第6章 理想不可压缩流体的平面势流和漩涡运动.ppt

1、工程流体力学第6章,1,第六章 平面势流和漩涡运动,工程流体力学第6章,2,6.1 流体微团运动分析 分析微元体ABCD的运动和变形。 速度引起运动，速度差引起变形。,工程流体力学第6章,3,流体微团各点速度：,点 坐标 速度,A x,y,B x+x,y,D x,yy,工程流体力学第6章,4,旋转角速度,定义微元体的转动角速度：,无旋流动： x = y = z =0,工程流体力学第6章,5,6.2 速度环量和漩涡强度I,速度环量:在某条封闭曲线上，速度对曲线长度的积分值。,工程流体力学第6章,6,求速度沿曲线L：x2+y2=1的速度环量:,例6.2已知速度分布：,解：,工程流体力学第6章,7,

2、2.漩涡强度I 的定义:,3.斯托克斯定理:面积A上的漩涡强度I 等于该面积的周边的速度环量。,工程流体力学第6章,8,证明：将面积A划分成若干个面积元，对某个面积元求速度环量，则有：,工程流体力学第6章,9,对所有面积元求和：,因此：,工程流体力学第6章,10,例6.4 已知：面积A以外的区域是无旋流动区域。 求证：包围A的任意条封闭线上的环量 等于A边界上的速度环量。,证明：如图示，作A的边界和包围A的任一条边界，并作割线a b和a b，封闭曲线a b c b a d a所围的区域是无旋区。,工程流体力学第6章,11,由于,分段计算曲线积分：,因此,工程流体力学第6章,12,试用斯托克斯定

3、理判断：半径为r0的圆的内部和外部是否有旋。,解:1. rr0,流动有旋。,例6.3 已知速度分布,工程流体力学第6章,13,由上可见，半径为r0的圆内是有旋区。圆外则是无旋区。,2. r r0,为了判断r r0的区域是否有旋，作两个圆，圆心在原点，半径分别为r0和r。并作割线ab(a b)，得到封闭曲线abcbad。计算此封闭曲线的速度环量。,工程流体力学第6章,14,作业,6-9 6-14,工程流体力学第6章,15,6.3 速度势函数和流函数,1.平面流动的概念 在每一个与z轴相垂直的平面上的流动情况都相同。 平面流动：流体运动轨迹在一个平面之内。 平面流动是某些空间流动的简化。,工程流体

4、力学第6章,16,2. 速度势函数,如果流动无旋，即：,则存在函数(x,y,z)，使得, (x,y,z)称为速度势函数。,工程流体力学第6章,17,速度势函数 (x,y,z)的性质,10对不可压缩流体的无旋运动，速度势函数满足拉普拉斯方程.,20两点速度势函数之差等于过这两点的任一连线的速度环量。,工程流体力学第6章,18,3.流函数,流函数的引入 平面不可压缩流动的连续性方程为：,则该方程可得到满足,(x,y)称为流函数。,工程流体力学第6章,19,流函数(x,y) 的性质：,(1) 平面流动中，如果流动无旋，则满足拉普拉斯方程：,工程流体力学第6章,20,(2) 平面流动中，通过两点之间任

5、一条曲线的流量等于这两点的流函数的差值。,证明：,工程流体力学第6章,21,(3) 在一条流线上, (x,y)=常数. 证：流线方程：,工程流体力学第6章,22,4.平面流动中,和的关系,(1) 直角坐标中,(2) 极坐标中,工程流体力学第6章,23,4.平面流动中,和的关系,在直角坐标和极坐标中的速度势和流函数：,工程流体力学第6章,24,直角坐标和极坐标的速度分量关系式：,工程流体力学第6章,25,流线与等势线正交 证明：求流线的切线的斜率为，,等势线：(x,y)=常数,流线: (x,y)=常数,流线切线的斜率：,流线切线的斜率：,流线与等势线正交：,工程流体力学第6章,26,解：,例6.

