第3章+概率、概率分布与抽样分布.ppt

1、第3章 概率、概率分布与抽样分布,3.1 事件及其概率,3.1.1 试验、事件与样本空间 3.1.2 事件的概率 3.1.3 概率的性质与运算法则 3.1.4 条件概率与事件的独立性 3.1.5 全概率公式与逆概率公式,3.1.1 试验、事件与样本空间,必然现象与随机现象,必然现象（确定性现象） 变化结果是事先可以确定的，一定的条件必然导致某一结果 这种关系通常可以用公式或定律来表示 随机现象（偶然现象、不确定现象） 在一定条件下可能发生也可能不发生的现象 个别观察的结果完全是偶然的、随机会而定 大量观察的结果会呈现出某种规律性 （随机性中寓含着规律性） 统计规律性,十五的夜晚能看见月亮？,十

2、五的月亮比初十圆！,随机试验,严格意义上的随机试验满足三个条件： 试验可以在系统条件下重复进行； 试验的所有可能结果是明确可知的； 每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。 广义的随机试验是指对随机现象的观察（或实验）。 实际应用中多数试验不能同时满足上述条件，常常从广义角度来理解。,随机事件（事件）,随机事件（简称事件） 随机试验的每一个可能结果 常用大写英文字母A、B、 、来表示 基本事件（样本点） 不可能再分成为两个或更多事件的事件 样本空间（） 基本事件的全体（全集）,随机事件（续）,复合事件 由某些基本事件组合而成的事件 样本空间中的子集 随机事件的两种特例 必然事件 在一定条件下，每次

3、试验都必然发生的事件 只有样本空间 才是必然事件 不可能事件 在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件 不可能事件是一个空集（）,3.1.2 事件的概率,1. 古典概率 2. 统计概率 3. 主观概率,随机事件的概率,概率 用来度量随机事件发生的可能性大小的数值 必然事件的概率为1，表示为P ( )=1 不可能事件发生的可能性是零，P( )=0 随机事件A的概率介于0和1之间，0P(A)1 概率的三种定义，给出了确定随机事件概率的三条途经。,1.概率的古典定义,古典概型（等可能概型） 具有以下两特点 每次试验的可能结果有限（即样本空间中基本事件总数有限） 每个试验结果出现的可能性相同 它是概

4、率论的发展过程中人们最早研究的对象,概率的古典定义,概率的古典定义 前提：古典概型 定义（公式）,计算古典概率常用到排列组合知识,【例3-1】,设有50件产品，其中有5件次品，现从这50件中任取2件，求抽到的两件产品均为合格品的概率是多少？抽到的两件产品均为次品的概率又是多少？ 解：任一件被抽到的机会均等，而且从50件产品中抽出2件相当于从50个元素中取2个进行组合，共有C502种可能，所以这是一个古典概型。,概率的统计定义,当试验次数 n 很大时，事件A发生频率m/n 稳定地在某一常数 p 上下波动，而且这种波动的幅度一般会随着试验次数增加而缩小，则定义 p 为事件A发生的概率,当n相当大时

5、，可用事件发生的频率m/n作为其概率的一个近似值计算概率的统计方法（频率方法）,例（补充）,根据古典概率定义可算出，抛一枚质地均匀的硬币，出现正面与出现反面的概率都是0.5。历史上有很多人都曾经做过抛硬币试验。,【例3-2】,某地区几年来新生儿性别的统计资料如下表所示，由此可判断该地区新生儿为男婴的概率是多少？,3. 主观概率,有些随机事件发生的可能性，既不能通过等可能事件个数来计算，也不能根据大量重复试验的频率来近似 主观概率依据人们的主观判断而估计的随机事件发生的可能性大小 例如某经理认为新产品畅销的可能性是80 人们的经验、专业知识、对事件发生的众多条件或影响因素的分析等等，都是确定主观

6、概率的依据,3.1.3 概率的基本性质,非负性： 对任意事件A，有 0 P(A) 1。 规范性： 必然事件的概率为1，即： P()=1 不可能事件的概率为0 ，即：P()=0。 可加性： 若A与B互斥，则：P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) 对于多个两两互斥事件A1，A2，An，则有： P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ) 上述三条基本性质，也称为概率的三条公理。,(补充）关于概率的公理化定义,概率的以上三种定义，各有其特定的应用范围，也存在局限性，都缺乏严密性。 古典定义要求试验的基本事件有限且具有等可能性 统计定义

