第七章序列相关性

1、.,计量经济学理论方法eviews应用 郭存芝 杜延军 李春吉 编著,电子教案,.,第七章 序列相关性, 学习目的,通过本章的学习，你可以知道什么是序列相关性，序列相关性产生的原因是什么，序列相关性导致什么样的后果，怎样检验和处理具有序列相关性的模型。, 基本要求,1）掌握序列相关性的概念、序列相关性的后果和检验方法； 2）了解广义最小二乘法和广义差分法原理； 3）能运用广义差分法和广义最小二乘法估计线性回归模型。,.,序列相关性及其产生原因, 序列相关性的影响,序列相关性的检验,序列相关的补救,第七章 序列相关性,案例分析,.,第一节 序列相关性及其产生原因,、序列相关性的含义,对于多元线性

2、回归模型,(7-1),在其他假设仍然成立的条件下，随机干扰项序列相关意味着,如果仅存在,则称为一阶序列相关或自相关（简写为ar(1)，这是常见的一种序列相关问题。,（7-3）,（7-2）,.,是满足以下标准ols假定的随机干扰项：,由于序列相关性经常出现在以时间序列数据为样本的模型中，因此， 本节下面将代表不同样本点的下表i用t 表示。,.,二、序列相关的原因,1经济数据序列惯性,2模型设定的偏误,3滞后效应,4蛛网现象,5数据的编造,.,1经济数据序列惯性,gdp、价格指数、消费等时间序列数据通常表现为周期循环。当经 济衰退的谷底开始复苏时，大多数经济序列开始上升，在上升期间，序 列在每一时

3、刻的值都高于前一时刻的值。看来有一种内在的动力驱使这 一势头继续下去，直至某些情况出现（如利率或税收提高）才把它拖慢 下来。,因此，在涉及时间序列的回归中，相继的观测值很可能是相互依赖的。,比如：,.,2模型设定的偏误,定义：,指所设定的模型“不正确”，主要表现在模型中丢掉了重要的解释 变量或模型函数形式有偏误。,例1：,（丢掉了重要的解释变量）,.,2模型设定的偏误,如果(7-5)式是正确的模型，那做（7-6）式的回归就相当于令,于是误差项v将表现出一种系统性模式，从而形成了自相关。,.,2模型设定的偏误,定义：,指所设定的模型“不正确”，主要表现在模型中丢掉了重要的解释 变量或模型函数形式

4、有偏误。,例2：,（模型函数形式有偏误）,.,2模型设定的偏误,例2：,（模型函数形式有偏误）,因此在(7-8)中， 它包含了产出的平方对随机 干扰项的系统性影响，随机干扰项呈现序列相关性。,.,3滞后效应,类似（7-9）式的回归模型被称为自回归模型,由于心理上、技术上以及制度上的原因，消费者不会轻易改变其消费 习惯，如果我们忽视（7-9）式中的滞后消费对当前消费的影响，那所带来 的误差项就会体现出一种系统性的模式。,注意：,.,4蛛网现象,例如：,假设t时期的价格pt低于t-1时期的价格pt-1，农民就很可能决定在时期t+1生产比t时期更少的东西。显然在这种情形中，农民由于在年度t的过量生产

5、很可能在年度t+1消减他们的产量。诸如此类的现象，就不能期望干扰t是随机，从而出现蛛网式的序列相关。,.,5数据的编造,新生成的数据与原数据间就有了内在的联系，表现出序列相关性。,例如：,季度数据来自月度数据的简单平均，这种平均的计算减弱了每月数据的波动而引进了数据中的匀滑性，这种匀滑性本身就能使随机干扰项中出现系统性的因素，从而出现序列相关性。,利用数据的内插或外推技术构造的数据也会呈现某种系统性的模式。,一般经验表明，对于采用时间序列数据做样本的计量经济学模型， 由于在不同样本点上解释变量意外的其他因素在时间上的连续性， 带来了他们对被解释变量的影响的连续性，所以往往存在序列相关性。,.,

6、第二节 序列相关性的影响,1参数估计量非有效,2随机误差项方差估计量是有偏的,3拟合优度检验r2统计量和方程显著性检验f统计量无效,4变量的显著性检验t检验统计量和相应的参数置信区间估计失去意义,5模型的预测失效,.,1参数估计量非有效,根据ols估计中关于参数估计量的无偏性和有效性的证明过程可以看出，当计量经济学模型出现序列相关性时，其ols参数估计量仍然具有线性无偏性，但不具有有效性。因为在有效性证明中我们利用了,（7-11）,即同方差和相互独立性条件。而且在大样本情况下，参数估计量虽然 具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。,.,为了具体说明这一点，我们回到简单的一元回归模型,（7-12）

