北京东城区2018-2019届高三第二次统练数学试卷及答案(理科)

1、.北京市东城区 2018-2019 学年度第二学期高三综合练习（二）2019.5数学（理科）本试卷共 4 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分 （选择题共 40 分）一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（ 1）已知集合 A 2,1,0,1,2, B x x2x20 ，则 A I eR B(A) 2(B)0，1(C)2,1,2(D) 1,0 ,1, 2（ 2）执行如图所示的程序框图，输入a2, b5，那么输出的 a, b 的值分别为（ A ） 7

2、 ， 3（ B） 3 ， 3（ C） 5 ， 3（ D） 5 ， 2buuurmuuur若三点共（ 3）已知向量 a 与不共线，且ABab (m1) ， ACna b.A, B,C线，则实数 m, n 满足的条件为(A)m n1(B)mn1(C)mn1(D) mn1（ 4）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作.右图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片， 下图是其中一个构件的三视图 （单位： mm ），则此构件的体积为（ A ） 34000mm 3（ B）33000mm 3（ C）32000mm 3（ D） 30000mm 3.（ 5）已知 Sn 是等差数

3、列an 的前 n 项和，则“ Snnan 对 n 2 恒成立”是“ a3 a4 ”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件（ 6）教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3 本相同的论语、6 本互不相同的近代文学名著，现从这9 本书中选出 3 本，则不同的选法种数为(A) 84(B) 42(C)41(D) 35（ 7） 已知正方体 ABCDA1B1C1 D1 的棱长为 2 ， P 是底面 ABCD 上的动点， PA PC1 ，则满足条件的点P 构成的图形的面积等于1(B)(C) 47(A)4(D)242（ 8）在交通工程学中，常作如下定义

4、：交通流量 Q （辆 / 小时）：单位时间内通过某一道路横断面的车辆数；车流速度 V （千米 /小时）：单位时间内车流平均行驶的距离；车流密度 K （辆 /千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数.一般的，V 和 K 满足一个线性关系：V =v0 (1K ) （其中 v0 , k0 是正数），则以下说法正确的是k0(A) 随着车流密度的增大，车流速度在逐渐增大(B) 随着车流密度的增大，交通流量在逐渐增大(C) 随着车流速度的增大，交通流量先减小、后增大(D) 随着车流速度的增大，交通流量先增大、后减小第二部分 （非选择题共 110 分）二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。（

5、 9 ）已知复数z1iZ ，则 Z 关于虚轴对称的点位于第象限 .在复平面内对应的点为2i（ 10 ）已知 alog 2 6， blog 515，若 alog 3 mb ， mN ，则满足条件的m 可以为 _.22（ 11）椭圆xy: 4b21Cy xCCP1, P , P , P .C1与曲线2关于直线对称，1与2 分别在第一、 二、三、四象限交于点234.若四边形1 2 3 4 的面积为 4，则点1的坐标为 _, C 的离心率为 _PP P PP1（ 12）将函数 ysin 2x3 cos2x 的图象向左平移个单位长度，得到函数 yg ( x) 的图象，则5) =.g(66x0,（ 13）

6、设关于 x, y 的不等式组2xy0,表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则m 的取值范围是.mxy10（ 14）已知函数 f ( x)，对于任意实数 xa,b ，当 ax0 b 时，记 | f ( x)f ( x0 ) | 的最大值为 D a, b ( x0 ) .若 f (x) (x1)2 ，则 D0,3(2)；若 f (x)x22x,x0,1)的取值范围是.x1 ,x则 D a, a 2 (20,三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（ 15）（本小题13 分）如图，在四边形ABCD 中 ， AC7 , CD 2 AD , ADC2 .CAD 的正弦值

7、；3（）求（） 若BAC 2CAD ，且 ABC 的面积是 ACD 面积的4 倍，求 AB 的长 .（ 16）（本小题13 分）某工厂的机器上有一种易损元件A ，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修.工厂规定当日损坏的元件 A 在次日早上8： 30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A 的维修工作 .每个工人独立维修 A 元件需要时间相同.维修处记录了某月从1 日到 20 日每天维修元件A 的个数，具体数据如下表：日期1 日2 日3 日4 日5 日6 日7 日8 日9 日10 日元件 A 个数91512181218992412日期11 日12 日13 日14 日