6、6 已知速度分布：,(1)验证此流场的流函数和速度势函数存在。 (2) 求流函数和速度势函数。,流函数和速度势函数都存在。,工程流体力学第6章,27,求流函数：,f (x)是待定函数，此函数只含变量x。,工程流体力学第6章,28,f1 (y)是待定函数，此函数只含变量y。,求速度流函数：,工程流体力学第6章,29,例 平面无旋流动的速度势为=x2y2，求,解:,流动不但无旋，而且不可压缩，故存在流函数。,工程流体力学第6章,30,作业,6-4 6-11,工程流体力学第6章,31,6.4 平面势流的复位势,1.复位势,复数:z=x+iy,令:,所以 W(x,y)是解析函数，称为复位势，简称复势。

7、,由于W(z) 是解析函数，因此,工程流体力学第6章,32,2.复势的性质 (1)复势的实部是,虚部是。,(2)两点的复势之差，实部和虚部分别是过这两点的任意一条曲线的速度环量和流量。,工程流体力学第6章,33,3.复势的叠加原理,设W1，W2是解析函数(复势),则W=W1+W2仍为解析函数(复势),这种叠加后得到的流场速度为：,工程流体力学第6章,34,6.5基本平面势流,本节介绍几种简单的势流. 1. 均匀直线流动,流场速度处处为v，方向与x轴成角,工程流体力学第6章,35,流场的压强分布:,如果不计重力影响，则p=常数。,均匀流的速度势和流函数,工程流体力学第6章,36,2.点源和点汇,

8、点源的定义,设在半径为r0的圆周上，切向速度v=0， 法向速度vr0，且均匀分布，圆周上的体积流量 为Q=2 r0vr，当r00时，保持Q不变，这种流动 称为点源流动，Q称点源强度。,工程流体力学第6章,37,点源流的复势,设点源位于原点，以原点为圆心，作一个半径为r的圆周,在此圆周上只有法向速度vr,设有切向速度v，则有：,工程流体力学第6章,38,如果点源不在坐标原点，而在点z0=x0+iy0，则,点源流的压强分布： 无穷远处的速度为零，不计重力影响,则有：,工程流体力学第6章,39,点汇,如果流量Q从各方向均匀地流入一个半径为r0的圆周内，当r00时而保持Q不变，则称为点汇，Q为点汇强度

9、。 位于点z0=x0+iy0的点汇的复势为:,工程流体力学第6章,40,3.点涡,点涡的定义 设在r=r0的圆周上无径向速度，切向速度均匀分布，且圆周上的速度环量为=2rv(以逆时钟方向为正)，当r00时，保持环量不变，则称为点涡，称点涡强度。,工程流体力学第6章,41,点涡的复势 设点涡在坐标原点。 点涡的速度势：,在圆心位于原点,半径为r(r0)的圆周上，则有：,工程流体力学第6章,42,点涡的流函数：,点涡的复势：,位于点z0的点涡的复势为：,工程流体力学第6章,43,顺时钟方向的点涡,如果点涡的速度环量为负值，记作-，称为顺时针方向的点涡，仍称为点涡强度，位于z0=x0+iy0的点涡的

10、复位势为,工程流体力学第6章,44,解：将复势改写为：,例6.7 试分析下列复势由那些基本势流组成。,这个复势由下列基本复势组成： 均匀流v，方向为x轴正向。 在点(0,2)和点(0,-2)各有一个点源，其强度Q=2，和一个点涡(=2,顺时钟方向),工程流体力学第6章,45,作业,6-13 6-21 6-30(b),工程流体力学第6章,46,6.6 有势流动叠加,简单的平面势流的叠加可以得到较为复杂的流动,1. 点源与直线流的叠加,平行于x轴的均匀直线流与位于原点的点源的叠加，,工程流体力学第6章,47,求过驻点的流线 驻点：速度为零的点。,驻点位置：x = -Q/(2v)，y=0或 r =

11、Q/(2v)，=。,过驻点的流线方程为:,过驻点的流线方程为：,工程流体力学第6章,48,点源与直线流的叠加的流动图案,工程流体力学第6章,49,2.螺旋流,位于原点的点汇和逆时钟方向的点涡的叠加，,工程流体力学第6章,50,螺旋流的等势线方程,螺旋流的流线方程,工程流体力学第6章,51,压强分布,螺旋流的速度分布,工程流体力学第6章,52,3.偶极子流,位于原点的强度为Q的点汇以及位于邻点z的强度为Q的点源的叠加：,令点汇-Q沿连线接近点源+Q，两者的距离r0而幅角保持不变，并使Qr=保持不变，此时的复势为：,工程流体力学第6章,53,这种流动称为偶极子流，M称为偶极子的强度，为偶极子的方向

