数学毕业论文尚未成功的突破

1、“尚未成功”的突破坦率说，在我个人的解题经历中，“尚未成功”乃至失败，实在是比激动人心的成功多得多但是，“尚未成功”并非只给笔者留下消极的结果，而面对偶尔的顺利笔者也总是要继续寻找当中的“解题愚蠢”（见文 1、 2），我不知道这些说来见笑的个人体验是否对广大读者有点帮助，但我能肯定地说，这是我本来就少得可怜的解题财富中的主要资产，并且我的看法（包括本刊 1998年开始的解题分析连载以及解题学引论一书）已引起了一部分同行的关注与共鸣，需要致歉的是，二三年来，关于解题与解题分析的大批读者来信我不能一一作复，今天的话题很大程度上是一种有意的弥补下面，笔者要进行3 个解题个案的分析，以展示如何由失败走

2、向成功，又如何对浅层的成功进行深层的调控1个案 1由失败中获取有用的信息例1 若、为互不相等的实数，且（）（）（），求 解：由等比定理得但是，式的分母为零我们的解题努力失败了评析：这是一个失败的解题案例，文 3谈到了调整解题方向后的一些处理，其实都用到式所以，失败的过程恰好显化了题目的一个隐含条件，这是一个积极的收获，当我们将不成功的式去掉，把目光同时注视式与式时，式使我们看到了两条直线重合：而式又使我们看到了直线通过点?作一步推理，直线也通过点（1，1），于是与文 3相比，这是一个不无新意的解法，其诞生有赖于两点：第 1，从失败的解题中获取一条有用的信息，即式第 2，对式、式都作“着眼点的转

3、移”，从解析几何的角度去看它们有了这两步，剩下来的工作充其量在30 秒以内就可以完成2个案 2尚未成功不等于失败设（）为关于的正项递增数列，为大于（1）的正常数，当用数学归纳法来证不等式时，其第 2 步会出现这样的情况：假设（），则无法推出（1）据此，许多人建议，用加强命题的办法来处理，还有人得出这样的命题（见文4 32 及文 5 12）：命题 设（）为关于的正项递增数列，为正常数，则不等式（）（）不能直接用数学归纳法证明评析：不等式没能用递推式证出来，有两种可能，其一是数学归纳法的功力不足，其二是数学归纳法的使用不当把“不会用”当作“不能用”，其损失是无法弥补的我们分析上述处理的“尚未成功”

4、，关键在于递推式，这促使我们思考：（1）与（）之间难道只有一种递推关系吗？确实，有的函数式其（1）与（）之间的关系很复杂，无法用数学归纳法来直接证明；而有的关系则较简单，仅用加减乘除就可以表达出来但无论是“很复杂”还是“较简单”，其表达式都未必惟一，文6 278 给出过一个反例，说明上述“命题”不真：例 2用数学归纳法证明讲解：当 1 时，命题显然成立现假设（）2，则（ 1）（）（ 12） 2（ 1 2），由于2（ 12）恒大于2，所以数学归纳法证题尚未成功然而，这仅是“方法使用不当”换一种递推方式，证明并不困难（ 1） 1（ 1 2）（） 1（ 12） 2 2下面一个反例直接取自文4的例 2

5、例3 求 （ 1 1！）（ 1 2！）（ 1 3！）（ 1！）2 明：当 1 ，命 然成立 假 命 成立， （1 1！）（ 12！）（ 1！）1（ 1）！1（ 12）（ 1 3）（ 12！）（ 1） 1（ 1）！ 1（1）（ 1！） 1（ 12） 1（ 1 2！） 1（ 1）！（ 1！） 1（ 12） 2 2 表明 1 命 成立由数学 法知，不等式已 3个案 3 尚未成功的 反思文 7有很好的立意也有很好的 ，叫做“反思通解引出 解 造巧解”，它 成反思“失 ”并 示了下面一道二次函数 目的 控 程：例 4 二次函数（） 2的 象 点（ 1， 0），是否存在常数、使不等式 一切 数都成立？若存

6、在，求出、；若不存在， 明理由 解：作者从解两个二次不等式开始（解法 1）， 数形 合的思考（解法2）等 程，最后“ 学生相互 后得到巧解”（解法4）：由基本不等式 一切 数都成立，猜想 ，（） 足条件（1） 0，所以（）存在，（ 1 4），（ 12），（ 1 4）我 不知道命 人的原始意 是否只考 “存在性”，按 例，“若存在，求出、” 理解 “若存在，求出一切、”从 一意 上来看上述巧解，那就存在一个明 的疑点： 然，式是 足的一个解，但是在与（2 1） 2之 的二次函数很多，如1（）（ 1 2）（ 1 2）（ 21） 2，2（）（ 13）（ 23）（ 2 1）2， 3（）（ 14）（ 3

7、4）（ 2 1）2， 当中有的 点（1，0），有的不 点（ 1，0），巧解已 了 1（） 点（ 1， 0）从而 所求，我 的疑 是：怎 得其余的无 个二次函数就都不 点（ 1，0）呢？ 也就是 ，“巧解”解决了“充分性”而未解决“必要性”，解决了“存在性”而未解决“惟一性”究其原因，是未找出与（ 2 12）之 的所有的二次函数抓住 一尚未成功的 思考，我 想到定比分点公式，式可以改写 或 （）（ 21） 2（ 1）（ 01） 一般情况下 是的正 函数（文 8默 为常数是不完善的；同 ， 2000 年高考理科第 20 （ 2）， 是 的），但由于（） 二次函数，只能 常数 了在中求出，把（ 1） 0 代入即可求出 1（或中 1 2） 式与式的不同，反映了特殊与一般之 的区 ，反映了“ ”与“ ”之 的区 其 ，原解法 1出来之后，立即就可以得出式，与是否 用“基本不等式”无关同 ，原解法 1中作者思考 的“推理是否 密”在“巧解”中依然是个 种种情况 明，我 不 要 解 活 行反思，而且要 “反思” 行再反思下面一个解法 者思考 在哪里？解：已知条件等价于存在0，使（）（）（2 1） 20，把 1 ，（） 0 代入得 1，从而（）（）（21） 2 1，即2（）（1）2 2（）（3 2）