8、15 日16 日17 日18 日19 日20 日元件 A 个数12241515151215151524从这 20 天中随机选取一天，随机变量X 表示在维修处该天元件A 的维修个数 .（）求 X 的分布列与数学期望；（）若 a,bN ，且 ba6 ，求 P(aXb) 最大值；（）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A 的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）.（ 17）（本小题 14分）如图，四边形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直，ABCD，BC，DAB60o，AD4，ABABAEDE ， AEDE ，平面 ABE 与平面 CDE 交

9、于 EF （）求证： CD P EF ；（）若 EFCD ，求二面角 A-BC-F 余弦值；（）在线段 BC 上是否存在点M 使得 AMEM ？若存在，求 BM 的长；若不存在，说明理由（ 18）（本小题 13分）已知点 P 1,2到抛物线 C : y22 pxp 0 准线的距离为 2.（）求 C 的方程及焦点F 的坐标；（）设点 P 关于原点 O 的对称点为点 Q ，过点 Q 作不经过点 O 的直线与 C 交于两点 A, B ，直线 PA, PB 分别交 x 轴于 M , N 两点 . 求 MFNF 的值 .（ 19）（本小题 14分）已知函数 f ( x)xsin x （）求曲线 yf (

10、x) 在点 ( , f () 处的切线方程；22（）若不等式f ( x)axcos x 在区间 0,a 的取值范围 上恒成立，求实数2（ 20）（本小题13 分）a11a12La1nnna21a22L a2 n，n若行列的数表(n2) 满足： aij(i，j1，2，L ，n) ，aikm (i12，L ，n,0mn) ，MMM0 1k1an1an2Lannna jk0 (i, j1,2,L, n, ij )，记这样 的 一个数表为.对 于记集合aiknnk 1A (m)A (m),nT (n, m)ijijaika jk， 1ijn , i , jN. T ( n, m) 表示集合 T (n,

11、 m) 中元素的个数 .k 1110（）已知 A3 (2)011 , 写出ij(1ij3 ， i , j N ) 的值；101.（）是否存在数表A4 (2) 满足 T (4，2)1？若存在，求出A4 (2) ，若不存在，说明理由；（）对于数表An (m)(0mn, mN ) ，求证：T (n,m) n .2北京市东城区2018-2019 学年度第二学期高三综合练习（二）2019.5数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共 40分）（ 1） A（ 2）D（ 3） C（ 4）C（ 5） C（ 6）B（7） A（ 8）D二、填空题（共6 小题，每小题5 分，共 30分）

12、（ 9）四（ 10） 9（答案不唯一）（ 11）6（12）31,13（ 13）1（ 14） 31,42,0 U ( , )2三、解答题（共6 小题，共 80 分）（ 15）（共 13 分）解：（）x( x0) ，在 ACD 中，设 AD由余弦定理得 7=x24x22x2 x cos2，3整理得 7x27 ，解得 x1 .所以 AD1,CD2.由正弦定理得DCAC，解得 sin DAC21 .6 分sinDACsin273（）由已知得 S ABC4S ACD ，所以1 AB AC sinBAC 41 ADAC sin CAD ，22.化简得 AB sinBAC4AD sinCAD .AB 2si

13、nCAD cosCAD4AD sinCAD ,所以于是 AB cosCAD2AD.21因为 sinCAD7，且CAD为锐角，所以 cosCAD1sin2CAD2 7.7因此 AB7.13 分（ 16）（共 13 分）解：（）由题意可知，X 的所有可能取值为9,12,15,18,24，且 P( X9)35； P( X7； P( X12)15)；202020P( X18)2； P( X32024).20所以 X 的分布列为：X912151824P357232020202020故 X 的数学期望E( X )93572+243=15 .5 分+12+1520+1820202020（）当 P(aXb)

14、取到最大值时，a9,a12,或a18,a, b 的只可能为：15,或18,b24.bb经计算 P(9X 15)15X14， P(18X 24)5， P(1218)，202020所以 P(aXb) 的最大值为 15 = 3.10 分204（）至少增加2 人.13 分（ 17）（共 14 分）.解：（）在四边形ABCD 中， AB CD 因为 AB平面 ABE ， CD平面 ABE ，所以 CD 平面 ABE 因为 CD平面 CDE ，且平面ABE I 平面 CDEEF ，所以 CD EF .4 分（）如图，取AD 的中点 N ，连接 BN ， EN . 在等腰 ADE 中， ENAN .因为平面