7、要求试验次数充分大，但试验次数究竟应该取多大、频率与概率有多么接近都没有确切说明 主观概率的确定又具有主观随意性 苏联数学家柯尔莫哥洛夫于1933年提出了概率的公理化定义:三条公理 通过规定应具备的基本性质来定义概率 公理化定义为概率论严谨的逻辑推理打下了坚实的基础。,1. 加法公式,用于求P(AB)“A发生或B发生”的概率 互斥事件（互不相容事件） 不可能同时发生的事件 没有公共样本点,P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ),互斥事件的加法公式,P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ),【例3-3】,设有50件产品，其中有5

8、件次品，现从这50件中任取2件，若问至少抽到一件次品的概率？ 解：“至少抽到一件次品”这一事件实质上就是“抽取的2件产品中有一件次品”（记为A）与“抽取的两件产品均为次品”（记为B）这两个事件的和。由于A与B是两个互斥事件，故计算 “至少抽到一件次品”的概率采用公式： P(AB) =P(A)+P(B),互补事件,互补事件 不可能同时发生而又必然有一个会发生的两个事件 互补事件的概率之和等于1,A,A,例如：掷一个骰子，“出现2点”的概率是1/6，则“不出现2点”的概率就是5/6 。,相容事件的加法公式,相容事件 两个事件有可能同时发生 存在公共样本点 相容事件的加法公式 （广义加法公式 ）,P

9、 ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ),事件的积（交）AB,事件的和（并）,【例3-4】,将分别写有0至9这十个号码的小球装入一容器中，反复搅拌之后任意摇出一个小球，观察其号码。试求出现“奇数或大于等于4的数”的概率。 解：所求事件 奇数(A)大于等于4的数(B) 0,1,2,3,9，A1,3,5,7,9，B4,5,6,7,8,9 由于等可能性，P(A)=5/10, P(B) =6/10。P(A)+P(B) 1 ,显然P(AB) P(A)P(B) 因为A和B存在共同部分AB5,7,9，P(AB)3/10。在P(A)+P(B) 中P(AB) 被重复计算了。

10、正确计算是： P(AB)5/106/103/108/100.8,3.1.4 条件概率与事件的独立性,用于计算两个事件同时发生的概率。 也即 “A发生且B发生”的概率 P(AB) 先关注事件是否相互独立,（1）条件概率,条件概率在某些附加条件下计算的概率 在已知事件B已经发生的条件下A发生的条件概率P(A|B) 条件概率的一般公式：,其中 P(B) 0,【例3-5】,某公司甲乙两厂生产同种产品。甲厂生产400件，其中一级品为280件；乙厂生产600件，其中一级品有360件。若要从该厂的全部产品中任意抽取一件，试求：已知抽出产品为一级品的条件下该产品出自甲厂的概率；已知抽出产品出自甲厂的条件下该产

11、品为一级品的概率。 解：设A“甲厂产品”，B“一级品”，则： P(A)0.4， P(B) 0.64，P(AB)0.28 所求概率为事件B发生条件下A发生的条件概率 P(A|B)0.28/0.64 所求概率为事件A发生条件下B发生的条件概率 P(B|A)0.28/0. 4,P(A|B)在B发生的所有可能结果中AB发生的概率 即在样本空间中考虑的条件概率P(A|B)，就变成在新的样本空间B中计算事件AB的概率问题了,（1）条件概率（续）,一旦事件B已发生,乘法公式的一般形式：,P(AB) P(A)P(B|A) 或 P(AB) P(B)P(A|B),【例3-6】对例3-1中的问题（从这50件中任取2

12、件产品，可以看成是分两次抽取，每次只抽取一件，不放回抽样） 解：A1第一次抽到合格品，A2第二次抽到合格品，A1A2抽到两件产品均为合格品 P(A1 A2)P(A1)P(A2| A1),事件的独立性,两个事件独立 一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率 P(A|B)P(A)，或 P(B|A)P(B),独立事件的乘法公式：,P(AB) P(A)P(B),推广到n 个独立事件，有：,P(A1An)P(A1)P(A2) P(An),3.1.5 全概率公式与逆概率公式,完备事件组 事件A1、 A2、An互不相容， AA2An 且P(Ai ) 0（i=1、2、.、n） 对任一事件B，它总是与完备

