初中数学二次函数的应用(二)

1、. 二次函数的应用目标指引 1运用二次函数的知识去分析问题、解决问题，并在运用中体会二次函数的实际意义 2体会利用二次函数的最值方面的性质解决一些实际问题 3经历把实际问题的解决转化为数学问题的解决的过程，学会运用这种“转化”的数学思想方法要点讲解 1在具体问题中经历数量关系的变化规律的过程，运用二次函数的相关知识解决简单的实际问题，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型 2运用函数思想求最值和数形结合的思想方法研究问题学法指导 1当涉及最值问题时，应运用二次函数的性质选取合适的变量，建立目标函数，再求该目标函数的最值，求最值时应注意两点：（1）变量的取值范围；（2）求最值时，宜用配方

2、法 2有关最大值或最小值的应用题，关键是列出函数解析式，再利用函数最值的知识求函数值，并根据问题的实际情况作答例题分析 【例1】如图，在abc中，b=90，ab=6cm，bc=12cm，点p从点a开始，沿着ab向点b以1cm/s的速度移动；点q从点b开始，沿bc边向点c以2cm/s的速度移动，设p，q同时出发，问： （1）经过几秒后p，q的距离最短？（2）经过几秒后pbq的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】这是一个动点问题，也是一个最值问题，设经过ts，显然ap和bq的长度分别为ap=t，bq=2t（0t6）pq的距离pq=因此，只需求出被开方式5t精品.212t+36的最小值，就可以求p，

3、q的最短距离 【解】（1）设经过ts后p，q的距离最短，则： pq= 经过s后，p，q的距离最短 （2）设pbq的面积为s， 则s=bpbq=（6t）2t=6tt2=9（t3）2 当t=3时，s取得最大值，最大值为9 即经过3s后，pbq的面积最大，最大面积为9cm2 【注意】对于动点问题，一般采用“以静制动”的方法，抓住某个静止状态，寻找等量关系在求最值时，可用配方法或公式法，同时取值时要注意自变量的取值范围 【例2】某高科技发展公司投资1500万元，成功研制出一种市场需求较大的高科技替代产品，并投入资金500万元进行批量生产已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为1

4、00元时，年销售量为20万件；销售单价若增加10元，年销售量将减少1万件设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利额（年获利额=年销售额生产成本投资）为z（万元） （1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （2）试写出z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （3）计算销售单价为160元时的年获利额，并说明：得到同样的年获利额，销售单价还可以定为多少元？相应的年销量分别为多少万件？ （4）公司计划：在第一年按年获利额最大时确定的销售单价进行销售；第二年的年获利额不低于1130万元，请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围？ 【分析

5、】本题以传统的经济活动中的利润、销售决策问题为背景，设计成数学应用题，引导学生主动关心和参与日常生活中的经济活动，把实际问题抽象成数学问题，运用函数性质和方程知识来解题精品. 【解】（1）依题意知：当销售单价定为x元时，年销量减少（x100）万件 y=20（x100）=x+30 即y与x之间的函数关系式是y=x+30 （2）由题意可得： z=（30x）（x40）5001500=x2+34x3200 即z与x之间的函数关系式为z=x2+34x3200 （3）当x=160时， z=1602+341603200=320， 320=x2+34x3200， 即x2340x+28800=0 由x1+x2=

6、得，160+x=340，x=180 即得到同样的年获利额，销售单价还可以定为180元 当x=160时，y=160+30=14， 当x=180时，y=180+30=12 所以相应的年销售量分别为14万件和12万件 （4）z=x2+34x3200=（x170）2310， 当x=170时，z取得最大值为310 即当销售单价为170元时，年获利额最大，并且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资 第二年的销售单价定为x元时，则年获利额为： z=（30x）（x40）310=x2+34x1510精品. 当z=1130时，即1130=x2+34x1510， 解得x1=120，x2=220函数z=x2+

7、34x1510的大致图象如图所示 由图象可看出： 当120x220时，z1130 第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内练习提升一、基础训练1函数y=的最大值是_2炮弹从炮口射出后飞行的高度h（米）与飞行的时间t（秒）之间的函数关系式为h=v0tsin5t2，其中v是发射的初速度，是炮弹的发射角，当v0=300米/秒，=30时，炮弹飞行的最大高度为_米，该炮弹在空中飞行了_秒落到地面上3如图，某涵洞呈抛物线形，现测得水面宽ab=1.6米时，涵洞顶点o到水面的距离为2.4米，在图中的直角坐标系中，涵洞所在抛物线的函数关系式为_ 4如图，直角三角形aob中，abob，且ab

8、=ob=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为s，则s与t之间的函数关系的图象为（ ）精品.5如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽4米，顶部距地面的高度为4.4米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4米，该车要想通过此门，装货后的最大高度应小于（ ）a2.80米 b2.816米 c2.82米 d2.826米6如图，今有网球从斜坡oa的点o处抛出，网球的抛物路线的函数关系是y=4xx2，斜坡的函数关系是y=x2，其中y是垂直高度，x是与点o的水平距离 （1）求网球到达的最高点的坐标； （2）网球落在斜坡上的点a处，写出点a的坐标7某水果批发商销售每箱进价为40元

9、的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱 （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；精品. （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？8如图所示，一位运动员在距篮圈4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m （1）建立如图所示的坐标系，求抛物线的解析式；（2）该

10、运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问球出手时，他跳离地面的高度是多少？二、提高训练9如图，图中四个函数的图象分别对应的解析式是y=ax2；y=bx2；y=cx2；y=dx2则a，b，c，d的大小关系为（ ） aabcd bacbcbd ddcba 10为备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12m处挑射，正好射中了24m高的球门横梁，若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c（如图）有下列结论：a+b+c0；精品.a0；0b12a其中正确的结论是（ ） a b c d11如图，在矩形abcd中，ab=6cm，bc=12cm，点p从点a出发，沿ab边

11、向点b以1cm/s的速度移动，同时点q从点b出发沿bc向点c以2cm/s的速度移动，回答下列问题： （1）设运动后开始第t秒时，五边形apqcd的面积为s（单位：厘米2），写出s与t之间的函数关系式，并求出自变量t的取值范围；（2）t为何值时s最小？并求出s的最小值12如图，有一边长为5cm的正方形abcd和等腰pqr，pq=pr=5cm，qr=8cm，点b，c，q，r在同一直线l上，当c，q两点重合时，等腰pqr以1cm/s的速度沿直线l按箭头方向开始匀速运动，t秒后正方形abcd与等腰pqr重合部分的面积为s（单位：cm2） （1）当t=3s时，求s的值； （2）当t=5s时，求s的值；（

12、3）当5t8时，求s与t之间的函数关系式，并求出s的最大值精品.13如图，甲船位于乙船的正西方向26km处，现甲、乙两船同时出发，甲船以每小时12km的速度朝正北方向行驶，乙船以每小时5km的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？三、拓展训练14如图，在直角梯形abcd中，a=d=90，截取ae=bf=dg=x，已知ab=6，cd=3，ad=4，求： （1）四边形cgef的面积s关于x的函数关系式和x的取值范围； （2）面积s是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；精品. （3）当x为何值时，s的数值等于x的4倍？答案:1 21125，30 3y=3.75x2 4d 5b 6（1）（4，8） （2）a（7，） 7（1）y=3x+240 （2）w=3x2+360x9600 （3）当每箱定价为55元时，可获利大