第五章函数与基数.ppt

1、2020/10/10,1,第五章 函数与基数,5.1 函数基本概念 5.2 函数类型 5.3 函数运算 5.4 基 数,2020/10/10,2,5.1 函数基本概念,函数也常称为映射或变换，其定义如下： 定义5.1.1 设A和B是任意两个集合，且f是从A到B的关系，若对每一个xA，都存在唯一的yB，使x,yf，则称f为从A到B的函数，并记作f:AB。A称为函数f的定义域，即D(f)=A，B称为函数f的陪域，R(f)称为函数f的值域，且R(f)B。有时也用f(A)表示函数f的值域，即,2020/10/10,3,f(A)=R(f)=y|yB(x)(xAy=f(x) 并称f(A)为函数f的像。 对

2、于f:AB来说，若x,yf，则称x为函数的自变元，称y为函数因变元，因为y值依赖于x所取的值，或称y是f在x处的值，或称y为f下x的像。通常把x,yf记作f(x)=y。,2020/10/10,4,从本定义可以看出，从A到B的函数f和一般从A到B的二元关系之不同有以下两点： A的每一元素都必须是f的有序对的第一分量。 若f(x)=y，则函数F在x处的值是唯一的，即 f(x)=yf(x)=zy=z,2020/10/10,5,定义5.1.2 设f:AB，g:CD，若A=C，B=D，且对每一xA都有f(x)=g(x)，则称函数f和g相等，记为f=g。 本定义表明了，两函数相等，它们必须有相同的定义域、

3、陪域和有序对集合。,2020/10/10,6,下面讨论由集合A和B，构成这样函数f:AB会有多少呢？或者说，在AB的所有子集中，是全部还是部分子集可以定义函数？令BA表示这些函数的集合(称为由集合A到集合B的超幂)，即 BA=f|f:AB 设|A|=m，|B|=n，则|BA|=nm。(这里|A|表示集合A的基数,或者叫势)这是因为对每个自变元，它的函数值都有n种取法，故总共有nm种从A到B的函数。,2020/10/10,7,5.2 函数类型,根据函数具有的不同性质，可以将函数分成不同的类型。本节将定义这些函数，并给出相应的术语。,2020/10/10,8,定义5.2.1 设f:AB是函数，若R

4、(f)=B，即对任意bB，存在aA，使得f(a)=b，或形式表为： (y)(yB(x)(xAf(x)=y) 则称f:AB是满射函数，或称函数f:AB是满射的。 本定义表明了，在函数f的作用下，B中每个元素b，都至少是A中某元素a的像，因此，若A和B是有限集合，存在满射函数f:AB，则|A|B|。,2020/10/10,9,定义5.2.2 设f:AB是函数，对任意的a，bA，且ab，都有f(a)f(b)，或形式表为 (x)(y)(x,yAxyf(x)f(y) 则称f:AB是单射函数，或称函数f:AB是单射的。 本定义揭示了，A中不同的元素，其在B中像也是不同的。于是，若A的B是有限集合，存在单射

5、函数f:AB，则|A|B|。,2020/10/10,10,定义5.2.3 设f:AB是函数，若f既是满射又是单射，则称f:AB是双射函数（或一一对应），或称函数f:AB是双射的。 该定义说明了，B中的每个元素b是且仅是A中某个元素a的像。因此，若A和B是有限集合，存在双射函数f:AB，则|A|=|B|。,2020/10/10,11,2020/10/10,12,定义5.2.4 设f:AB是函数，若存在bB，使对任意aA有f(a)=b，即f(A)=b，则称f:AB为常值函数。,2020/10/10,13,定义5.2.5 设f:AA是函数，若对任意aA，有f(a)=a，亦即 f=a,a|xA 则称f

6、:AA为A上恒等函数，通常记为IA，因为恒等关系即是恒等函数。 由定义可知，A上恒等函数IA是双射函数。,2020/10/10,14,定义5.2.6 设A和B为集合，且AB，若函数fA: B0,1为 1 xA fA(x)= 0 否则 则称fA为集合A的特征函数。 特征函数建立了函数与集合的一一对应关系。于是，可通过特征函数的计算来研究集合上的命题。,2020/10/10,15,定义5.2.7 设A,和B,为全序集，函数f:AB。对于任意a,bA. 若ab，有f(a)f(b)，则称f为单调递增函数。 若ab，有f(a)f(b)，则称f为单调递减函数。,2020/10/10,16,若ab，且ab，

