2015山东春季高考数学真题与答案

1、.机密启用前山东省 2015 年普通高校招生（春季）考试数学试题注意事 ：1.本 卷分卷一（ ）和卷二（非 ）两部分, 分 120 分，考 120 分 .考 束后， 将本 卷和答 卡一并交回.2.本次考 允 使用函数型 算器，凡使用 算器的 目，最后 果精确到0.01.卷一（ ，共60 分）一、 （本大 共20 个小 ，每小 3 分，共 60 分 .在每小 列出的四个 中，只有一 符合 目要求， 将符合 目要求的 字母代号 出，填涂在答 卡上）1.集合 A1,2,3 ， B1,3 ， AI B 等于（）A.1,2,3B.1,3C.1,2D.2【考 内容】集合的交集【答案】 B2.不等式x15

2、的解集是（）A.(6 ,4)B.(4 ,6)C. ( ,6) U (4, )D. ( ,4) U (6, )【考 内容】 不等式的解法【答案】 B【解析】 x155 x 1 54x 6 .3.函数 yx11）的定 域是（xA. x x 1且x 0B. x x 1C. x x 1且 x 0 D. x x 1【考 内容】函数的定 域【答案】 A【解析】 x10 且 x 0 得 函数的定 域是x x 1且 x0.4.“ 心到直 的距离等于 的半径”是“直 与 相切”的()A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考 内容】充分、必要条件【答案】 C【解析】“ 心到直

3、 的距离等于 的半径” “直 与 相切” ，“直 与 相切” “ 心到直 的距离等于 的半径” .5.在等比数列an中， a2 1,a43 ， a6 的 是（）A. 5 B.5C.9 D.9【考 内容】等比数列的性 【答案】 D;.【解析】 q 2a43 ， a6 a4 q29 .a2uuurr uuurruuuur6.如图所示， M 是线段 OB 的中点，设向量 OAa,OBb ，则 AM 可以表示为（）第 6 题图15SD1r1 rr1 rr1 rr1 rA. abB. abC. abD. ab2222【考查内容】向量的线性运算【答案】 Buuuuruuuuruuur1 rr【解析】 AM

4、OMOAba .27.终边在 y 轴的正半轴上的角的集合是（）A. x x2k , k ZB. x xk , k Z22C. x x2k , k ZD. x xk , k Z22【考查内容】终边相同的角的集合【答案】 A【解析】终边在y 轴正半轴上的角的集合是x2k , k Z .28.关于函数 yx22x ，下列叙述错误的是（）A. 函数的最大值是1B.函数图象的对称轴是直线x1C.函数的单调递减区间是 1, )D. 函数的图象经过点（2,0）【考查内容】二次函数的图象和性质【答案】 C【解析】 yx22x(x 1)21 ，最大值是 1，对称轴是直线x 1 ，单调递减区间是 1,) ，（2,

5、0）在函数图象上 .9.某值日小组共有5 名同学，若任意安排 3 名同学负责教室内的地面卫生，其余2 名同学负责教师外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（）A.10B.20C.60D.100【考查内容】组合数的应用【答案】 A【解析】从5 人中选取3 人负责教室内的地面卫生，共有310 种安排方法 .（选取 3人后C5剩下 2 名同学干的活就定了）10.如图所示，直线l 的方程是（）;.第 10 题图15SD2A. 3x y3 0 B. 3x 2 y3 0C. 3x 3y 1 0 D. x3 y 1 0【考查内容】直线的倾斜角，直线的点斜式方程【答案】 D【解析】由图可得直线的倾斜角为30，斜

6、率 ktan30o3 ，直线 l 与 x 轴的交点为（ 1,0），3由直线的点斜式方程可得l ： y 03 (x 1) ，即 x3y1 0 .311.对于命题 p,q,若 p q 是假命题， pq 是真命题，则（）A. p,q 都是真命题B. p,q 都是假命题C. p,q 一个是真命题一个是假命题D.无法判断【考查内容】逻辑联结词【答案】 C【解析】由 p q 是假命题可知 p,q 至少有一个假命题，由p q 是真命题可知 p,q 至少有一个真命题， p,q 一个是真命题一个是假命题 .12.已知函数 f ( x) 是奇函数，当 x0 时， f (x)x 22 ，则 f ( 1) 的值是（）

