2016年高考理科数学全国1卷-含答案

1、.2016 年普通高等学校招生全统一考试理科数学第 卷一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2 x（ 1）设集合 a43 0 ，bx2x3 0，则 abx x（ a ）（ 3 ，33 ）（c）（ ， 3）（d）（3） （ b ）（ 3 ，21， 3 ）222（ 2）设 (1 i)x 1yi ，其中 x , y 是实数，则xyi（ a ） 1（ b ）2（ c ）3（ d ） 2（ 3）已知等差数列a前 9项的和为27， a108，则 a100n（ a ） 100（ b ） 99（ c） 98（ d ） 97（ 4）某公司的班车在7:30

2、,8:00,8:30发车， 小明在7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（ a ） 1（ b ） 1（c ） 2（ d ） 3323422（ 5）xy1 表示双曲线， 且该双曲线两焦点间的距离为4，则 m 的取值范围是已知方程22mn3mn（ a ）（1，3）（ b ）（1，3）（c）（0，3）（）（ ，3）d0（ 6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是28，则它的表面积是3（ a ） 17（ b ）18 （ c ） 20（ d ） 28 （ 7）函数 yx22，2 的

3、图象大致为2xe 在yyyy1111-2o2-2o2-2o2-22xxxox（ a ）（ b ）（ c ）（ d ）;.理科数学试卷a 型第 1 页（共5 页）;.开始（ 8）若 ab1 ， 0c1，则（ a ）cbab cba输入 x, y, ncca（ b ）（ c ）acbcnn 1n1log blog（ d ） log a c log b cx x,a2（ 9）执行右图的程序框图，如果输入的x0 , y1, n1 ，则输yny出 x,y 的值满足2y236否x（ a ） y2x（ b） y3x（ c） y4x（ d ） y5x是输出 x, y（ 10 ）以抛物线c 的顶点为圆心的圆交c

4、 于 a , b 两点，交c 的准线于d , e 两点已知 ab4 2 ， de2 5，则 c 的焦点到准线的距离为结束（ a ） 2（ b ） 4（ c ） 6（ d ） 8（ 11 ） 平面过正方体 abcd a1 b c d的顶点a ， 平面 cb1 d1 ，平面 abcdm ， 平111面 abb 1 an ，则 m,n 所成角的正弦值为1（ a ）3231（ b）（ c ）3（ d ）223（ 12 ） 已知函数 f (x) sin( x) (0,) ，x为 f (x)的零点， x为 yf ( x) 图象2445的对称轴，且f (x) 在 (,) 单调，则的最大值为1836（ a ）

5、 11（ b） 9（ c） 7（ d ） 5第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13) (21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22) (24)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分。（ 13 ） 设向量 a( m,1) ， b(1,2)222，且 a，则 m53bab（ 14 ）的展开式中，x的系数是（用数字填写答案）(2xx)（ 15 ） 设等比数列a 满足 a1a310， a2a45 ，则 a1 a2a n 的最大值为;.n（ 16 ）某高科技企业生产产品a 和产品b 需要甲、 乙两种新型材料. 生产一件a 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg ，用

6、5 个工时；生产一件b 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg ，用 3 个工时 . 生产一件a 产品的利理科数学试卷a 型第 2 页（共5 页）;.润为 2100 元，生产一件b 产品的利润为900 元 . 该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过 600 工时的条件下，生产产品a、产品b 的利润之和的最大值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（ 17 ）（本小题满分12 分） abc 的内角a, b,c 的对边分别为a,b, c ，已知 2 cosc(a cos b b cos a) c .（）求 c ；33（ ）若 c7 ， abc 的面积为. 求 a

7、bc 的周长 .2（ 18 ） （本小题满分12 分）如图，在以a, b, c,d,e,f为顶点的五面体中，面 abef为正方形，af2fd，afd90，且二面角dafe 与二面角cbef 都是 60 .cd（）证明：平面abef平面efdc；ea（）求二面角ebca 的余弦值.fb（ 19 ） （本小题满分12 分）某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后被淘汰. 机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件为备件，每个 200 元 . 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元 .频数 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜40 集并整理了100 台这种三