15、 ADE平面 ABCD ，交线为AD ，又 ENAD ，所以 EN平面 ABCD .所以 ENBN .由题意易得ANBN.如图建立空间直角坐标系Nxyz，则N (0,0,0), A(2,0,0)， B(0, 23,0) ， C ( 3,3,0) ，D (2,0,0) ， E (0,0,2)因为 EFCD ，所以 F (1,3,2).设平面 BCF 的法向量为 nuuuruuur( x, y, z)，BF ( 1,3,2), BC ( 3, 3,0),nuuur0,x3y2z0,BF则uuur即3x3y0.nBC0,令 y3，则 x1,z1于是 n(1, 3,1)uuur(0,0, 2) ，又平

16、面 ABCD 的法向量为 NEuuuruuur5n NE所以 cos n, NEuuur5n NE由题知二面角A-BC-F 为锐角，所以二面角 A-BC -F 的余弦值为5.9 分.5（）不存在满足条件的点M ，使 AMEM ，理由如下：若 AMuuuuruuuurEM ，则 EMAM 0 uuuuruuur因为点 M 为线段 BC 上的动点，设 CMtCB(0 t 1), ， M (u, v,0) .则 (u 3, v3,0)t(3,3,0) ，解得 M (3t3,3+3t,0) uuuur(3t3,33t ,uuuur(3t5,33t ,0) 所以 EM2) ， AMuuuuur uuuu

17、r(3t3,33t , 2) (3t 5,33t ,0)=0 所以 EM AM整理得 2t 23t30 ，此方程无实根所以线段BC 上不存在点 M ，使 AMEM .14 分（ 18）（共 13 分）解：（）由已知得 1p2 ，所以 p2.2所以抛物线 C 的方程为 y24x ，焦点 F 的坐标为 1,0 .4 分（ II ）设点 A( x1, y1 ) , B(x2 , y2 ) ，由已知得 Q ( 1,2) ，由题意直线 AB斜率存在且不为0.设直线 AB 的方程为 yk x12(k0) .2y4x，2由得 ky4 y4k80 ，则 y1 y24 , y1 y248 .kk因为点 A, B

18、 在抛物线C 上，所以 y124x1 ， y224x2 ，y12y124， kPBy224kPA1y12y1x21 y2.x11224因为 PFx 轴，所以 MFNFPFPF4y12y2 2kPAkPBkPAkPB4y1 y22 y1y244884k k2 .44.所以 MFNF 的值为 2.13 分（ 19）（共 14 分）解：（）因为所以f (x)xsin x ，f ( x)1cos x， f ( )1， f ( )1 ，222所以曲线 yf ( x) 在点 (, f( ) 处的切线方程为yx 1.5分22（）因为 x0, ，所以 sin x0 ， cosx0 ，2当 a0 时， f (

19、x)x sin x0 恒成立， axcosx0恒成立，所以不等式f ( x)ax cosx 在区间 0, 上恒成立 .2当 a0 时，设 g( x) f (x)ax cos xxsin xax cos x ，g (x)1cos xa cosxaxsin x1 (1a)cos xaxsin x ，若 0a1 ， (1a)cos x0 ， axsin x0 ，所以 g ( x)0在区间 0, 上恒成立；2若 1a2，11a0 ，1 (1 a)cos x 0， axsin x 0 ，所以 g ( x)0 在区间 0, 上恒成立；2所以 g (x) 在区间 0, 上单调递增，g( x) ming(0)

20、0,2所以当 a2 时，不等式f ( x)ax cosx 在区间 0, 上恒成立；2当 a2 时，令 h( x)g ( x)1(1a)cos xaxsin x ，h (x)(2 a1)sin xax cosx ， h ( x)0 在区间 0, 上恒成立，2所以 g ( x) 在区间 0, 上单调递增，g ( x)ming (0)2 a 0 ， g ( x)maxg ( )1 a0 ，222所以存在 x00, ，使得 g (x0 )0 .2当 0xx0 时， g (x) 0 ， g( x) 单调递减；.当 x0x2时， g ( x)0 ， g( x) 单调递增；当 xx0 时， g ( x)0 ， g(x) 取得极小值；而 g (0) 0 ，所以 g( x0 ) 0 ，所以不等式g(x) 0 在区间 0, 上不能恒成立，2所以不等式f ( x)ax cosx 在区间 0, 上恒成立时实数a 的取值范围是 (,2. .14 分2（ 20）（共 13 分）解：