方程式的图形.ppt

1、2.2 方程式的圖形,2.2 方程式的圖形,學習目標 手繪方程式的圖形。 求方程式圖形的 x 截距和 y 截距。 寫出圓方程式的標準式。 求兩個圖形的交點。 用數學模型做為實際生活問題的模型並解之。,第二章函數、圖形與極限,P.2-10,方程式的圖形,在 2.1 節用座標系統圖形顯示兩個數量的關係，這些圖形為座標平面上點的集合 (參考 2.1 節範例 2)。,第二章函數、圖形與極限,P.2-10,方程式的圖形,兩個數量的關係常以方程式來表示。例如，華氏與攝氏溫度的關係可表示成方程式 。在這一節，可學到描繪此類方程式圖形的步驟。方程式的圖形 (graph) 就是這個方程式所有解的點集合。,第二章

2、函數、圖形與極限,P.2-10,範例 1描繪方程式的圖形,描繪 y 7 3x 的圖形。,第二章函數、圖形與極限,P.2-10,範例 1描繪方程式的圖形 （解）,描繪方程式圖形的最簡單方法就是繪點法，也就是找出方程式幾個解點，連同其值製成一個表格，如下所示。例如，當 x 0 時 y 7 3(0) 7 所以 (0, 7) 為圖形上的一個解點。,第二章函數、圖形與極限,P.2-10,範例 1描繪方程式的圖形 （解）,從表可知，(0, 7)、(1, 4)、(2, 1)、(3, 2) 和 (4, 5) 是方程式的解點，將這些點描繪出之後，可看出它們是在一條直線上，如圖 2.13所示。所以方程式的圖形就是

3、通過這五個點的直線。,第二章函數、圖形與極限,P.2-10,學習提示,雖然將圖 2.13 的圖形視為 y 7 3x 的圖形，實際上這只是圖形的一部分。完整的圖形應該是延伸到這一頁外面的直線。,第二章函數、圖形與極限,P.2-10,檢查站 1,描繪 y 2x 1 的圖形。,第二章函數、圖形與極限,P.2-10,範例 2描繪方程式的圖形,描繪 y x2 2 的圖形。,第二章函數、圖形與極限,P.2-11,範例 2描繪方程式的圖形 （解）,首先製作表格，如下所示。 接著，畫出表中的點，如圖 2.14(a) 所示。最後，以平滑曲線將各點連接起來，如圖 2.14(b) 所示。,第二章函數、圖形與極限,P

4、.2-11,範例 2描繪方程式的圖形 （解）,第二章函數、圖形與極限,P.2-11 圖2.14,學習提示,範例 2 所示的圖形為拋物線(parabola)。任何一個二次方程式如 y = ax2 + bx + c, a 0 其圖形有相似的形狀。如果a 0，則拋物線開口向上，如圖 2.14(b)，如果 a 0，則拋物線的開口向下。,第二章函數、圖形與極限,P.2-11,檢查站 2,描繪 y x2 4 的圖形。,第二章函數、圖形與極限,P.2-11,方程式的圖形,範例 1 和範例 2 所示的繪點技巧雖然是很容易使用的，但是有一些缺點：如果解點太少，可能會使方程式的圖形不是正確的圖形。例如，該如何連接

5、在圖 2.15 中的四個點？在沒有更多資訊之下，圖 2.16 中的三個圖形都是合理的。,第二章函數、圖形與極限,P.2-11,方程式的圖形,第二章函數、圖形與極限,P.2-11 圖2.15,方程式的圖形,第二章函數、圖形與極限,P.2-11 圖2.16,圖形的截距,含有零的解點，不管是 x 座標或 y 座標，都很容易求得。因為這些點是圖形與 x 軸或 y 軸的交點，所以稱為截距 (intercepts)。 有些書是用點 (a, 0) 的 x 座標來表示 x 截距而不是點本身。除非有區分的必要，否則將用截距這個名稱來表示點或座標。,第二章函數、圖形與極限,P.2-112-12,圖形的截距,一個圖

6、形可能沒有截距或有數個截距，如圖 2.17 所示。,第二章函數、圖形與極限,P.2-12 圖2.17,代數技巧,求截距時就是要求解方程式。有關求解方程式之技巧的複習，可參考本章的代數複習。,第二章函數、圖形與極限,P.2-11,範例 3求 x 和 y 截距,求下列方程式圖形的 x 和 y 截距。 a. y x3 4x b. x y2 3,第二章函數、圖形與極限,P.2-12,範例 3求 x 和 y 截距 （解）,a. 令 y 0，則 0 x(x2 4) x(x 2)(x 2)。所以 x 0 或x 2。令 x 0，則 y (0)34(0) 0。 x 截距：(0, 0), (2, 0), (2,