13、事件组A1、 A2、An之一同时发生，则有求P(B)的全概率公式：,例3-7,假设有一道四选一的选择题，某学生知道正确答案的可能性为2/3，他不知道正确答案时猜对的概率是1/4。试问该生作出作答的概率？ 解：设 A知道正确答案，B选择正确。 “选择正确”包括： “知道正确答案而选择正确”（即AB） “不知道正确答案但选择正确”（即 ） P(B)（2/3）1（1/3）（1/4）3/4,全概率公式贝叶斯公式,全概率公式的直观意义： 每一个Ai的发生都可能导致B出现，每一个Ai 导致B发生的概率为，因此作为结果的事件B发生的概率是各个“原因”Ai 引发的概率的总和 相反，在观察到事件B已经发生的条件

14、下，确定导致B发生的各个原因Ai的概率 贝叶斯公式（逆概率公式） （后验概率公式）,贝叶斯公式,若A1、 A2、An为完备事件组，则对于任意随机事件B，有：,计算事件Ai在给定B条件下的条件概率公式。 公式中，P(Ai)称为事件Ai的先验概率 P(Ai|B)称为事件Ai的后验概率,3.2 随机变量及其概率分布,3.2.1 随机变量,随机变量表示随机试验结果的变量 取值是随机的，事先不能确定取哪一个值 一个取值对应随机试验的一个可能结果 用大写字母如X、Y、Z.来表示，具体取值则用相应的小写字母如x、y、z来表示 根据取值特点的不同，可分为： 离散型随机变量取值可以一一列举 连续型随机变量取值不

15、能一一列举,3.2.2 离散型随机变量的概率分布,X的概率分布X的有限个可能取值为xi与其概率 pi（i=1，2，3，n）之间的对应关系。 概率分布具有如下两个基本性质： （1） pi0，i=1,2,n； （2）,离散型概率分布的表示：,概率函数：P(X= xi)= pi 分布列： 分布图,3.2.2 离散型随机变量的数学期望和方差,又称均值 描述一个随机变量的概率分布的中心位置 离散型随机变量 X的数学期望： 相当于所有可能取值以概率为权数的平均值 连续型随机变量X 的数学期望：,数学期望的主要数学性质,若k是一常数，则 E (k X) k E(X) 对于任意两个随机变量X、Y，有 E(X+

16、Y)E(X)E(Y) 若两个随机变量X、Y相互独立，则 E(XY)E(X) E(Y),2. 随机变量的方差,方差是它的各个可能取值偏离其均值的离差平方的均值，记为D(x)或2 公式： 离散型随机变量的方差： 连续型随机变量的方差：,方差和标准差（续）,标准差方差的平方根 方差和标准差都反映随机变量取值的分散程度。 它们的值越大，说明离散程度越大，其概率分布曲线越扁平。 方差的主要数学性质： 若k是一常数，则 D(k)0；D(kX)k2 D(X) 若两个随机变量X、Y相互独立，则 D(X+Y)D(X)D(Y),【例3-10】,试求优质品件数的数学期望、方差和标准差。 解：, 0.6,3.两个随机

17、变量的协方差和相关系数,协方差的定义,如果X,Y独立（不相关），则 Cov(X,Y)0 即 E(XY)E(X) E(Y) 协方差在一定程度上反映了X、Y之间的相关性 协方差受两个变量本身量纲的影响。,相关系数,相关系数具有如下的性质： 相关系数是一个无量纲的值 0| | 0 当=0，两个变量不相关（不存在线性相关） 当 | |=1，两个变量完全线性相关,3.2.4 几种常见离散型率分布,1. 二项分布 2. 泊松分布 3. 超几何分布,1. 二项分布（背景）,（背景）n重贝努里试验： 一次试验只有两种可能结果 用“成功”代表所关心的结果，相反的结果为“失败” 每次试验中“成功”的概率都是 p

18、n 次试验相互独立。,1. 二项分布,在n重贝努里试验中，“成功”的次数X服从参数为n、p的二项分布，记为 X B(n , p) 二项分布的概率函数：,二项分布的数学期望和方差：,n1时，二项分布就成了二点分布（0-1分布）,二项分布图形,p0.5时，二项分布是以均值为中心对称 p0.5时，二项分布总是非对称的 p0.5时峰值在中心的右侧 随着n无限增大，二项分布趋近于正态分布,p=0.3,p=0.5,p=0.7,二项分布图示,【例3-11】,某单位有4辆汽车，假设每辆车在一年中至多只发生一次损失且损失的概率为0.1。试求在一年内该单位：（1）没有汽车发生损失的概率；（2）有1辆汽车发生损失的

