a115d3，d1.an6(n1)1n7.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟考点整合19创新设计(2)数列bn是递增的等比数列，由b2b38，得b1b48， 又b1b49，联立，得b11，b48. 因此公比q2，则bn2n1，(a1b1)(a3b3)(a5b5)(a2n1b2n1)(a1a3a2n1)(b1b3b2n1)(6422n8)(14164n1)n（62n8）（14n）4n1n27n.2314热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考

12、点整合20创新设计1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和探究提高转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n的奇偶进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合21创新设计【训练2】 (2019贵阳诊断)设等差数列an的前n项和为Sn，且a28，S440.数列bn的前n项和为Tn，且Tn2bn30，nN*.(1)求数列an，bn的通项公式；an，n为奇数，(2)设 cn求数列cn的前 n 项和 Pn.bn

13、，n为偶数，热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合22创新设计解(1)设等差数列an的公差为d，a1d8，a14，由题意，得解得所以 an4n，4a16d40，d4，因为Tn2bn30，所以当n1时，b13，当n2时，Tn12bn130， 两式相减，得bn2bn1(n2)，则数列bn为首项为3，公比为2的等比数列，所以bn32n1.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合23创新设计4n，n为奇数，(2)cnn132，n为偶数，当n为偶数时，Pn(a1a3an1)(b2b4bn)（44n4） n6（14n）2 22n1n22.214当n为奇数时，热点聚焦 分类突破归

14、纳总结 思维升华真题感悟 考点整合24创新设计法一n1(n3)为偶数，PnPn1cn2(n1)1(n1)224n2nn22n1，n1时符合上式.法二Pn(a1a3an2an)(b2b4bn1)n1n1（44n）6（14）222nn22n1.2142n1n22，n为偶数，2 n 2n1，n为奇数.所以 Pnn2热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟考点整合25创新设计角度2裂项相消法求和【例 22】 (2019西安质检)在公差不为 0 的等差数列an中，a2a a ，且 a为 a23631与 a11 的等比中项.(1)求数列an的通项公式； nn*(2)设b (1)(nN )，求数列b 的

15、前n项和T .nnn11anan1 22热点聚焦 分类突破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合26创新设计解(1)设数列an的公差为d，a2a a ，236(a1d)2a12da15d，a2a a，3111即(a12d)2a1( a110d)，d0，由解得a12，d3.数列an的通项公式为an3n1(nN*).热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合27创新设计(2)由题意知，1 1 11 1 1 nbn(1)n(1)n33n(1) 6 3n29 2n12n13 33n23n23n2 1 11111111（1）nTn2n12n191335571n 191（1） 2n1.热点聚焦分类突

16、破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合28创新设计探究提高1.裂项相消求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合29创新设计【训练 3】 设正项等比数列a ，a 81，且 a ，a的等差中项为32(a1a ).n4232(1)求数列an的通项公式；，数列b 的前 n 项为 S ，数列c 满足 c 1T为，(2) 若 b log an32n1nnnnn4S 1n数列cn的前 n 项和，求 Tn.热

17、点聚焦 分类突破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合30创新设计解(1)设等比数列an的公比为q(q0)，a4a1q381，由题意及 a2a33(a1a2)，得2a1qa1q 3（a1a1q）.解得a1q3.所以ana1qn13n.(2)由(1)得bnlog332n12n1，n（b1bn）n1（2n1）n2Sn221 11 1c 22n12n1，4n2n11 1 1111 nTn13.2352n12n12n1热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合31创新设计角度3错位相减法求和an112nn1*【例 23】 (2019成都七中诊断)在数列a a ，且(nN ).中，已知n12an

18、(1) 求an的通项公式；(2) 求an的前 n 项和 Sn.热点聚焦 分类突破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合32创新设计an1n1an11 an*解 (1) 由2n ，nN .得，a2nn1nan111又 a ，所以是以 为首项、 为公比的等比数列.1n222an 1 n*于是，则 a (nN )nnnn22 n*a a ，nN .故的通项公式为2nnn热点聚焦分类突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合33创新设计n11 2 3 n(2)由 Sn22223 2n1 2n，n11 1 2 3 n得2Sn222324 2nn1，2n2 1 11 1 1 1 n n1两式相减，得2Sn22223

19、2n n11n1 .nn12222于是a 的前 n 项和 S 2n2N*).(n2nnn热点聚焦 分类突破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合34创新设计探究提高1.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比， 然后作差求解.2.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“SnqSn”的表达式.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合35创新设计【训练4】 (2019武汉调研)已知an是各项均为正数的等比数列，且a1a26，a1a2a3.(1)求数

20、列an的通项公式；bn(2)b n项和为 S ，已知 Sb b为各项非零的等差数列，其前，求数列nn2n1nn1an的前 n 项和 Tn.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合36创新设计a1（1q）6，解(1)设an的公比为 q，由题意知22a1qa1q ，a12，n又 an0，解得所以 an2 .q2，（2n1）（b1b2n1）(2)由题意知：S2n1(2n1)bn1，2又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.2n1bn令 cnan，则 cn，2n热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合37创新设计2n12n13 5 7因 此 T c c cn2222

21、3，2n2n1n122n1 2n2n12n1又1T 3 5 7n22232421 1 12n12n5135两式相减得 Tn n1 ，222n1n12222222n5所以 Tn5.2n热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合38创新设计热点三与数列相关的综合问题1【例 3】 设 f(x)2x22x，f(x)是 yf(x)的导函数，若数列a 满足 af(a )，且首nn1n项 a11.(1) 求数列an的通项公式；(2) 数列an的前n项和为Sn，等比数列bn中，b1a1，b2a2，数列bn的前n项和为Tn，请写出适合条件TnSn的所有n的值.热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感

22、悟 考点整合39创新设计1(1)由 f(x)2x22x，得 f(x)x2.解an1f(an)，且a11.an1an2，则an1an2，因此数列an是公差为2，首项为1的等差数列.an12(n1)2n1.热点聚焦 分类突破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合40创新设计n（12n1）n2，(2)数列a 的前 n 项和 Snn2等比数列bn中，b1a11，b2a23，q3.bn3n1.13n3n13n1数列bn的前 n 项和 Tn 13 31 .23n1n2.TnSn 可化为2又nN*，n1，或n2.故适合条件TnSn的所有n的值为1和2.热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合41创新设计探究提高1.求解数列与函数交汇问题要注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别注意；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟考点整合42创新设计【训练5】已