7、0) y 截距：(0, 0) 參考圖 2.18 b. 令 y 0，則 x (0)23 3。令 x 0，則 y2 3 0 的解y 。 x 截距：(3, 0) y 截距：(0, ), (0, ) 參考圖 2.19,第二章函數、圖形與極限,P.2-12,範例 3求 x 和 y 截距 （解）,第二章函數、圖形與極限,P.2-12 圖2.18,範例 3求 x 和 y 截距 （解）,第二章函數、圖形與極限,P.2-12 圖2.19,檢查站 3,求下列方程式圖形的 x 和 y 截距。 a. y x2 2x 3 b. y2 4 x,第二章函數、圖形與極限,P.2-12,圓,讀者將由本書學會從方程式辨識幾種類型

8、的圖形。例如，y ax2 bx c，a 0 的二次方程式之圖形是拋物線 (參考範例2)，另一容易辨識的是圓 (circle) 的方程式。,第二章函數、圖形與極限,P.2-12,圓,考慮如圖 2.20 的圓。一點 (x, y) 在圓上的條件為若且唯若它與圓心 (h, k)的距離是 r。由距離公式可得， 將方程式的兩邊平方，即可得到圓方程式的標準式 (standard form of the equation of a circle)。,第二章函數、圖形與極限,P.2-13,圓,第二章函數、圖形與極限,P.2-13 圖2.20,圓,由此，可看出以原點 (h, k) (0, 0) 為圓心的圓方程式的

9、標準式可化簡為 x2 + y2 = r2 以原點為圓心的圓,第二章函數、圖形與極限,P.2-13,範例 4求圓的方程式,第二章函數、圖形與極限,P.2-13 圖2.21,已知點 (3, 4) 在圓心為 (1, 2) 的圓上，如圖 2.21 所示。求此圓方程式的標準式。,範例 4求圓的方程式 （解）,圓的半徑等於 (1, 2) 和 (3, 4) 之間的距離。,第二章函數、圖形與極限,P.2-13,範例 4求圓的方程式 （解）,用 (h, k ) = (1, 2)，則圓方程式的標準式為,第二章函數、圖形與極限,P.2-13,檢查站 4,已知點 (1, 5) 在圓心為 (2, 1)的圓上，求此圓方程

10、式的標準式。,第二章函數、圖形與極限,P.2-13,圓,若要把一般式改為標準式，可用完全配方 (completing the square) 來處理，如範例 5 所示。,第二章函數、圖形與極限,P.2-13,範例 5完全配方,第二章函數、圖形與極限,P.2-14,描繪一般式為方程式 4x2 4y2 20 x 16y 37 0 的圓。,範例 5完全配方 （解）,首先將方程式除以 4，使得 x2 和 y2 的係數皆為 1。 從這個標準式可看出圓心為( , 2) 以及半徑為 1，如圖 2.22 所示。,第二章函數、圖形與極限,P.2-14,範例 5完全配方 （解）,第二章函數、圖形與極限,P.2-1

11、4 圖2.22,檢查站 5,寫出圓 x2 y2 4x 2y 1 0 之方程式的標準式，並繪出其圖形。,第二章函數、圖形與極限,P.2-14,圓,一般式的方程式 Ax2 Ay2 Dx Ey F 0 並非都是圓。事實上，如果完全配方後得到不可能的結果，這個方程式就沒有任何的解點。例如 (x h)2 (y k) 2 負數無解,第二章函數、圖形與極限,P.2-14,交點,兩個圖形的交點 (point of intersection) 就是這兩個圖形共同的解點。例如，圖 2.23 所示，方程式 y x2 3 和 y x 1 的圖形有兩個交點：(2, 1) 和 (1, 2)。求交點時，先令兩方程式的 y

12、值相等，然後解方程式 x2 3 x 1 以求 x 值。,第二章函數、圖形與極限,P.2-14 圖2.23,交點,交點常見的商業應用就是收支平衡分析 (break-even analysis)。一種新產品的行銷一般都需要一筆期初投資。當售出的量足夠使總收入抵銷總成本時，產品的銷售就達到收支平衡點 (break-even point)。以 C 來表示生產 x 單位產品的總成本 (total cost)，以 R 表示銷售 x 單位產品的總收入 (total revenue)。令 C 等於 R 再求解 x 值就可得收支平衡點。,第二章函數、圖形與極限,P.2-14,範例 6求收支平衡點,某家公司生產一

