初升高数学课程内容(衔接班)

1、解不等式【知识要点】一、一元二次不等式：1、解法步骤：（1）分解成一次因式的积，并使每一个因式中一次项的系数为正；（2）根据不等号取解集：大于号取两边，小于号取中间。一元高次不等式的解法：穿根法（穿针引线）：将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线（奇数个根穿过，偶数个根穿不过），再根据曲线显现 f (x) 的符号变化规律，写出不等式的解集。2、一元二次不等式恒成立情况小结：ax2+ bx + c 0 （ a 0a 0）恒成立 D 0ax2+ bx + c 0 （ a 0a 0）恒成立 D 0 f (x) g (x) 0 ；f (x) 0 f (x) g (x) 0

2、g (x)g (x)f (x) 0 f (x) g (x) 0f (x) 0 f (x) g (x) 02. ；g (x)g (x)g (x) 0g (x) 0三、含绝对值的不等式的解法（大于取两边，小于取中间）：| f (x) | 0 ） -a f (x) a ，（ a 0 ）f (x) a【知识讲练】1、解下列不等式：(1)x2 - 7x +12 0(2)-x2 - 2x + 3 0（3） (x -1)(x - 3)(x + 2) 2 01（4）x - 3 0（5）2x - 3 1（6）5 - x x - 2（9）2x -1| x +1 |2、已知不等式 ax2 + bx + c 0 的解

3、集为x | 2 x 0 的解集3、对于任意实数 x，不等式 2kx2 + kx - 83 0 恒成立，则实数 k 的取值范围是【巩固练习】1、不等式 ax2 - x + b 0 的解集为x 1 x 2 的解集是（）x +1A. x | -1 x 1B. x | x -1或0 x 1C. x | -1 x 0或0 x 1D. x | x 1（，1）（1，+）4、已知不等式 ax2 -5x +b 0 的解集为x | -3 x 0的解集为（）A、x | -1 x 1B、x | x 13232C、x | -3 x 2D、x | x 25、（1）若函数 f (x) =kx2 + 4kx + 3 的定义域

4、是 R,则 k 的取值范围是（2）已知函数 f (x)= mx 2 - mx -1，对一切实数 x, f (x) 0 恒成立，则 m 的范围为2集合的含义及表示【知识要点】1、集合定义：某些指定的对象集在一起成为集合。集合中的对象称元素，若 a 是集合 A 的元素，记作 a A ；若 b 不是集合 A 的元素，记作 b A ；2、集合中的元素必须满足的特性：确定性、互异性与无序性；确定性：设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则 x 或者是 A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立，不能出现模糊不清的概念；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同

5、的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；3、集合的表示方法：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号 内；一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。具体：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征及取值（或变化）范围。图示法：通常用数轴或韦恩图（Venn 图）表示集合。4、常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作 N；正整数集，记作

6、N*或 N+；整数集，记作 Z；有理数集，记作 Q；实数集，记作 R。5、集合的分类：按集合中元素的个数多少可以分为有限集、无限集、空集（f ）。【知识讲练】一、选择题:1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）A.某班所有高个子的学生 B.著名的艺术家 C.一切很大的书 D.倒数等于它自身的实数2下列各项中，不可以组成集合的是（）A所有的正数B等于 2 的数C接近于 0 的数D不等于 0 的偶数3下列四个集合中，是空集的是（）Ax | x + 3 = 3B( x, y) | y 2 = -x 2 , x, y RCx | x 2 0Dx | x 2 - x +1 = 0, x R34下面有四个

7、命题：（1）集合 N 中最小的数是1；（2）若 -a 不属于 N ，则 a 属于 N ；（3）若 a N , b N , 则 a + b 的最小值为 2 ；（4） x 2 +1 = 2x 的解可表示为 1,1；正确命题的个数为（）A 0 个B1个C 2 个D 3 个5下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合 y | y = x 2 -1与集合 (x, y)| y = x 2 -1是同一个集合；361（3）1,-, 0.5 这些数组成的集合有 5 个元素；422（4）集合 (x, y)| xy 0, x, y R是指第二和第四象限内的点集。A 0 个B1个C 2 个D 3 个