7、,为方便我们不妨假定干扰项为(7-4)所示的一阶序列相关：,(7-13),(7-14),对于干扰项为一阶序列相关的一元回归模型采用ols估计，如以前一样，1的ols估计量为：,.,（7-16）,把该式与没有干扰项自相关情形的通常公式,（7-15）,.,2随机误差项方差估计量是有偏的,以一元回归模型为例，在经 典假设情况下，干扰项的 ols方差估计量,则可以证明：,.,3拟合优度检验r2统计量和方程显著性检验f统计量无效,由于在序列相关时ols对随机误差方差估计有偏，结果基于 ols残差平方和计算出来的拟合优度检验统计量r2也失去意义， 相应的方程显著性检验统计量f统计量也无效。,.,4变量的显

8、著性检验t 检验统计量和相应的参数置 信区间估计失去意义,用ols法估计序列相关的模型得到的随机误差项的方差不仅是有偏的，而且这一偏误也将传递到用ols方法得到的参数估计量的方差中来，从而使得建立在ols参数估计量方差基础上的变量显著性检验失去意义。,.,5模型的预测失效,在存在序列相关时ols估计的随机误差项方差有偏，参数估计量方 差非有效，这样回归模型的被解释变量的预测值及预测区间就不准确， 预测精度降低。,被解释变量预测值区间与模型参数和随机误差的估计量的方差有关。,所以，当模型出现序列相关时，它的预测功能失效。,.,第三节 序列相关性的检验,不同的检验方法的共同思路:,序列相关性的检验

9、方法有多种，如冯诺曼比检验法、回归检验法、d.w.检验法等。,（7-19）,然后通过分析这些近似估计量之间的相关性以达到判断随机干扰 项是否具有序列相关性的目的。,.,序列相关性的检验方法,一、图示法,二、回归检验法,三、杜宾沃森检验,四、拉格朗日乘子检验,.,一、图示法,.,二、回归检验法,，,（7-20）,（7-21）,对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方 程显著成立，则说明原模型存在序列相关性。,一旦确定了模型存在序列相关性，也就同时知道了相关的形式，而且它 适用于任何类型的序列相关性问题的检验。,优点：,.,三、杜宾沃森检验,d-w检验是杜宾（j.durbin

10、）和沃森（g.s.watson）于1951年提出 的一种检验序列自相关的方法。虽然该方法很常用，但它有一些基本假定：,（1）回归含有截距项。,（2）解释变量x是非随机的，或者在重复抽样中被固定的。,（4）回归模型中不应把滞后应变量作为解释变量之一，即不应出现如下形式模型：,（5）没有缺失数据。,.,.,也就是说，当d.w.值在2附近时，模型不存在一阶自相关。,.,例7-1,给定一个含有50个观测值的样本和3个解释变量,如果 （a）d.w.=1.05，（b）d.w.=1.40， （c）d.w.=2.50，（d）d.w.=3.97,你能对自相关的问题说些什么？,.,解：,根据d-w检验判断准则可知

11、,.,.,.,四、拉格朗日乘子检验,拉格朗日乘子检验克服了d-w检验的缺陷，适合于高阶序列相关 及模型中存在滞后被解释变量的情形。它是由布劳殊（breusch）与 戈弗雷（godfrey）于1978年提出的，也称为gb检验。,如果要检验随机误差项是否存在p阶序列相关：,（7-25）,.,（7-29）,.,p值即滞后的长度无法预先给定，因此实践操作中可从1阶、2阶 逐次相更高阶检验，并用辅助回归方程（7-29）式中各个残差项前面的 参数的显著性来帮助判断序列相关的阶数。,lm检验的一个缺陷,给定显著性水平，查自由度为p的分布的相应临界值，如果计算的lm统计量的值超过该临界值，则拒绝约束条件为真的