8、年使用期内更换的易损零件，得下面柱状图：20以这 100台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器o891011更换的易损零件数更换的易损零件数发生的频率，记 x 表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.（ ）求x 的分布列；（ ）若要求p（ xn）0.5 ，确定 n 的最小值；（ ）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在n19 与 n20 之中选其一，应选用哪;.个？理科数学试卷a 型第 3 页（共5 页）;.（ 20 ） （本小题满分12 分）2y 2xa ，直线 l 过点 b (1,0) 且与 x 轴不重合，设圆 x2 15 0 的圆

9、心为l 交圆 a 于 c, d 两点，过b 作 ac 的平行线交ad 于点 e .（ ）证明 eaeb 为定值，并写出点e 的轨迹方程；（）设点 e 的轨迹为曲线c ，直线 l 交 c1 于 m , n 两点，过 b 且与 l 垂直的直线与圆a 交于p,q1两点，求四边形mpnq 面积的取值范围.（ 21 ） （本小题满分12 分）已知函数fx有两个零点 .2(x) (x 2)ea( x 1)（ ）求 a 的取值范围；（）设 x1 , x是 f (x) 的两个零点，证明：x1 x2 .22请考生在第（22）、（23 ）、（24 ）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。（ 22 ）（

10、本小题满分10 分）选修4-1 ：几何证明选讲1为半径作圆.如图， oab 是等腰三角形，aob120. 以 o 为圆心，oa2（）证明：直线ab 与 o 相切；dco（）点c, d 在 o 上，且a, b,c, d 四点共圆，证明：ab cd .ab（ 23 ）（本小题满分10 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程;.xoy 中，曲线c 的参数方程为xa cost,0 ). 在以坐标原点在直角坐标系y( t 为参数， a11 a sin t,为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线c ：4 cos .2理科数学试卷a 型第 4 页（共5 页）;.（ ）说明 c1 是哪一种曲线，并将c1 的

11、方程化为极坐标方程；（ ） 直线 c 的极坐标方程为0 ，其中0 满足 tan02 ，若曲线 c1 与 c2 的公共点都在3c 上，求 a .3（ 24 ）（本小题满分10 分）选修4-5 ：不等式选讲已知函数f (x)x12x3 .（）在答题卡第（24 ）题图中画出yf (x) 的图像；（）求不等式f (x)1 的解集 .y1ox1;.理科数学试卷a 型第 5 页（共5 页）;.2016 年全国卷 高考数学（理科）答案与解析一、选择题【答案】（ 1 ） d（ 2） b（ 3） c（ 4） b（ 5） a（ 6） a（ 7 ） d（ 8） c（ 9） c（ 10 ） b（ 11 ） a （ 1

12、2） b【解析】2xxx3（ 1） ax x43 013 ， b x2x 3 0x x，23abxx32（ 2） (1 i ) x 1x1x1yi 即 x xi 1 yi ，解得：1xyy， x yix 2y 22 9(aa )9 2aa10a195， 105（ 3） s927 a531a89ad，522105a100a90d 98 10（ 4）如图所示，画出时间轴：7:307:407:508:008:108:208:30acdb小明到达的时间会随机的落在图中线段ab 中，而当他的到达时间落在线段ac 或 db 时，才能保证他等车的时间不超过10 分钟，根据几何概型，所求概率10101p402

13、222n 3m 2xy2nmm，n1 表示双曲线，则2（ 5）()(3)022m， mn3mn2c4c 2(2)(3)422mnmnm;.2解得 m1 ， 1 n 3 （ 6）原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的1/8后的三视图，表面积是7/8的球面面积和三个扇形面积之和，理科数学试卷a 型第 6 页（共5 页）;. s7423122178242222（ 7） f (2)8e82.80 ，排除 a ；f (2)8e82.71 ，排除b ；x 0时，f2xx110(x)2xe，f(x)4xe ，当 x(0,) 时， f(x)4e0 441f (x)在 (0,) 单调递减，排除c ；4故选 d