7、有f(a)f(b)，则称f为严格单调递增函数。 若ab，且ab，有f(a)f(b)，则称f为严格单调递减函数。 显然，严格单调递增函数是单调递增函数，严格单调递减函数是单调递减函数。,2020/10/10,17,5.3 函数运算,函数是一种特殊关系，对关系可以进行运算，自然对函数也需要讨论运算问题，即如何由已知函数得到新的函数。,2020/10/10,18,1函数复合 利用两个具有一定性质的已知函数通过复合运算可以得到新的函数。 定理5.3.1 设f:AB和g:BC是函数，通过复合运算 ，可以得到新的从A到C的函数，记为g f，即对任意aA，有(g f)(x)=g(f(x)。,2020/10/

8、10,19,注意，函数是一种关系，今用“”表示函数复合运算，记为g f，这是“左复合”，它与关系的“右复合”f*g次序正好相反，即有g f=f*g。,2020/10/10,20,推论1 若f,g,h都是函数，则 (f g) h=f (g h)。 本推论表明，函数复合运算是可结合的。 若对于集合A，f:AA，则函数f能同自身复合成任意次。f的n次复合定义为： f 0(x)=x f n+1(x)=f(fn(x)，nN。,2020/10/10,21,定理5.3.2 设f:AB，g:BC 若f:AB，g:BC都是满射，则g f:AC也是满射。 若f:AB，g:BC都是单射，则g f:AC也是单射。 若

9、f:AB，g:BC都是双射，则g f:AC也是双射。,2020/10/10,22,定理5.3.3 若f:AB是函数，则 f=f IA=IB f 本定理揭示了，恒等函数在复合函数运算中的特殊性质，特别地，对于f:AA，有f IA= IA f=f。,2020/10/10,23,2函数逆运算 给定关系R，其逆关系是存在，但对已知一函数,它作为关系其逆是存在,但未必是函数.例如,A=a,b,c,B=1,2,3,f=a,1,b,1,c,3是函数,而f-1=1,a,1,b,3,c却不是从B到A的函数。但若f:AB是双射，则f-1便是从B到A的函数。 定理5.3.4 若f:AB是双射，则f-1:BA也是双射

10、。,2020/10/10,24,定义5.3.1 设f:AB是双射函数,称 f -1:BA是f的逆函数,习惯上常称f-1为f的反函数。 定理5.3.5 设f:AB是双射函数,则 f -1 f=IA，f f-1=IB 定理5.3.6 若f:AB是双射,则 (f-1)-1=f。,2020/10/10,25,5.4 基 数,1基数定义 首先选取一个“标准集合”Nn=0,1,2,n-1，再用双射函数为工具，给出集合基数的定义如下：,2020/10/10,26,定义5.4.1 设A是集合，若f:NnA为双射函数，则称集合A是有限集，A的基数是n，记为|A|=n，或card A=n。若集合A不是有限的，则称

11、A是无限集。 本定义表明了，对于有限集合A，可以用“数”数的方式来确定集合A的基数。 定理5.4.1 自然数集合N是无限集。 为了确定某些无穷集合的基数，选取第二个“标准集合”N来度量这些集合。,2020/10/10,27,定义5.4.2 设A是集合，若f:NA为双射函数，则称A的基数是0，记为|A|=0。 显然，存在从N到N的双射函数，故|N|=0，0读作“阿列夫零”。符号0是康托引入的。0是一个无法确定的数, 是一个抽象的描述。,2020/10/10,28,定义5.4.3 设A是集合， 若|A|=0，则称A是可数无限集； 若A是无限的且不可数的，则称A是不可数集或不可数无限集。,2020/

12、10/10,29,在上述基数定义中，是使用两个“标准集合”Nn和N以及双射函数（或一一对应），引入了集合基数的概念。这种方式可以把基数简单地看作对集合指派一个符号，指派原则是：与Nn构成双射或一一对应的集合，指派它的基数是n，与N构成双射或一一对应的集合，指派它的基数为0。指派空集的基数为0。,2020/10/10,30,2基数比较 基数概念是有限集合元素个数的推广。 可数(无限)集的基数都等于0。 那么, 无限集的基数都一样吗? 有没有最大的基数呢？,2020/10/10,31,在集合基数的基础上，可以建立相等关系和次序关系，进行基数比较和基数运算，这里仅讨论前者。 定义5.4.4 设A和B