12、原假设，表明存在随机误差项存在直到p阶的序列相关性。,.,例7-2,假定用32个样本做y对x(包含截距)的回归,因此我们可以拒绝辅助回归方程中原始回归残差序列的全部1到5阶滞后 序列系数均为零的假设，至少有一个滞后残差序列的系数不为零。,这表明原始回归的残差中至少存在1到5阶中的某一滞后的自相关，当然 要确定到底是几阶序列相关还必须进一步进行4阶、3阶等不同阶数的拉格 朗日乘子检验。,.,第四节 序列相关的补救,由于序列相关出现时ols估计量是非有效的，因此如果回归模型被证明 存在序列相关性，则应该发展新的方法来估计模型。类似于处理异方差的情 况，在大样本下我们也可以用与自相关相一致的ols回

13、归残差的方差协方差 矩阵来处理随机误差项的自相关情况，这样ols估计也仍然是有效的，只是 我们需要报告相应的自相关稳健标准差和相应的统计量，其处理方法完全类 似于异方差稳健推断，这里我们不再对自相关稳健推断详细论述，我们详细介 绍一般情况下处理序列相关最常用的广义最小二乘法（gls）和广义差分法。,.,一、广义最小二乘法,定义:,最具有普遍意义的最小二乘法.,普通最小二乘法和加权最小二乘法是它的特例。,如果存在序列相关性，同时存在异方差，即有,.,即,该模型具有同方差性和随机干扰项相互独立性。因为,.,则,这就是原模型（7-30）式的广义最小二乘估计量，它是无偏有效的估计量。,.,二、广义差分

14、法,广义差分法需要对随机干扰项自相关系数事先给出必要的假设， 可区分为两种情形：自相关系数已知和未知。,1）自相关系数已知时,.,如果（7-33）在时刻t成立，则在时刻t-1也成立，因此有：,（7-34）,.,（7-37）,其中，,将（7-36）式简写为,.,那么可以将原模型（7-38）式变换为,（7-40）,（7-40）式即为多元回归形式的广义差分模型，该模型不存在序列相关性。,.,采用ols法估计该模型得到的参数估计量即为原模型参数的无偏有效 估计量，这样处理序列相关的方法就是广义差分法。,广义差分法就是前面我们讨论过的广义最小二乘法（gls），但应注 意滞后的观测值被排除了。,为看清这一

15、点，我们仍然考虑前面的一阶序列相关的情况,我们用矩阵形式把上述估计过程重写一遍。对于一阶序列相关的随机误差项,我们可以证明该随机干 扰项的方差和协方差分别为,.,用矩阵表示为,根据线性代数易知,.,从而有,（7-41）,.,然后展开（7-41）式中所有矩阵乘积，去掉展开式的第一行就得到（7-36） 一样的结果。,（7-41）,.,类似地对具有p阶序列相关的多元回归模型的广义差分法估计也等同于广义最小二乘估计，但我们损失了前面p个样本观测值，这一点可以从广义差分模型（7-40）式看出来。在样本规模较大而误差序列相关阶数较小时，广义差分法与广义最小二乘法的估计结果很接近。但在小样本或误差呈现较大的

16、高阶序列相关时，观测值的损失可能会对估计结果有影响。因此在广义差分变换中，有时需弥补这一损失。,这样广义差分法的估计结果就完全等同于广义最小二乘估计量。,例如，在一阶序列相关情况下，对损失的第一次观测值可进行如下的 普莱斯-温斯特（prais-winsten）变换：,.,2）自相关系数未知时的处理,尽管广义差分回归直接明了，但通常情况下我们并不知道总体模型中随机干扰项的真实自回归系数是多少，故广义差分法一般难以实现。,（1）一次差分法,（2）根据d.w.统计量来估计,（3）科克伦-奥科特（cochrane-orcutt）迭代法,（4）杜宾两步法,因此我们需要另想办法来处理序列相关问题，我们介绍

17、几种常用的方法。,.,（1）一次差分法,因为自回归系数介于（-1，1）之间，我们考虑极端的序列相关情况， 即完全的正相关或负相关，此时等于1或1。,.,对（7-42）进行一次差分得到,即,（7-44）,.,如果原模型为包含时间趋势的模型：,（7-45）,那么对它进行一次差分后得到,（7-46）,.,如果原模型中随机干扰项是完全一阶负相关的， 那么一次差分处理的方法就是相反了。,思考:,析:,要注意它是以假定=1为前提的，如果随机干扰项不是完全一阶 正相关，就不能进行这样的一次差分变换。,.,怎样知道假定=1是否合理呢？,用贝伦布鲁特-韦布（belenblutt-webbtest）统计量来检验。

