第五课-函数单调性.ppt

1、函数的单调性,一、函数单调性的定义：,对于给定区间D上的函数f(x)，对于任意x1,x2D, 当x1x2时，都有：,(1)f(x1)f(x2), 则称f(x)在区间D上为增函数,(2)f(x1)f(x2), 则称f(x)在区间D上为减函数,此时，称f(x)在D上具有单调性，D叫做f(x)的单调区间,注意：熟记所有基本函数的单调性,二、单调函数的性质：,上升的,下降的,相同,相反,3.互为反函数的两个函数的单调性相同.如y=logax和y=ax,4.增函数+增函数=增函数 减函数+减函数=减函数,5.若对区间D上的任意两个自变量x1,x2,都有,则f(x)在D是增函数,则f(x)在D是减函数,则

2、f(x)在D是增函数,三、复合函数单调性法则：,y=f(u) u=g(x) y=fg(x),增函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数,减函数 增函数 增函数 减函数,可按多因式相乘的符号确定法则来记忆，（同增异减）增函数不改变复合函数的单调性,四、判断函数单调性的方法：,1、定义法；,2、导数法:y0增（不恒为0）；y0（不恒为0）为减,3、图象法;,4、利用复合函数单调性.,5.利用基本函数的单调性,6.利用函数的奇偶性和单调性的关系,注意：证明单调性只能用定义或导数法,五、基本函数的单调性,1.y=ax,2.y=ax+b,3.y=k/x,4.y=ax2+bx+c,5.

3、y=ax,6.y=logax,7.y=sinx,8.y=cosx,9.y=tanx,例1、证明：函数y=x2-2x+2在(1,+)上是增函数.,练1. 证明函数y=x3 +x 在R上是增函数.,六、例题和练习（证明单调性，求单调区间，已知单调性求参数的范围）,证明函数的单调性只能用定义或导数,2. 证明函数y= 在 (1,+) 是减函数.,用定义证明单调性的步骤：,(1)设x1,x2是给定区间上的任意两个自变量，且x1x2,(2)做差f(x1)-f(x2),并变形,(3)判断f(x1)-f(x2)的正负，,(4)下结论，回答问题,例2、求下列函数的单调区间.,（1）,(3)y=log0.5(-

4、x2-2x+3),（2）,(4)y=,(5)y=(log2x)2+log2x1,(-,-1),(-1,+)增,增(-,-2),(-2,+)减(-2,0),(0,2),增(-1,1),减(-3,-1),减(-,-1),增(-1,+),例3.是否存在实数a,使函数f(x)=x4+(2-a)x2+2-a在区间（-,-2）上是减函数，而在区间（-1,0）上是增函数？若存在，求出a的的取值范围；若不存在，请说明理由,4，10,练习1.已知函数y=x2-2ax+2在(1,+)上是增函数,求a的取值范围,练习2.已知函数y=x2-2ax+2的增区间是(1,+),求a的取值范围,1.下列函数中，在区间（0,2

5、）上为增函数的是 A.y=-x+1 B.y=x C.y=x2-4x+5 D.y=2/x,2.若函数y=f(x)在R单调递增,且f(m2)f(-m)，则实数m的取值范围是,A (-,-1) B (0,+) C (-1,0) D(-,-1) (0,+),B,D,3.函数y=loga（x2+2x-3）,当x=2时， y0，则此函数的单调递减区间是 A.（-，-3） B.（1，+） C.（-，-1）D.（-1，+）,4.函数y=log0.5|x-3|的单调递减区间是_,5.函数 的单调增区间是_,A,(3, +),（-,1）,6.函数 的减区间是_,7.已知函数 在区间(-2,+)上是增函数,a的取值

6、范围是_,8.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是_,9.已知奇函数f(x)在(0,+)单调递增,且f(3)=0，则不等式xf(x)0的解集是_,(1,4),a1/2,(0,3/2),(-3,0)(0,3),10.若函数f(x)=a|x-b|+2在(1,+)上为增函数,则实数a、b的范围是 _,11.函数f(x)在递增区间是(-4,7)，则y=f(x-3)的递增区间是,A (-2,3) B (-1,10) C (-1,7) D (-4,10),12.f(x)为R上的减函数，则 A f(a)f(2a) B f(a2)f(a) C f(a2+1)f(a) D f(a2+a)f(a),a0,b1,

