高三数学教案直线的方程3

1、课题： 7.2 直线的方程（三）教学目的：1. 掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式以及它们之间的联系和转化，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程.2. 通过让学生经历直线方程的发现过程，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力 , 培养学生综合运用知识解决问题的能力.3. 对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神 .教学重点： 直线方程的一般式和特殊式之间的互化.教学难点： 运用各种形式的直线方程时，应考虑使用范围并进行分类讨论.授课类型： 新授课 王新敞课时安排： 1 课时 王新敞教具：多媒体、实物投影仪王新敞内容分析 ：本课时讲解直线方程的一

2、般式，着重于直线方程一般式的概念建立以及一般式与特殊式之间的互化。若学生基础不好或时间宽裕的话，建议运用一个机动课时，上一节直线方程的习题课王新敞众所周知，“数学教学就是数学活动的教学” ，也就是说，应在教学中充分安排观察、回忆、讨论、尝试和发言，使之参与到数学知识的实验、发现过程中去，体验知识的形成过程。本着这个原则，结合教学内容，本节教学采用引导探究式的教学方法为主，并根据不同的内容调整教法。如公式的推导采用教师引导，学生自主探究的方法；例题采用教师精讲，学生精练，教师适时点拨的方法； 巩固性训练采用自测练习， 教师讲评的方法； 综合应用采用分组讨论、交流、汇报，教师点评的方法等 王新敞教

3、学过程 ：一、复习引入：1. 直线的点斜式方程 - 已知直线 l 经过点 p1 (x1 , y1 ) ，且斜率为 k ，直线的方程： y y1 k( x x1 ) 为直线方程的 点斜式 .直线的斜率 k0 时，直线方程为yy1 ；当直线的斜率k 不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为xx1 .2直线的斜截式方程已知直线 l 经过点 p（ 0,b ），并且它的斜率为k，直线 l 的方程： ykxb 为斜截式 .第1页共8页斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便.斜截式ykxb 在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间只有当k 0 时，斜截式方程才是一次函数的表达

4、式.斜截式 ykxb 中， k ， b 的几何意义 王新敞3. 直线方程的两点式当 x1x2 ， y1y2 时，经过 a(x1 , y1 )b（ x2 , y2 ) 的直线的 两点式 方程可以写成：yy1xx1 .y2y1x2x1倾斜角是 00 或 90 0 的直线不能用两点式公式表示. 若要包含倾斜角为00 或90 0 的直线， 两点式 应变为 ( y y1 )( x2 x1 )( xx1 )( y2 y1 ) 的形式 .4直线方程的截距式定义： 直线与 x 轴交于一点（a ,0 ）定义 a 为直线在 x 轴上的截距；直线与 y 轴交于一点（ 0, b ）定义 b 为直线在 y 轴上的截距

5、.过 a( a ,0)b(0,b )（ a , b 均不为 0）的直线方程 xy1 叫做直线a ,ab方程的 截距式 .b 表示截距， 它们可以是正， 也可以是负， 也可以为0. 当截距为零时，不能用 截距式 .直线名称已知条件直线方程使用范围示意图点斜式p1 ( x1 , y1 ), k斜截式k，b( x1 , y1 )两点式（ x2 , y2 )截距式a, by y1k( x x1 )k存在ykx bk存在yy1xx1x2 , y1y2y2y1x2x1x1xy1a0,b0ab问题 1：平面内的任一条直线，一定可以用以上四种形式之一来表示吗？答：直线方程的四种特殊形式各自都有自己的优点，但都

6、有局限性，即无第2页共8页法表示平面内的任一条直线.问题 2：是否存在某种形式的直线方程，它能表示平面内的任何一条直线？二、讲解新课：5. 直线方程的一般形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式四种直线方程均可化成axbyc0 ( 其中 a、 b、 c 是常数， a、 b 不全为 0) 的形式，叫做直线方程的 一般式 王新敞探究 1：方程 axbyc0 总表示直线吗？根据斜率存在不存在的分类标准，即b 等于不等于 0 来进行分类讨论：若 b0 方程可化为 ya xc ，它是直线方程的斜截式，表示斜率bb为ac，截距为的直线；bb若 b=0，方程 axbyc0 变成 ax c 0 . 由于 a、b

7、不全为 0，所以a0 ，则方程变为 xc，表示垂直于x 轴的直线，即斜率不存在的直线 .a结论：当 a、b 不全为0 时，方程 axby c 0 表示直线，并且它可以表示平面内的任何一条直线 .探 究 2 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 任 何 直 线 的 方 程 都 可 以 表 示 成axbyc0 (a 、 b 不全为 0) 的形式吗？可采用多媒体动画演示，产生直线与y 轴的不同位置关系 ( 旋转 ) ，从而直观、形象地揭示分类讨论的本质，得出“任何一条直线的方程都是关于x, y 的二元一次方程，任何关于x, y 的二元一次方程都表示一条直线”的结论王新敞三、讲解范例：例 1 (

8、2001年全国 ) 设 a、b 是 x 轴上的两点，点 p的横坐标为2，且 pa pb，若直线 pa的方程为xy 10 ，则直线 pb的方程是a. 2 x y 4 0b.2x y 1 0 2c. x y 5 0d. 2x y 7 0解法一：由x y10得（ 1， 0） .a第3页共8页又 知点p为中垂线上的点，故(5 ， 0) ，且所求直线的papbabb倾斜角与已知直线倾斜角互补，则斜率互为相反数，故所求直线的斜率为1，所以选 c.解法二： y 0 代入 xy1 0 得 a( 1， 0).x2解得 p（ 2， 3） .由y1x0设 b（ xp ,0），由 pa pb解得 xp 5.由两点式