12、角，是点汇指向点源的方向角。,位于z0点的偶极子流的复势为：,工程流体力学第6章,54,位于源点，强度为M,方向角为=的偶极子流的复势、速度势和流函数：,流线方程:,工程流体力学第6章,55,等势线方程:,工程流体力学第6章,56,4. 均匀流绕圆柱体的无环量流动,(1)均匀来流绕物体流动的数学提法： 设物体边界为C,满足方程和边界条件的解（x,y）是唯一的。,10流函数法：,2=0 物面C上：=const 无穷远（x和y）：,工程流体力学第6章,57,20速度势法：,2=0 物面上：,无穷远：,满足方程和边界条件的解（x,y）是唯一的。,工程流体力学第6章,58,(2)均匀流和偶极流的叠加,

13、设有沿x方向的均匀来v，以及在坐标原点、强度为M，方向=的偶极流叠加：,工程流体力学第6章,59,零流线方程，令=0,如果把=0的流线视作圆柱体表面，则上述 复势就表示均匀流绕半径为r0的圆柱体的流动,工程流体力学第6章,60,(3)均匀流绕半径为r0的圆柱体的流动,工程流体力学第6章,61,(4)流场的速度分布,(5)圆柱面上的速度分布,r= r0 , vr=0 , v= - 2vsin,工程流体力学第6章,62,(6) 圆柱面上的压强分布：,定义压强系数,本问题:,工程流体力学第6章,63,(7)阻力和升力,阻力：,升力：,工程流体力学第6章,64,5.均匀流绕圆柱体的有环量流动,(1)均

14、匀流、偶极流、以及强度为、方向为顺时针方向的点涡的迭加：,工程流体力学第6章,65,(2)速度分布:,特别地,在圆柱面上 ：v r=0，,工程流体力学第6章,66,(3)此复势满足圆柱绕流的边界条件: 圆柱面上，r = r0，,故圆柱面为流线。,无穷远处, 速度为平行均匀流v,此复势表示均匀流绕圆柱体的有环量流动,工程流体力学第6章,67,(4)驻点(速度为零的点)位置,令v=0，则,4vr0时，驻点在第3、4象限,=4vr0时，=3/2,4vr0时，驻点在圆外，=3/2,工程流体力学第6章,68,(5)物面压强分布：,圆柱面上：r = r0, v r=0，,阻力,升力,工程流体力学第6章,6

15、9,四种情况的升力的方向,工程流体力学第6章,70,作业,6-25,工程流体力学第6章,71,6.7 理想流体的旋涡运动,涡量：流体微团旋转角速度的两倍。记作：,1. 涡线和涡管 如果一条空间曲线上的每一点的切线都与该点的流体旋转角速度矢量方向相同，这样的曲线称为涡线。 涡线方程：,工程流体力学第6章,72,涡线和涡管 如果一条空间曲线上的每一点的切线都与该点的流体旋转角速度矢量方向相同，这样的曲线称为涡线。 涡线方程：,在一段曲线上的每点都作涡线，就构成一个曲面，称为涡面。 在一条封闭曲线上的每点都作涡线，就构成一个管状的曲面，称为涡管。,工程流体力学第6章,73,海姆霍兹第一定理：涡管任一

16、截面上的旋涡强度为同一常数。,推论：龙卷风不能消失（即截面积为零），而只能始于地面或海面，延伸于无穷远，或者形成环状的涡管。,工程流体力学第6章,74,2. 涡旋的产生 开尔文定理：封闭流体线上的速度环量对时间的变化率等于流体加速度在该曲线上的环量。,工程流体力学第6章,75,汤姆逊定理：理想的不可压缩流体在重力场中运动时，任一条流体线上的速度环量不随时间的变化而变化。,证明：理想流体的运动方程为：,工程流体力学第6章,76,根据汤姆逊定理，有：,推论：液体从静止开始运动，如果忽略粘性的影响，则其运动是无旋运动。,工程流体力学第6章,77,工程流体力学第6章,78,5.6 旋涡的诱导速度,3. 涡丝的诱导速度 点涡 点涡的概念：设在r = r0的圆周上无径向速度，切向速度均匀分布，圆周上的速度环量为=2 r0v,当r00时，保持环量不变，则称为点涡，称点涡强度。,工程流体力学第6章,79,点涡的诱导速度,设点涡位于原点。以原点为圆心,作一个半径为r的圆周,在此圆周上只有切向速度v,设有法向速度vr 。则有：,工程流体力学第6章,80,涡丝的诱导速度,涡管：设有涡管，某处的截面积为A，旋涡强度为2A，则此截面周边的速度环量为= 2A。 涡丝：如果涡管的截