7、B,C,13.函数y=log0.5(x2-2mx+3)在（-，1）上为增函数，则实数m的取值范围是_,14.若函数f(x)=loga(x3-ax)在区间(-1/2,0)内单调递增，则a的取值范围是 A 1/4,1) B 3/4,1) C (9/4,) D (1,9/4),1,2,B,15.已知 是R上的增函数，那么a的取值范围是 A (1,+) B(-,3) C 3/5,3) D (1,3),16.如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数,且最小值为5,那么在区间-7,-3上是 A.增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为-5C.减函数且最小值为-5D.减函数且最大值为-5,D,B,17.已

8、知f(x)是定义在R上的偶函数，它在 0，+）上递减，那么一定有 A.f(-3/4)f(a2-a+1)B.f(-3/4)f(a2-a+1) C.f(-3/4)f(a2-a+1)D.f(-3/4)f(a2-a+1),18.设a为实数，函数f(x)=x3/3-ax2+(a2-1)x在（-,-2）和（1,+）都是增函数，则a的取值范围是 _,19.设a为实数，函数f(x)=x3/3-ax2+(a2-1)x的增区间是（-,0）和（2,+），则a的取值范围是 _,B,-1,0,a=1,20.函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间(1/2,1)上是单调函数，则a 的范围是_,a2或a3,21.有下列几

9、个命题：函数y=2x2+x+1在(0，+)上不是增函数;函数y=1/(x+1)在(-,-1)(-1,+)上是减函数;函数 的单调区间是-2，+)；已知f(x)在R上是增函数，若a+b0，则有f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).其中正确命题的序号是_,22.设函数f(x)=loga|x|在(-,0)上单调递增，则f(a+1)与f(2)的大小关系是 A.f(a+1)=f(2) B.f(a+1)f(2) C.f(a+1)f(2) D.不能确定,23.函数y=loga(2-ax)在0,1上是减函数，则a的取值范围是 A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(2,+),24.若函数f(

10、x)=a|x-b|+2在0,+）上为增函数,则实数a,b的取值范围是_,B,C,a0,b0,25.已知f(x)是R上的增函数,A(0,-1)B(3,1)是其图象上的两点，则不等式|f(x+1)|1 的解集为_,26.已知f(x)是定义在-1,1上的奇函数，若a、b-1,1,a+b0时，有 0.判断函数f(x)在(-1,1)上是增函数还是减函数，并证明你的结论,(-1,2),增,27. 已知函数 在 (-,1上为单调增函数，求a的取值范围,28.是否存在实数a，使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间2,4上是增函数？如果存在，说明a可以取哪些值；如果不存在，说明理由.,a5,a1,七、巩固

11、练习,1、,1.函数f(x)=4x2-mx+5在(2,+)上是增函数，则m的取值范围是 ，f(1)的取值范围是 .,2.奇函数f(x)在3，7 上是增函数，且最小值是5，则f(x)在-7，-3的最 .值为 .,3.函数y=x+ 的单调性为 .,m16,f(1)-7,大,5,增,七、巩固练习,1、,4.函数f(x)=log3(2-x)2的递增区间是 .,5.函数f(x)=loga(2-ax)在0，1上是减函数，则a 的取值范围是 .,（2，+),(1,2),6.函数 y = | x + 6 |的递减区间是,(-,-6),7.下列函数中，在区间（-，0）上为增函数的是（ ）,C,8.在下列定义域为

12、R的函数中，一定不存在的函数是 （ ） A 既是增函数又是奇函数 B 既是奇函数又是偶函数 C 既是增函数又是偶函数 D 既是减函数又是奇函数,C,9.已知f(x)在区间a,b上单调，且f(a)f(b)0,则方程f(x)=0在区间a,b上 A 至少有一个实根 B 至多一个实根 C 没有实根 D 必有唯一的实根,D,10.函数y=log0.5(x2-3x-4)的单调增区间为,14.已知函数f(x)是偶函数,在（0，+）上是增函数,且对任意实数x，都有f(x)0,试判断函数y=-1/f(x)在（-，0）上的单调性,减,18.已知f(x)定义在(-1,1)上的奇函数且是减函数，又满足f(1-a)+f