9、y0x53025整理得 pb直线方程： x y5 0 ，故选 c 王新敞例 2 (1997年全国 ) 已知过原点 o的一条直线与函数y log 8 x 的图像交于a、 b 两点，分别过点 a、 b 作 y 轴的平行线与函数的 ylog 2 x 的图像交于 c、d两点( )证明点 c、 d 和原点 o 在同一条直线上；( )当 bc 平行于 x 轴时，求点 a 的坐标解： ( )设点 a、b 的横坐标分别为 x1 、 x2由题设知， x1 1， x2 1则点a、 b 纵坐标分别为 log 8 x1、 log 8x2 log8 x1log 8 x2因为 a、 b 在过点 o 的直线上，所以，x1x

10、2点 c、 d 坐标分别为（x1 ， log2 x1 ) ，（ x2， log 2x2 )由于 log 2x1 = log 8 x2 3 log8 x1 ， log 2 x2 = log 8 x2 =3 log 8 x2log 8 2log 8 2oc 的斜率log 2 x13log 8 x1k1x1，x1第4页共8页od 的斜率k2log 2 x23log8 x2 x2x2由此可知， k1k2 ，即 o、c、d 在同一条直线上( ) 由于 bc 平行于 x 轴知 log 2 x1 =log 8x2 ，1y即得3log 2 x1 =log 2 x2， x2x1 y=log 2xd3代入 x2l

11、og 8x1 = x1 log 8 x2cy=log 8xab3log 8x1 =3 x1log 8 x1ox得 x1由于 x11 知 log 8 x1 0，x13=3 x1 考虑 x11 解得 x1 =3 于是点 a 的坐标为 (3 ， log8 3 )王新敞四、课堂练习：课本 p 3 练习1. 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1) 斜率是 1 ，经过点 a（， 2）；2(2) 经过点 b( ， 2），平行于 x 轴；(3) 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3 , 3；2(4) 经过两点 p1 （3， 2）、 p2 （ 5，） .解： (1) 由点斜式得y （ 2） 1 （

12、 x )2化成一般式得x 2 y 0(2) 由斜截式得 y 2，化成一般式得 y 2 0(3)由截距式得 xy1，化成一般式得2x y 333 02(4) 由两点式得y2x3 ，化成一般式得 x y 1 04(2)53第5页共8页2. 已知直线 ax by c 0(1) 当 b 0 时，斜率是多少 ?当 b0 时呢 ?(2) 系数取什么值时，方程表示通过原点的直线?答：(1)当 b 0 时，方程可化为斜截式：ya xc斜率 ka .bbb当 b0时， a0 时，方程化为 xc与 x 轴垂直，所以斜率不存在 .a(2) 若方程表示通过原点的直线，则(0 ， 0) 符合直线方程，则 c 0.所以

13、c 0 时，方程表示通过原点的直线.3. 求下列直线的斜率和在 y 轴上的截距，并画出图形：(1)3 x y 5 0； (2) xy 1； (3)x 2 y 0；45（） 7x 6 y 0； (5)2y 7 0.解： (1)k 3，在 y 轴上截距为 5(2) 化成斜截式得 y 5 x 5 k 5 ， b 5.44(3) 化成斜截式得 y 1 x k 1 ， b0.22(4) 化成斜截式得y 7 x2k7 , b2 .6363(5) 化成斜截式得 y 7 ， k 0， b 7 .22图形（略） 王新敞五、小结：通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程的一般形式： ax by c

14、0 （ a、 b 不全为 0）；点 (x0 , y0 ) 在直线 axbyc0上ax0 by0 c0 王新敞六、课后作业 ：5. 一条直线和 y 轴相交于点p(0 ， 2），它的倾斜角的正弦值是4 ，求这条5直线的方程 . 这样的直线有几条 ?解：设所求直线的倾斜角为 ，则 sin 4 ， cos1 (4)2 3 ， tan 45553第6页共8页由点斜式得：y 2 4x 王新敞344所求直线有两条，方程分别为：y2yx2.x3 ，39. 菱形的两条对角线长分别等于8 和 6，并且分别位于 x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程.解：设菱形的四个顶点为a、 b、c、 d，如右图所示 .根

15、据菱形的对角线互相垂直且平分可知：顶点a、b、c、d在坐标轴上，且 a、 c关于原点对称， b、 d也关于原点对称 .所以 a( ， 0) ， c（， 0）， b（ 0， 3）， d（ 0， 3）由截距式得： xy 1，即 3 y12 0 这是直线的方程；43xab由截距式得 xy 1 即 3 x y 12 0 这是直线 bc的方程；43由截距式得xy 1 王新敞即 3 x y 12 0 这是直线 ad的方程；43由截距式得 xy 1 即 3 x y 12 0，这是直线 cd的方程 .4 310. 求过点 p（ 2， 3），并且在两轴上的截距相等的直线方程.解：在两轴上的截距都是0 时符合题意，此时直线方程为3 x 2 y 0若截距不为 0，则设直线方程为xy 1将点 （ 2， 3）代入得 23aa1a 5pa ，解得a直线方程为 xy 1，即 x y 5王新敞5511. 直线方程 axby c0的系数 a、 b、c满足什么关系时，这条直线有以下性质 ?(1)与两条坐标