18、,对,进行,为检验假设=1，贝伦布鲁特韦布推出如下g检验统计量：,.,例7-3,假定用32个样本做y对x的ols回归得到的残差平方和rss1=204.2934， 再做y对x的ols回归（注意在此回归中没有截距）得到残差平方和 rss2=28.1938。,g=28.1938/204.2934=0.1377,查d.w.分布表发现5%的显著性水平下31个样本和1个解释变量的d.w. 值下界为1.363，上界为1.496。,因此,.,（2）根据d.w.统计量来估计,（7-48）,这是从所估计的d.w.统计量获得的一个估计值的简易方法。,回想我们前面的d.w.统计量,.,（7-48）,.,这样估计的回归

19、系数是否有经典回归模型中所说的最优性质呢？,当用一个估计的量去代替真值时，ols估计得到的回归系数仅是渐近有 效的，就是说仅在大样本情况下才是最优的，而且通常的假设检验统计量也 仅是渐近有效的。,一个一般性的原则：,.,（3）科克伦-奥科特（cochrane-orcutt）迭代法,.,按如下步骤来估计自回归系数,（7-51）,1对（7-49）进行ols回归得到回归残差,.,。,5. 现在估计回归方程：,（ 7-53）,按如下步骤来估计自回归系数,.,（4）杜宾两步法,以上面的一元回归模型为例,（7-54),把广义差分方程 改写为：,.,该方程改写为,（7-55）,对（7-55）进行ols回归得

20、到参数的估计值。,.,其他方法的基本上都是两步法：,第二步，用这个估计值对变量做变换，以估计广义差分方程，这基本 上就是gls。,.,第五节 案例分析,根据宏观经济理论，产出是资本和劳动投入的函数，生产函数可以表示为,（7-56）,其中，y为产出，k为资本，n为就业人数，t是时间， 、 、为参数。通常认为生产函数具有规模报酬不变的性质，这意味着 和 之和应该近似等于1。为了估计资本和劳动投入对产出的贡献，我们估计如下对数形式的生产函数回归模型：,（7-57）,表7-1给出了中国1978-2010年的实际gdp、资本存量和劳动就业的数据。,.,表7-1 实际gdp、资本存量和劳动就业的数据,.,

21、一、ols回归与序列相关性检验,表7-2 模型（7-57）的ols回归结果,.,相应的回归方程为,（7-58）,（15.7694） （7.2874） （10.3092）,由回归方程（7-58）可以看出，在0.05的显著性水平上，资本和劳动的产出弹性都是显著的。由于该回归方程没有截距项，因此不能用dw统计量检验随机误差项是否存在序列相关，需要用其他方法来检验序列相关性。,可以通过观察ols回归残差图形来初步检验回归模型（7-57）随机误差项的序列相关情况。图7-2给出了ols回归残差序列的时间路径图和相邻两个残差的散点图。,.,图7-2 回归残差的路径图和相邻残差散点图,进一步对模型（7-57）

22、随机误差项进行序列相关lm检验。,.,表7-3 模型（7-57）的一阶序列相关lm检验eivews输出结果,.,相应地，模型（7-57）的随机误差一阶序列相关lm检验的辅助回归方程为,nr2=33*0.604986=19.96,由于lm统计量服从自由度为p的渐近分布，在给定显著性水平为0.05时，查自由度为p=1的分布表得到临界值，因此lm=19.353.8425，故拒绝模型（7-57）ols回归残差项没有一阶序列相关的原假设。此外滞后1阶残差项的回归系数在统计上是显著的，因此可以判断模型（7-57）随机误差项存在一阶序列相关性。,辅助回归方程(7-59) 的拉格朗日乘子lm=(33-1)*0

23、.6049=19.35,.,再对回归模型(7-57)进行二阶和三阶序列相关lm检验,表7-4 回归模型（7-57）的二阶序列相关lm检验eivews输出结果,.,表7-5 回归模型（7-57）的三阶序列相关lm检验eivews输出结果,.,相应的二阶和三阶序列相关lm检验的辅助回归方程分别为方程（7-60）式和（7-61）式。,（0.4392） （-0.4348） （0.4326） （9.3437） （-4.8366）,lm=25.8979,（0.394） （-0.383） （0.381） （6.72） （-2.423） （0.237）,lm=25.913,（7-60）,.,分析 二阶序列相关lm检验辅助回归程中的拉格朗日乘子lm为25.898，伴随概率小于0.05的显著性水平