14、cc（ 8）对 a ：由于 0c1 ，函数 yx c 在 r 上单调递增，因此ab1ab ， a 错误；对 b ：由于1c1 0 ，函数yxc 1 在 1,上单调递减，c 1c 1cc a babbaab ， b 错误1bc ，只需比较lnb lncln cln c，只需 bln bac和，只需比较和aln aln blnabln b对 c：要比较a log c 和logba和 aln afxxln xx1 ，则f xln x110 fx 在 1,构造函数上单调递增，因此，f afb0aln ablnb011bln baln a又由 0c1 得 ln c0， lnlnloglog， c 正确c

15、cbcacaln ablnbabln对 d ：要比较log a c 和b c ，只需比较ln c和cloglnaln b而函数 ylnx 在 1,上单调递增，故1lnln011abablnaln b又由 0c1 得 ln c0， lnlnloglog， d 错误cccclnalnbab故选 c 1111【 2 用特殊值法，令3,bc1a得 3 22 ，排除a ；22,222322 3 ，排除b ；1113 log 22 log 3 2 ， c 正确； log 3log 2 ，排除d； 选 c 】222（ 9）如下表：判断循环节运n1是否n 1行次数x xxyy ny36n n22输出2;.xy

16、运行前01/1第一次01否否2第二次12否否32第三次36是是2理科数学试卷a 型第 7 页（共5 页）;.3输出x， y6 ，满足y4 x ， 故选c2（ 10 ）以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理22设抛物线为ypxp0 ，设圆的方为程f.222x yr ，题目条件翻译如图：设 ax0 ,22， dp，, 52ax0 ,2222点在抛物线ypx 上， 82 px 0 ?2p, 55p22222在圆xyr 上， 2dr? 点?ax0 ,2222222在圆 xyr 上， x08 r ? ?点联立 解得：p4 ，焦点到准线的距离为p4 2【如图，设抛物线方为程22yab, de 交 xp

17、x ，圆的半径为r ,c ,fac22，即a点纵坐轴于点，则为标 22，则点横坐标为4 ，即oc4，由勾股定app理知22222222dfofdor ， acocaor ，即2p 224 2，解得p4 ，即 c 的(5)()(22)()2p焦点到准线的距离为4】（ 11 ）如图所示： 平面 cb 1d1 ，若设平面cb d平面 abcdm ，则m m1111又平面 abcd 平面abc d，结合平面 b1 d1 c平面 a1 b1c1d11111b1 d1m1 ，故b d m11ab1 d1dcb;.同理可得：cd 1n故 m 、 n 的所成角的大小与b d、 cd 所成角的大小111d 1c

18、 1相等，即cd b 的大小a111b 1理科数学试卷a 型第 8 页（共5 页）;.而 b1c111（均为面对交线），因此3b dcd，即 sin cd 1 b1cd b1132（ 12 ）由题意知：k +41 则2k 1 ，其中 kz+k +422f x 在, 5 单调，5 t ,12( )36181221836接下来用排除法11, 3 3 5若,递增，在,递减，不满18 4444364，此时)(sin11;. 5 单调；足 f (x) 在,18 369, ，满足,5 单调递减若4 ，此时f (x) sin 9xf (x) 在41836理科数学试卷a 型第 9 页（共5 页）;.二、填空题【答案】（ 13 ） -2（ 14 ） 10（ 15） 64（ 16 ） 216 000【解析】a b (m1,3) , 22（ 13 ） 由已知得2222222a bab(m 1) 3m 1 1 2 ，解得 m2222 a2bab 得 ab ，m11 20 ，解得 m2 r（ 14 ）x)5r的展开式的通项为(2 xx 5 rx r5，5) ，令 53r5 rr x 2 ( r0 ，1，2，?c (2)()2c552得 r4 ，所以x3 的系数是42c105（ 15a的