19、概率；（3）发生损失的汽车不超过2辆的概率。 解：每辆汽车是否发生损失相互独立的，且损失的概率相同，因此，据题意，在4辆汽车中发生损失的汽车数X B(4,0.1)。,利用Excel计算二项分布概率,进入Excel表格界面，点击任一空白单元格（作为输出单元格） 点击表格界面上的 fx 命令 在 “选择类别”中点击“统计”，在“选择函数”中点击“BINOMDIST” 在Number_s后填入试验成功次数 x (本例为2)； 在Trials后填入总试验次数 n (本例为4) ； 在Probability_s后填入成功概率 p (本例为0.1)； 在Cumulative后填入0 (或FALSE)，表示

20、计算成功次数等于指定值的概率,“BINOMDIST（2，4，0.1，0）”,用EXCEL计算二项分布的概率,2. 泊松分布,X 服从泊松分布，记为XP(）:,E(X)=D(X)= 当 很小时，泊松分布呈偏态，并随着增大而趋于对称 当为整数时， 和（-1）是最可能值,泊松分布（应用背景）,通常是作为稀有事件发生次数X的概率分布模型。 一段时间内某繁忙十字路口发生交通事故的次数 一定时间段内某电话交换台接到的电话呼叫次数 服从泊松分布的现象的共同特征 在任意两个很小的时间或空间区间内事件发生次数是相互独立的； 各区间内事件发生次数只与区间长度成比例，与区间起点无关； 在一段充分小的区间内事件发生两

21、次或两次以上的概率可以忽略不计,【例3-12】,设某种报刊的每版上错别字个数服从 =2的泊松分布。随机翻看一版，求： （1）没有错别字的概率； （2）至多有5个错别字的概率。 解：设X每版上错别字个数，则所求概率为：,利用EXCEL计算泊松分布的概率,二项分布的泊松近似,【前提】当n很大而 p又很小时，二项分布可用参数np 的泊松分布近似 【例3-13】一工厂有某种设备80台，配备了3个维修工。假设每台设备的维修只需要一个维修工，设备发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01。求设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？ 解：XB(n=80，p=0.01)，由于np=0.8很小，

22、可以用0.8的泊松分布来近似计算其概率:,3. 超几何分布,N个单位的有限总体中有M个单位具有某特征。用不重复抽样方法从总体中抽取n个单位，样本中具有某种特征的单位数X服从超几何分布，记为XH(n,N,M ),数学期望和方差:,N很大而n相对很小时，趋于二项分布(p=M/N),3.2.5 概率密度函数与连续型随机变量,连续型随机变量的概率分布只能表示为： 数学函数概率密度函数f (x)和分布函数F (x) 图 形概率密度曲线和分布函数曲线 概率密度函数f (x)的函数值不是概率。 连续型随机变量取某个特定值的概率等于0 只能计算随机变量落在一定区间内的概率 由x轴以上、概率密度曲线下方面积来表

23、示,概率密度f (x) 的性质,（1） f (x)0。概率密度是非负函数。 （2）,所有区域上取值的概率总和为1。,随机变量X在一定区间（a，b）上的概率：,3. 分布函数,适用于两类随机变量概率分布的描述 分布函数的定义： F(x)PXx,连续型随机变量的分布函数,离散型随机变量的分布函数 F(x),分布函数与概率密度,3.2.6 常见的连续型随机变量的概率分布,1. 均匀分布 X只在一有限区间 a，b 上取值 且概率密度是一个常数 其概率密度为：,X 落在子区间 c，d 内的概率与该子区间的长度成正比，与具体位置无关,P(cXd),2. 正态分布,XN (、 2 )，其概率密度为：,正态分

24、布的均值和标准差: 均值 E(X) = 方差 D(X)= 2,- x ,2. 正态曲线,正态曲线的主要特性: 关于x = 对称的钟形曲线 参数决定正态曲线的中心位置 参数 决定正态曲线的陡峭或扁平程度 以X轴为渐近线，即当x 时，f(x) 0,标准正态分布,0、1的正态分布，记为N (0, 1) 其概率密度(x)，分布函数 (x) XN (、 2 ), 则 ： ZN (0，1 ),若 ZN (0，1 )，则有： P（| Z| a）2(a)1 (-a)=1(a),标准化,【例3-14】,某厂生产的某种节能灯管的使用寿命服从正态分布，对某批产品测试的结果，平均使用寿命为1050小时，标准差为200