7、A. 3B.1 C.1D.3【考查内容】奇函数的性质【答案】 A【解析】 f ( 1)f (1)(122)3 .13.已知点 P( m, 2) 在函数 ylog1x 的图象上，点uuurA 的坐标是（ 4,3），则 AP 的值是（）3A. 10B. 2 10C. 62D. 52【考查内容】对数的运算，向量的坐标运算，向量的模【答案】 D【解析】 点 P(m,2) 在函数 ylog1x的图象上， log 1 m2,m (1) 29 ， P 点坐标为333uuuruuur52 .(9, 2) ， AP (5, 5), AP221 ，给出下列命题：14.关于 x，y 的方程 xmy当 m0时，方程表

8、示双曲线；当 m0 时，方程表示抛物线；当 0m1 时，方程表示椭圆；当 m1 时，方程表示等轴双曲线；;.当 m1时，方程表示椭圆.其中，真命题的个数是（）A.2B.3C.4D.5【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，等轴双曲线的概念【答案】 B【解析】当 m0 时，方程表示双曲线；当m0时，方程表示两条垂直于x 轴的直线；当0 m 1 时，方程表示焦点在 y 轴上的椭圆；当m 1 时，方程表示圆；当m 1 时，方程表示焦点在 x 轴上的椭圆 .正确 .15. (1 x)5 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（）A.0 B. 1C.32D.32【考查内容】二项式定理【答案】 D【

9、解析】所有项的二项式系数之和为C50C51C52C53C54C5532 .16.不等式组xy10 表示的区域（阴影部分）是（）xy30ABCD15SD315SD415SD515SD6【考查内容】不等式组表示的区域【答案】 C【解析】可以用特殊点（0,0）进行验证： 00 1 0 ， 0 0 30 ，非严格不等式的边界用虚线表示，该不等式组表示的区域如C 选项中所示 .17.甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（）A. 2B. 2C.11D.2934【考查内容】古典概率【答案】 D【解析】甲、乙两位同学选取景

10、点的不同种数为2 24 ，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为 2，故所求概率为214.2r(cosr(cos,sinr r18.已知向量a,sin ), b), 则 a b的值等于（）121212g121 3A.B.C.1D.02 2【考查内容】余弦函数的两角差公式，向量的内积的坐标运算【答案】 A;.rrcoscossinsin1 .【解析】 agb sin612121212219.已知,表示平面， m，n 表示直线，下列命题中正确的是（）A. 若 m， mn ，则 n PB.若 m， n， P，则 m P nC.若 P， m，则 m PD.若 m， n， m P， n P，则 P

11、【考查内容】空间直线、平面的位置关系【答案】 C【解析】 A. 若 m， mn ，则 n P或 n 在内；B. 若 m， n，P，则 m P n或 m 与 n 异面； D. 若 m， n， m P， n P，且 m、n 相交才能判定P ；根据两平面平行的性质可知C 正确 .2220.已知 F1 是双曲线 x2y21(a0,b0) 的左焦点， 点 P 在双曲线上， 直线 PF1与 x 轴垂直，ab且 PF1a ，则双曲线的离心率是（）A. 2B.3 C.2 D.3【考查内容】双曲线的简单几何性质【答案】 A【解析】 F1的坐标为 (c,0)，设 P 点坐标为 (c, y0 ) ，( c)2y02

12、1 ，解得 y0b2，由 PF1 ab2a2a可得 b2a ，则 ab ，该双曲线为等轴双曲线，离心率为2 .a卷二（非选择题，共60 分）二、填空题 （本大题共5 个小题，每小题4 分，共 20 分 .请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21.直棱柱的底面是边长为a 的菱形，侧棱长为h，则直棱柱的侧面积是.【考查内容】直棱柱的侧面积【答案】 4ah22.在 ABC 中，A105o ,C45o , AB22 ,则 BC=.【考查内容】正弦定理【答案】2+ 6【解析】由正弦定理可知，ABBC, BCAB sin A22 sin105o62 .sin Csin Asin C2223.计划从 500

13、 名学生中抽取50 名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为 1-500 ，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2，则从第五个号码段中抽取的号码应是.【考查内容】系统抽样【答案】 42【解析】从500 名学生中抽取50 名，则每两相邻号码之间的间隔是10，第一个号码是 2，则第五个号码段中抽取的号码应是241042 .24.已知椭圆的中心在坐标原点， 右焦点与圆226 x70 的圆心重合， 长轴长等于圆的xy直径，则短轴长等于.【考查内容】椭圆的简单几何性质;.【答案】27【解析】圆 x 2y26x70 的圆心为（ 3,0），半径为4，则椭圆的长轴长为 8，即