8、x + y = 16方程组 2 = 9的解集是（）x 2 - yA (5, 4) B (5,-4)C (- 5,4)D (5,-4)。7若集合 M = a,b, c 中的元素是 ABC 的三边长，则 ABC 一定不是（）A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D等腰三角形二、填空题:1用符号“”或“”填空（1） 0 _ N ,_ N ,_ N516_x | x = a +b, a Q, b Q（2） 2 -+2 +3362.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合 M=.b2200320043.设含有三个实数的集合既可以表示成 a,1，又可以表示成a, a + b, 0，则 a+b

9、 =。a三、解答题:81已知集合 A = x N | N ，试用列举法表示集合 A 。6- x2.设 A 表示集合2，3，a22a3，B 表示集合a3，2，若已知 5A，且 5B，求实数 a 的值。4集合间的基本关系及运算【知识要点】1、集合的包含关系：（1）集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集（或 B 包含 A），记作 A B（或 A B ）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若 A B 且 B A，则称 A 等于 B，记作 A=B；若 A B 且 AB，则称 A 是 B 的真子集，记作 A B；（2）简单性质：1）A A；2） F A；3）若 A B

10、，B C，则 A C；4）若集合 A 是 n 个元素的集合，则集合 A 有 2n 个子集（其中 2n1 个真子集）；2、全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作 U；（2）若 U 是一个集合，A U，则， CU A =x | x U且x A 称 U 中子集 A 的补集；（3）简单性质：1） CU ( CU )=A；2） CU U = F ， CU F =U3、交集与并集：（1）一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与 B 的交集。交集： A B = x | x A且x B 。AB（2）一般地，由所有属于集合 A 或属于集合

11、 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与 B 的并集。并集： A B = x | x A或x B 。AB结合 Venn 图或数轴的方法求解会更简单明了。4、集合的简单性质：（1） A A = A, A F = F, A B = B A; （2） A F = A, A B = B A;（3） ( A B) ( A B);（4） A B A B = A; A B A B = B ；（5） CU （AB）=（ CU A）（ CU B）， CU （AB）=（ CU A）（ CU B）.5、集合中元素个数的关系：元素的个数用 card 表示，则：card ( A B) = card ( A) + ca

12、rd (B) - card ( A B)5【知识讲练】一、选择题：AB1下列表示图形中的阴影部分的是（）A ( A C) (B C)B ( A B) ( A C)CC ( A B) (B C)D ( A B) C2若全集U = 0,1, 2,3且CU A = 2 ，则集合 A 的真子集共有（）A 3 个B 5 个C 7 个D 8 个3设集合 M = x | x =k+1, k Z， N = x | x =k+1, k Z ，则（）2442A M = NB MC M ND M N = f N450 名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格 40 人和 31人，2 项测验成绩均不及格

13、的有4 人， 2 项测验成绩都及格的人数是（）A 35B 25C 28D155已知集合 A = x | x2 +mx +1 = 0, 若A R = f 则实数 m 的取值范围是（）A m 4C 0 m 4D 0 m 46若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（）（1）若 A B = f, 则(CU A) (CU B) = U（2）若 A B = U , 则(CU A) (CU B) = f（3）若 A B = f，则A = B = fA 0 个B1个C 2 个D 3 个7设集合 A = x | x2 - x = 0, B = x | x2 + x = 0，则集合 A B = （）A 0B0

14、CfD-1, 0,1二、填空题：1.集合a，b，c 的真子集共有个2. 若集合 A = x | x 6, x N ，B = x | x是非质数 ，C = A B ，则 C 的非空子集的个数为。3若集合 A = x | 3 x 7， B = x | 2 x 4或x 3则 a = _, b = _ 。6某班有学生 55 人，其中体育爱好者 43 人，音乐爱好者 34 人，还有 4 人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人。7若 A = 1, 4, x, B = 1, x 2且 A B = B ，则 x =。8已知集合 A = x | ax 2- 3x + 2 = 0 至多有

15、一个元素，则 a 的取值范围；若至少有一个元素，则 a的取值范围。9.已知集合 A = x | a -1 x 2a +1 ， B = x | 0 x -1，下列关系式中成立的为（）A 0 XB0 XCf XD0 X2若全集U = 0,1, 2,3且CU A = 2 ，则集合 A 的真子集共有（）A 3 个B 5 个C 7 个D 8 个3若集合 M = (x, y)x + y = 0, N = (x, y)x 2 + y 2 = 0, x R, y R ，则有（）A M N = MB M N = N C M N = MD M N = 4下列说法中，正确的是（）A.任何一个集合必有两个子集； B.