13、(1-a2)0,求实数a的取值范围,16.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在0,+)上是增函数，f(-1)=0，求满足不等式f(x)0的x范围,17.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在0,+)上是增函数，f(-1)=0,求满足不等式f(x)0的x范围,函数不等式的一般形式：f(a)f(b)解决方法：图象或函数单调性,求函数y=(log2x)2+log2x1的单调增区间,是否存在实数a，使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间2,4上是增函数？如果存在，说明a可以取哪些值；如果不存在，说明理由.,已知f(x)定义在(-1,1)上的奇函数f(x)满足f(1-a)+f(1-a2)0,求实

14、数a的取值范围,1.已知函数 是定义在R上的奇函数，a为常数.（1）求a的值；（2）判断函数f(x)在区间（1，1）上的单调性.,小结：,1、理解掌握函数单调性的定义；,2、理解掌握判断函数单调性的方法：,定义法、导数法、图像法、 复合函数单调性,3、注意利用单调性解决与之相关的问题.,一、函数单调性的定义：,对于给定区间D上的函数f(x)，对于任意x1,x2D, 当x1x2时，都有：,(1)f(x1)f(x2), 则称f(x)在区间D上为增函数,(2)f(x1)f(x2), 则称f(x)在区间D上为减函数,此时，称f(x)在D上具有单调性，D叫做f(x)的单调区间,注意：熟记所有基本函数的单

15、调性,二、单调函数的性质：,上升的,下降的,相同,相反,三、判断函数单调性的方法：,1、定义法；,2、求导法:y0增；y0为减,3、图象法;,4、利用复合函数单调性.,5.利用基本函数的单调性,复合函数单调性法则：,y=f(u) u=g(x) y=fg(x),增函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数,减函数 增函数 增函数 减函数,可按多因式相乘的符号确定法则来记忆，（同增异减）增函数不改变复合函数的单调性,基本函数的单调性：y=ax,y=ax+b,y=k/x,y=ax2+bx+c，y=ax,y=logax,y=sinx,y=cosx,y=tanx；,例1、证明：函数y=

16、x2-2x+2在(1,+)上是增函数.,证明函数单调性：定义法、导数法,练：1. 证明函数y=x3 +x 在R上是增函数. 2. 证明函数y= 在 (1,+) 是减函数.,函数y=x2-2x+3的单调增区间是,若函数y=x2-ax+3的单调增区间是1,+),求a,若函数y=x2-ax+3在1,+)上是增函数求a,函数y=f(x)在(a,b)上是增函数等价于：在(a,b)上，f(x)0恒成立,四、单调性的应用：,1、,1.函数f(x)=4x2-mx+5在(2,+)上是增函数，则m的取值范围是 ，f(1)的取值范围是 .,2.奇函数f(x)在3，7 上是增函数，且最小值是 5，则f(x)在-7，-

17、3的最 .值为 .,3.函数y=x+ 的单调性为 .,4.函数f(x)=log3(2-x)2的递增区间是 .,5.函数f(x)=loga(2-ax)在0，1上是减函数，则a 的取值范围是 .,m16,f(1)-7,大,5,增,（2，+),(1,2),基础练习,1、函数 y = | x + 6 |的递减区间是,2、下列函数中，在区间（-，0）上为增函数的是（ ）,(-,-6),C,在下列定义域为R的函数中,一定不存在的函数是 A 既是增函数又是奇函数 B 既是奇函数又是偶函数 C 既是增函数又是偶函数 D 既是减函数又是奇函数,已知f(x)在区间a,b上单调，且f(a)f(b)0,则方程f(x)=0在区间a,b上 （ ） A 至少有一个实根 B 至多一个实根 C 没有实根 D 必有唯一的实根,C,D,6.已知函数f(x)=4-x2,求函数g(x)=f(x2-2x-3)的单调增区间.,已知函数f(x)是偶函数，在（0，）上是增函数,且对任意实数x，都有f(x)0,试判断函数y=-1/f(x)在（，0）上的单调性,是否存在实数a,使函数f(x)=x4+(2-a)x2+2-a在区间（，2）上是减函数，而在区间（-1,0）上是