14、c 3,a 4 ，ba 2c27 ，则短轴长为 2 7 .25.集合 M , N , S 都是非空集合，现规定如下运算：M N Sx x (M I N ) U (N I S) U (S I M ) .且 x ( M I N I S) .若集合 Ax axb, Bx c x d， Cx exf，其中实数 a， b，c，d， e，f，满足 ： ab0,cd0,ef0； abcdef； a bcd e f. 则AB C.【考查内容】不等式的基本性质，集合的交集和并集【答案】x cx 剟e或 bxd【解析】a b c d，a c d b；a b c d，a c b d；，；b d d b b d同理可

15、得 df， bdf. 由可得ace0b d f.则 A I Bx c xb ，B I Cx e x d， C I Ax e x b . A B Cx c x 剟e或b x d.三、解答题 （本大题共5 小题，共 40 分 .请在答题卡相应的题号处写出解答过程）26.（本小题6 分）某学校合唱团参加演出，需要把120 名演员排成5 排，并且从第二排起，每排比前一排多3 名，求第一排应安排多少名演员 .【考查内容】等差数列的实际应用【解】由题意知各排人数构成等差数列an，设第一排人数是 a1 ，则公差 d3 ，前 5 项和5120 ,因为Snna1n( n1)d，所以1205a1543118 .S

16、22，解得 a答：第一排应安排18 名演员 .27.（本小题8 分）已知函数y2sin(2 x), xR ，0.函数的部分图象如图所示.求：2（ 1）函数的最小正周期 T 及 的值；（ 2）函数的单调递增区间 .15SD7第 27 题图【考查内容】正弦型函数的图象和性质【解】（ 1 ）函数的最小正周期 T20,1），所以 2sin1 ，即,因为函数的图象过点（2;.sin1 ，又因为 0，所以.226(2) 因为函数 y sin x 的单调递增区间是2k ,2k , kZ .22所以2k剟2 x2k，解得k剟 xk ，26236所以函数的单调递增区间是k ,k , kZ .3628.(本小题

17、8分)已知函数 f (x)a x （ a0 且 a1 ）在区间 2,4 上的最大值是 16.(1) 求实数 a 的值 ;(2) 若函数 g(x) log 2 ( x23x2a) 的定义域是R ,求满足不等式 loga (12t) ,1 的实数 t 的取值范围 .【考查内容】指数函数的单调性【解】（ 1）当 0 a 1 时，函数 f (x) 在区间 2,4上是减函数，所以当 x2 时，函数 f (x) 取得最大值16，即 a2 16，所以 a1.4当 a1 时，函数 f (x) 在区间 2,4 上是增函数，所以当 x4 时，函数 f (x) 取得最大值16，即 a 416 ，所以 a2 .（ 2

18、 ） 因 为 g( x) log 2 ( x23x 2a) 的 定 义 域 是R, 即 x23x2a0 恒 成 立 . 所 以 方 程x23x2a 0 的判别式0 ，即 ( 3)24 2a0，解得 a918 ，又因为a4 或 a 2 ，所以a2 .代入不等式得 log 2 (12t) , 1 ，即 012t ,2 ，解得1 ,t1，所以实数t 的取值范22围是 1 , 1 ) .2229.(本小题 9 分 )如图所示，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是正方形，平面SAD 平面ABCD ， SA SD 2, AB3.(1) 求 SA 与 BC 所成角的余弦值；（2）求证： AB SD

19、.15SD8第 29 题图【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质【解】（ 1）因为 AD P BC ,所以SAD 即为 SA 与 BC 所成的角，在 SAD 中， SASD 2 ，又在正方形 ABCD 中 AD ABSA2 AD 2SD222322233 ,所以 cos SAD223,所以 SA2SAgAD4;.与 BC 所成角的余弦值是3.4(2) 因为平面 SAD 平面 ABCD ，平面 SADI平面 ABCDAD ,在正方形 ABCD 中， AB AD ,所以 AB 平面 SAD,又因为 SD平面 SAD,所以 AB SD .30.(本小题 9 分 )已知抛物线的顶点是坐标原点O,焦点 F 在 x 轴的正半轴上， Q 是抛物线上的点，点 Q 到焦点 F 的距离是1，且到 y 轴的距离是 3.8（ 1）求抛物线的标准方程；（ 2）若直线 l 经过点 M(3， 1),与抛物线相交于 A，B 两点，且 OA OB ,求直线 l 的方程 .15SD10第 30 题图【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质，直线