16、若 A B =f, 则 A, B中至少有一个为fC.任何集合必有一个真子集；D.若 S 为全集，且 A B = S , 则 A = B = S ,5下列表述中错误的是（）A若 A B, 则A B = AB若 A B = B，则A BC ( A B)A ( A B)D CU (A B) = (CU A) (CU B)6设集合 M = x | x =k+1, k Z ， N = x | x =k+1, k Z ，则（）4224A M = N B M N C N M D M N = f 二、填空题。91用列举法表示集合： M = m|10Z, m Z =。m + 12. 若集合 A = x | x

17、6, x N ，B = x | x是非质数 ，C = A B ，则 C 的非空子集的个数为个。3若 I = x | x -1, x Z ，则 CI N =。4某班有学生 55 人，其中体育爱好者 43 人，音乐爱好者 34 人，还有 4 人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人。5已知集合 A = x | ax 2 - 3x + 2 = 0 至多有一个元素，则 a 的取值范围；若至少有一个元素，则 a的取值范围。三、解答题。1.已知 A = x - 2 x 5 ， B = x m +1 x 2m -1 ， B A ,求 m 的取值范围。2集合 A = x | x2 -

18、ax + a 2 -19 = 0， B = x | x2 - 5x + 6 = 0， C = x | x2 + 2x - 8 = 0满足 AB f, ，AC = f, 求实数 a 的值。3设U = R ，集合 A = x | x2 + 3x + 2 = 0，B = x | x2 + (m +1)x + m = 0； 若 (CU A)B = f ，求 m 的值。4设 A = x x2 + 4x = 0, B = x x2 + 2(a +1)x + a 2 -1 = 0 ,其中 x R ,如果 AB = B ，求实数 a 的取值范围。10函数及其表示【知识要点】一、映射1映射：设 A、B 是两个集

19、合，如果按照某种对应关系 f，对于集合 A 中的元素，在集合 B 中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作.2象与原象：如果 f:AB 是一个 A 到 B 的映射，那么和 A 中的元素 a 对应的 B 中的值叫做象，a 叫做原象。二、函数1定义：设 A、B 是集合，f:AB 是从 A 到 B 的一个映射，则映射 f:AB 叫做 A 到 B 的 函数 ，记作y=f(x) .2函数的三要素为、，两个函数当且仅当三要素分别相同时，二者才能称为同一函数。3函数的表示法有、。4.范围的区间表示法：闭区间： a x b :开区间： a x b :a x b :x b :半开半闭区间： a 0 ，

20、f : x y =| x | ；（2） A = x | x 2, x N * ， B = y | y 0, y N ， f : x y = x 2 - 2x + 2 ；（3） A = x | x 0 ， B = y | y R ， f : x y = x 上述三个对应是 A 到 B 的映射2、下列各组函数中，表示同一函数的是（）.A. y = 1, y =xB. y =x -1x +1, y = x2 -1xC. y = x, y = 3x3D. y =| x |, y = () 2x3、下列图象中表示函数 y=f(x)关系的有()yA.(1)(2)(4)B.(1)(2)C.(2)(3)(4)

21、D.(1)(4)4、函数 f (x ) = x +x的图象是如图中的（）xyyyy111-10x01x0-1x0x-1-1ABCD11| x -1 | -2 | x | 1115、设 f (x) = | x | 1，则 f f ()=。2+ x21【巩固练习】1、下列各图中表示函数的是（）yyxOxOAB2、下列各组函数表示同一函数的是（A f (x) = x 2, g (x) = ( x )2Cf (x) = x(x 0),g(t ) = t- x(x 0)3、下列各组函数表示同一函数的是A f ( x) = x , g ( x) = x 2C f (x) = x2 , f (x) = x

22、2yyOxOxCD）B f (x) = x2 ,g (x) = xxD f ( x) = x , g ( x) = ( x ) 2（）B f (x) =1 ,g (x) = x 0D f (x) = x +1 , g (x) = x2 -1 x -1x - 5(x 6)，则 f(3)为（）4、已知 f (x) = (x + 2)(x 0)(x = 0) ，求 f f f (-1)=5、已知 f (x) = p。(x 0)7、已知 f (x) 的定义域为 x | x 0，且 f (xy) = f (x) + f ( y) ，若 f (9) = 8 ，求 f (3) =。8、已知区间（- 2a,3