25、小时。试求： （a）使用寿命在500小时以下的灯管占多大比例？ （b）使用寿命在8501450小时的灯管占多大比例？ （c）以均值为中心，95的灯管的使用寿命在什么范围内？,解,X使用寿命，XN (1050，2002 ),(2)(-1)0.977250.158650.8186,95的灯管寿命在均值左右392（即6581442）小时,1(2.75)10.997020.00298,3 原则,|X| 3 的概率很小，因此可认为正态随机变量的取值几乎全部集中在 - 3，+ 3 区间内 广泛应用: 产品质量控制 判断异常情况 ,正态分布最常用、最重要,大千世界中许多常见的随机现象服从或近似服从正态分布

26、例如，测量误差，同龄人的身高、体重，一批棉纱的抗拉强度，一种设备的使用寿命，农作物的产量 特点是 “中间多两头少” 由于正态分布特有的数学性质，正态分布在很多统计理论中都占有十分重要的地位 正态分布是许多概率分布的极限分布 统计推断中许多重要的分布（如2分布、t分布、F分布）都是在正态分布的基础上推导出来的。,用正态分布近似二项分布,XB (n，p) ，当n充分大时， XN (n p，np(1-p) 【例3-15】假设有一批种子的发芽率为0.7。现有这种种子1000颗，试求其中有720颗以上发芽的概率。 解：设X发芽种子颗数，XB(1000，0.7)。近似地 XN (700，210)。 P(X

27、720)P(Z1.38)1P(Z1.38) 10.91620.0838,用正态分布近似二项分布,用正态分布近似二项分布的前提 n很大， p不能太接近 0 或 1（否则二项分布太偏） 一般要求np和np(1-p)都要大于5 如果np或np(1-p)小于5，二项分布可以用泊松分布来近似,计算正态分布的概率值,方法一：先标准化查标准正态分布函数值表 方法二：利用Excel来计算（不必标准化） 插入函数fx选择“统计”“NORMDIST”，进入“函数参数”对话框中， 在X后填入正态随机变量的取值区间点； 在Mean后填入正态分布的均值； 在Standard_dev后填入正态分布的标准差； 在Cumul

28、ative后填入1(或TRUE)，表示计算随机变量取值小于等于指定值x的累积概率值。,也可在选定的输出单元格中，顺次输入函数名和参数值即可 如输入“=NORMDIST(500,1050,200,1)”，确定后即可得到所求概率值0.0029798。 根据概率值F(Xx)求随机变量取值的区间点 x，选择函数“NORMINV”。 如输入“=NORMINV(0.0029798,1050,200)”,显示计算结果为500。,计算正态分布的概率值,3.3 常用的抽样方法,3.3.1 简单随机抽样 3.3.2 分层抽样 3.3.3 系统抽样 3.3.4 整群抽样,抽样方法,概率抽样(probability

29、sampling),根据一个已知的概率来抽取样本单位，也称随机抽样 特点 按一定的概率以随机原则抽取样本 抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中 每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的 当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率,简单随机抽样(simple random sampling),从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，使得每一个容量为样本都有相同的机会(概率)被抽中 抽取元素的具体方法有重复抽样和不重复抽样 特点 简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本 用样本统计量对目标量进行估计比较方便 局限性 当N很大时，不易构造抽样框 抽出的单位

30、很分散，给实施调查增加了困难 没有利用其他辅助信息以提高估计的效率,分层抽样(stratified sampling),将总体单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本 优点 保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度 组织实施调查方便 既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计,3.3.3系统抽样(systematic sampling),将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其他样本单位 先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k

31、，r+2k等单位 优点：操作简便，可提高估计的精度 缺点：对估计量方差的估计比较困难,3.3.4 整群抽样(cluster sampling),将总体中若干个单位合并为组(群),抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查 特点 抽样时只需群的抽样框，可简化工作量 调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施 缺点是估计的精度较差,3.4 抽样分布,3.4.1 抽样分布的概念 3.4.2 样本均值抽样分布 3.4.3 样本比率抽样分布 3.4.4 样本方差抽样分布 3.4.5 两个样本统计量的分布,样本统计量的概率分布，是一种理论分布 在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有

32、可能取值形成的相对频数分布 随机变量是 样本统计量 样本均值, 样本比例，样本方差等 结果来自容量相同的所有可能样本 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据,3.4.1 抽样分布 (sampling distribution),抽样分布的形成过程 (sampling distribution),在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布 一种理论概率分布 推断总体均值的理论基础,样本均值的抽样分布,样本均值的抽样分布(例题分析),【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位数N=4。4 个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=