13、種產品的單位成本為 $0.65，而單位售價為 $1.20，生產此產品的期初投資為 $10,000。如果賣出 18,000 單位的產品，這家公司會收支平衡嗎？要售出多少單位才能收支平衡？,第二章函數、圖形與極限,P.2-14,範例 6求收支平衡點 （解）,生產 x 單位產品的總成本為 C 0.65x 10,000成本方程式 售出 x 單位的總收入為 R 1.2x收入方程式 令成本等於收入，解出 x 值以求得收支平衡點。,第二章函數、圖形與極限,P.2-15,範例 6求收支平衡點 （解）,所以如果只售出 18,000 單位，這家公司不會收支平衡，須售出18,182 單位才可收支平衡，由圖 2.24

14、 可看出結果。,第二章函數、圖形與極限,P.2-15,範例 6求收支平衡點 （解）,第二章函數、圖形與極限,P.2-15 圖2.24,檢查站 6,第二章函數、圖形與極限,P.2-15,在範例 6 中，如果產品的單位售價是$1.45，則公司須售出多少單位才能收支平衡？,交點,經濟學家用來分析市場的兩種應用是供給與需求方程式。供給方程式 (supply equation) 表示一種產品的價格 p 和它的供給量 x 之間的關係，供給方程式的圖形稱為供給曲線 (supply curve)(參考圖2.25)。典型的供給曲線是上升的，因為生產者會想在單價較高的時候賣出較多的產品。,第二章函數、圖形與極限,

15、P.2-15,交點,第二章函數、圖形與極限,P.2-15 圖2.25,交點,需求方程式 (demand equation) 表示一種產品的單價 p 和它的需求量 x 之間的關係，需求方程式的圖形稱為需求曲線 (demand curve)(參考圖 2.26)。典型的需求曲線傾向於單價增加時需求量就減少。,第二章函數、圖形與極限,P.2-15,交點,第二章函數、圖形與極限,P.2-15 圖2.26,交點,在理想的情況下，如果沒有其他因素影響市場的話，產量應該會固定在供給曲線和需求曲線的交點，這個點稱為平衡點(equilibrium point)，平衡點的 x 座標稱為平衡數量 (equilibri

16、um quantity)，而 p 座標稱為平衡價格 (equilibrium price)(參考圖 2.27)。只要令需求方程式等於供給方程式再求解 x，即可得平衡點。,第二章函數、圖形與極限,P.2-15,交點,第二章函數、圖形與極限,P.2-15 圖2.27,範例 7求平衡點,DVD 播放機的需求和供給方程式分別為 p = 195 5.8x 需求方程式 p = 150 + 3.2x 供給方程式 其中 p 表示單價 (美元)，而 x 表示數量 (百萬)，求市場的平衡點。,第二章函數、圖形與極限,P.2-16,範例 7求平衡點 （解）,令需求方程式等於供給方程式。 195 5.8x = 150

17、 + 3.2x 令方程式相等 45 5.8x = 3.2x 等號兩邊各減 150 45 = 9x 等號兩邊各加 5.8x 5 = x 等號兩邊各除以 9 所以平衡點發生在需求與供給皆為 5 百萬單位時 (參考圖 2.28)。此時的價格可由代入 x 5 到任一方程式而求得。,第二章函數、圖形與極限,P.2-16,範例 7求平衡點 （解）,例如，代入需求方程式可得 p 195 5.8(5) 195 29 $166 代入 x5 到供給方程式也會得到同樣的價格。,第二章函數、圖形與極限,P.2-16,檢查站 7,計算機的需求與供給方程式分別為 p 136 3.5x 和 p 112 2.5x，其中 p

18、表示單價 (美元)，而 x 表示數量 (百萬)，求市場的平衡點。,第二章函數、圖形與極限,P.2-16,數學模型,本書將可看到很多使用方程式做為實際生活問題的數學模型(mathematical models) 的例子。在發展用來表示實際資料的數學模型時，應該朝向兩個 (通常是互相牴觸的) 目標準確和簡易。,第二章函數、圖形與極限,P.2-16,範例 8數學模型的使用,下表顯示從 2001 到 2005 年 Dillards 和 Kohls 公司的年營業額 (百萬美元)。在 2006 年夏天，Value Line 預測 2006 年兩家公司年營業額分別為 7625 和 15,400 (百萬美元)

19、。這些預測是如何得到的？(資料來源：Dillards 和 Kohls 公司),第二章函數、圖形與極限,P.2-16,範例 8數學模型的使用 （解）,第二章函數、圖形與極限,P.2-17,這些預測是用過去的營收來推測未來的營業額所得到的。過去的營收用一個方程式來做模型，而這個方程式是由一種統計學的最小平方迴歸分析方法所得到的。 S = 56.57t2 496.6t + 8618, 1 t 5 Dillards S = 28.36t2 1270.6t 6275, 1 t 5 Kohls,範例 8數學模型的使用 （解）,用 t 6 表示 2006 年，則可推測 2006 年營收為 S = 56.57(6)2 496.6(6) + 861