23、a + 5），则 a 的取值范围是_。9、给定映射 f：(x, y) (x + y, x - y) ，点（2,4）的原象是。12函数解析式【知识要点】解析式的求解方法：（1）待定系数法（2）配凑法（3）换元法（4）代入法（5）构造方程组法.【知识讲练】求函数的解析式(1)已知 f ( x +1) = x + 2 ，则 f (x) =。(2)已知一次函数 f (x) 使 f f (x) = 4x + 3 ，则 f (x) =。（3）已知函数 f (x) 是二次函数，若 f (0) = 0, f (x +1) = f (x) + x +1，求 f (x) 的表达式.(4)已知 f (x) 满足 f

24、 (x) + 2 f (1) = 3x ，则 f (x) =。x121+1，则 f (x) =(5)已知 f x -= x+。xx2(6)已知 f (x - y) = f (x) - y(2x - y +1) ，且 f (0) = 1 ，则 f (x) =。13【巩固练习】1、已知 g (x) = 1- 2x, f g (x) =1 - x 2(x 0) ，那么 f (1) 等于x 222、已知 f ( x +1) = x + 2 x ，求 f ( x ) 。3、已知 f (x) 是二次函数，且 f (x +1) + f (x -1) = 2x 2 - 4x ，求 f (x) 的解析式。4、已

25、知 f (x ) 是一次函数，且 f f f (x )= 8x + 7 ，求 f (x ) 的解析式。5、已知函数 f (x) 满足 2 f (x) + f (-x) = 3x + 4 ，求 f (x) 的解析式。6、已知 f（x +1）= x2+1- 2,求 f（x）。xx2，7、如图，根据 y=f(x) ( x R )的图象，写出 y=f(x)的解析式14函数的定义域、值域【知识要点】一、定义域：1函数的定义域就是使函数式的集合.2常见的三种题型确定定义域： 已知函数的解析式，其中含有特殊形式：A分式：B开偶次方：Aa0 复合函数 f g (x) 的有关定义域，就要保证内函数 g (x)的

26、域是外函数 f (x)的域.实际应用问题的定义域，就是要使得因变量有意义的自变量的取值集合.二、值域：1函数 y = f (x)中，与自变量 x 的值对应的 y 值的集合.2常见函数的值域求解方法有：观察法；配方法；反函数法；不等式法；单调性法；数形法；判别式法；换元法。【知识讲练】1、函数 f (x ) =+11- x 2的定义域为；11+x已知 y = f (x) 的定义域为 1,2，则 f (2x +1) 的定义域为；若函数 f (x +1) 的定义域为-2，3 ，则函数 f (2x -1) 的定义域是。152、函数 y =1； 函数 y = 2 +的值域为的值域为1 - 2x；x2 +

27、1函数 y = x + 1- 2x 的值域为；函数 y =2x - 3的值域为；x + 2函数 y =1 + e x的值域为；1- e x函数 y =2x 2+ 2x + 5的值域为。x 2+ x +13、（1）已知函数 f (x) = x 2 - 2ax + 3, x 1,2,求函数 f（x）的值域.（2）已知函数 f (x)= x2 - 2x + 3, x 1, t，求函数 f（x）的值域.16【巩固练习】1、求下列函数的定义域：11+ (2x -1)0 + y = x2 - 2x -15 f (x) =+ y =4 - x 25 - x2 - x11+x -12、设函数 f ( x) 的

28、定义域为0，1 ，则函数 f (2x +1) 的定义域为；函数 f (x- 2) 的定义域为。3、函数 f (x - 2) 的定义域为0，1 ，则函数 f (x + 2) 的定义域是；函数 f (2x + 3) 的定义域为。4、求下列函数的值域： y = x2 + 2x - 3 ， x 1, 2（2） y = 4 - -x 2 + 4x + 5（3） y =3x -1y =5x29x + 4（5） y = x -（4）1- 2xx +1x2 -15、函数 y =2的最大值是（）.2- x +1xA. 8B.8C. 4D.4336、已知函数f (x) = x2 + x +1,x 0,3 的最大（小）值情况为（）.233A.