13、为任意集合(包括无限集) 若有一个从A到B的双射函数，则称A和B有相同基数（或称A与B是等势），记为|A|=|B|（或AB）。,2020/10/10,32,若有一个从A到B的单射函数，则称A的基数小于等于B的基数，记为|A|B|。 若有一个从A到B的单射函数，但不存在双射函数，则称A的基数小于B的基数，记为|A|B|。,2020/10/10,33,由于在复合运算下，双射函数是封闭的，双射函数的逆函数（即常说反函数）是双射函数，因此等势关系有以下性质： 定理5.4.3 等势是任何集合族上的等价关系。,2020/10/10,34,从上面定义及定理可知： 等势是集合族上的等价关系，它把集合族划分成等

14、价类，在同一等价类中的集合具有相同的基数。因此可以说：基数是在等势关系下集合的等价类的特征。或者说：基数是在等势关系下集合的等价类的名称。这实际上就是基数的一种定义。例如，3是等价类a,b,c,p,q,r,1,2,3的名称（或特征）。0是自然数集合N所属等价类的名称。,2020/10/10,35,要证明一个集合A有基数，只需选取基数为的任意集合B，证明从A到B或从B到A存在一个双射函数。选取集合B的原则是使证明尽可能容易。 下面将不加证明地引入两个定理。第一个定理称为三分律。第二定理表明：是反对称的。,2020/10/10,36,定理5.4.4 （Zermelo）设A和B是任意两个集合，则下述

15、情况恰有一个成立： |A|B| |B|A| |A|=|B|,2020/10/10,37,定理5.4.5 （Cantor-Schroder-Bernstein）设A和B是任意两个集合，若|A|B|和|B|A|，则|A|=|B|。 本定理对证明两集合具有相同基数提供了有效的方法。若能够构造一单射函数f:AB，则有|A|B|；又能构造另一个单射函数g:BC，以证明|B|A|。于是根据本定理即可得出|A|=|B|。特别要注意，f和g不必是满射。因为通常构造这样两个单射函数比构造一个双射函数要容易许多。,2020/10/10,38,对于有限集，我们有： 定理5.4.6 设A是有限集合，则|A|0。 对于

16、无限集呢？ 我们有必要对无限集有所了解,2020/10/10,39,有限集与无限集虽然是数量上的差别，但是由“量变”而引起了“质”的变化，无限集有着很多有限集所没有的一些特性，而有限集的一些特性也不能任意推广到无限集中去，即使有的能推广也要做某些意义上的修改。 下面我们先讨论无限集的一些特性,2020/10/10,40,定理5.4.7 无限集必含有与其等势的真子集。 例如：自然数集N=0,1,2,3,与其真子集S=1,3,5,7,均为无限集，且NS。这是因为它们之间存在双射（一一对应）： N: 0 1 2 3 4 S: 1 3 5 7 9 这种一一对应关系可以写成s=2n+1,其中nN,sS,

17、2020/10/10,41,无限集的这个特征可以作为区别无限集与有限集的一个标志。即有 推论 一个集合为无限集的充分必要条件是它必含有与其等势的真子集。 有了这个推论后，我们可以重新定义有限集与无限集 定义 一集合若存在与其等势的真子集则称其为无限集，否则称为有限集。,2020/10/10,42,下面我们对无限集作进一步的探讨，我们讨论一种特殊类型的也是最常见的无限集可数(无限)集的性质。,2020/10/10,43,定理5.4.8 每个无限集必包含一可数无限子集。 定理5.4.9 可数无限集的无限子集仍为一可数无限集。 由此可知，可数无限集是无限集中的最小集合。 从而有 定理5.4.10 0

18、是最小无限集合的基数。,2020/10/10,44,下面给出一可数无限集的结论 定理5.4.11 整数集Z是可数无限集。 定理5.4.12 有理数集Q是可数无限集。 下面的一个问题是：是否所有的无限集都是一样大小，即，是否所有无限集的基数均为0？,2020/10/10,45,定理5.4.13 实数集R是不可数无限集。 由此，我们可知，实数集比可数无限集要“大”，它的基数不是0，我们用表示，或用c表示，称作连续统的势。 但是，在无限集中除了0与以外是否还有其它更大基数的集合存在呢？德国数学家康托尔给出了下面的定理,2020/10/10,46,下面定理表明了，没有最大基数和没有最大基数的集合。 定理5.4.14 （Cantor）设A是任意集合，则|A|P(A)|。