高二数学教案：7.1直线的倾斜角和斜率(二)

1、课题： 7.1 直线的倾斜角和斜率（二）教学目的：1.在理解直线的倾斜角和斜率概念的基础上，掌握过两点的直线的斜率公式并牢记斜率公式的特点及适用范围；2.进一步了解向量作为数学工具在进一步学习数学中的作用；3.培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的培养；4.充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x 轴倾斜程度的两个量这一事实，培养学生数形结合的数学思想王新敞教学重点： 斜率概念理解与斜率公式王新敞教学难点： 斜率概念理解与斜率公式王新敞授课类型： 新授课王新敞课时安排： 1 课时王新敞教具：多媒体、实物投影仪王新敞教学过程 ：一、复习引入：1. 直线方程的概念： 以一个方程的

2、解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来， 这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时， 这个方程就叫做这条直线的方程 ，这条直线叫做这个 方程的直线 .2. 直线的倾斜角与斜率： 在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，如果把 x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角 . 当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0 .倾斜角的取值范围是 0 180 . 倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 k 表示 .3概念辨析：当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0；直线倾斜角的取值范围是0 180；倾斜角

3、是90的直线没有斜率.提问 :哪些条件可以确定一条直线？在平面直角坐标系中，过点p 的任何一条直线l ，对 x 轴的位置有哪些情形？如何刻划它们的相对位置？给定直线的倾斜角，如何求斜率？设是直线的倾斜角，k 为其斜率，则当k0及 k0时，与之相应的取值范围是什么判断正误：直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan（）直线的斜率值为tan，则它的倾斜角为（）因为所有直线都有倾斜角，故所以直线都有斜率（） 因为平行于y 轴的直线的斜率不存在，所以平行于y 轴的直线的倾斜角不存在（）二、讲解新课：4. 斜率公式： 经过两点 p1 ( x1 , y1 ), p2 (x2 , y2 ) 的直线的斜率公式：y2

4、y1( x1x2 ) 王新敞kx1x2第 1页共 4页推导：设直线 p1 p2 的倾斜角是，斜率是 k ，向量 p1 p2 的方向是向上的 ( 如上图所示 ).向 量 p1p2的坐 标 是 ( x2x1 , y2y1 ) . 过原 点 作 向 量 opp1 p2 ，则 点 p 的坐标 是( x2x1 , y2y1 ) ，而且直线 op的倾斜角也是，根据正切yp 2函数的定义，tany2y1( x1 x2 )p1px2x1ox即 ky2y1(xx) 王新敞yx2x112p2pp1同样，当向量p2 p1 的方向向上时也有同样的结论 .ox当 x1x2 , y1y2 （即直线和x 轴垂直）时，直线的

5、倾斜角 90 ，没有斜率王新敞5斜率公式的形式特点及适用范围：斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；斜率公式表明， 直线对于 x 轴的倾斜程度， 可以通过直线上任意两点坐标表示， 而不需求出直线的倾斜角；斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用;当 x1x2 , y1y2 时，直线的倾斜角 90 ，没有斜率 王新敞6. 确定一条直线需要具备几个独立条件: 需要知道直线经过两个已知点；需要知道直线经过一个已知点及方向（即斜率）等等王新敞三、讲解范例：例 1 求经过 a（ 2， 0）、b（ 5，3）两点的直线的斜率和倾斜角.301 ，就

6、是 tan1解： k( 2)50180 ,135因此，这条直线的斜率是1，倾斜角是 135 .点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角.例 2 求过下列两点的直线的斜率k 及倾斜角 p ( 2,3)、 p (2,8) ;斜率不存在，9012 p (5, 2)、 p (2, 2) ;k0，012 p ( 1,2)p (3, 4)33k，arctan1、 222点评：结合反三角的知识写出斜率在不同取值范围内所对应的倾斜角表第 2页共 4页达式：当 k0 时，arctank ；当 k0 时，0；当 k0 时，arctank 王新敞例 3若三点a(2,3) ， b(3,2)，

7、c (1 , m) 共线，求 m 的值223m321解： k ab k acm王新敞321222拓广：到目前为止共有几种证明三点共线的方法王新敞例 4 已知三角形的顶点a(0,5)， b(1,2) ， c (6, m) ， bc 中点为 d ，当 ad 的斜率为 1时，求 m 的值及 ad 的长王新敞m25解： d 点坐标为 d5 , m2， k ad21 m 7 王新敞22525)2(55)252ad(王新敞222四、课堂练习 ：1.若直线 l 过( 2,3)和 (6， 5)两点，则直线 l的斜率为,倾斜角为2.已知直线 l1 的倾斜角为1，则 l1 关于 x 轴对称的直线l 2 的倾斜角2

8、 为 _.121,倾斜角为 _王新敞3.已知直线 l 过 a( 2,(t+) )、 b(2,(t)2)两点，则此直线斜率为tt14.已知两点 a(x, 2),b(3,0), 并且直线 ab 的斜率为，则 x=王新敞25.斜率为 2 的直线经过 (3， 5)、 (a,7)、 ( 1,b)三点，则 a、b 的值是 ()a. a=4,b=0b. a= 4,b=3c. a=4,b= 3d.a= 4,b=36.已知两点m (2， 3)、n( 3， 2)，直线 l 过点 p(1， 1)且与线段mn 相交，则直线l 的斜率 k 的取值范围是 () 王新敞a. k 3 或 k 4b. 4 k 3c.3 k 4

9、 d. 3 k 444447.已知两点a( 3,4)、 b(3， 2)，过点 p(2， 1)的直线 l 与线段 ab 有公共点 .(1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围 .(2)求直线 l 的倾斜角的取值范围 .8.如果直线 l 沿 x 轴负方向平移3 个单位，再沿y 轴正方向平移1 个单位后，又回到原来的位置，求直线l 的斜率 .9.过 p( 1,2)的直线 l 与 x 轴和 y 轴分别交于 a、b 两点，若 p 恰为线段 ab 的中点，求直线的斜率和倾斜角 王新敞参考答案：1. 1； 135第 3页共 4页2.当=0 时 , 0，当 0 180时， 1801 王新敞1213. 1;1354. 1 5.c6.a 王新敞7.（ 1） k 1 或 k 3 王新敞(2)arctan3 3王新敞8.