初中数学最值问题典型例题(含答案分析)

1、.中考数学最值问题总结考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 （2、代数计算最值问题 3、二次函数中最值问题）问题原型：饮马问题 造桥选址问题 （完全平方公式 配方求多项式取值 二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”abpl几何基本模型：条件：如下左图，、是直线同旁的两个定点问题：在直线上确定一点，使的值最小方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小例1、如图，四边形abcd是正方形，abe是等边三角形，m为对角线bd（不含b点）上任意一点

2、，将bm绕点b逆时针旋转60得到bn，连接en、am、cm（1）求证：ambenb；（2）当m点在何处时，am+cm的值最小；当m点在何处时，am+bm+cm的值最小，并说明理由；（3）当am+bm+cm的最小值为 时，求正方形的边长。精品.例2、如图13，抛物线y=ax2bxc(a0)的顶点为（1,4），交x轴于a、b，交y轴于d，其中b点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点a的直线与抛物线交于点e，交y轴于点f，其中e点的横坐标为2，若直线pq为抛物线的对称轴，点g为pq上一动点，则x轴上是否存在一点h，使d、g、f、h四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小

3、值及g、h的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点t，过点t作x的垂线，垂足为m，过点m作直线mnbd，交线段ad于点n，连接md，使dnmbmd，若存在，求出点t的坐标；若不存在，说明理由. 精品.例3、如图1，四边形aefg与abcd都是正方形，它们的边长分别为a,b(b2a),且点f在ad上（以下问题的结果可用a,b表示） （1）求sdbf; (2) 把正方形aefg绕点a逆时针方向旋转450得图2,求图2中的sdbf;(3) 把正方形aefg绕点a旋转任意角度,在旋转过程中,sdbf是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由

4、。精品.例4、如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于a，b两点，点a在x轴上，点b的纵坐标为3。点p是直线ab下方的抛物线上一动点（不与a，b重合），过点p作x轴的垂线交直线ab与点c，作pdab于点d（1）求a，b及的值（2）设点p的横坐标为 用含的代数式表示线段pd的长，并求出线段pd长的最大值； 连接pb，线段pc把pdb分成两个三角形，是否存在适合的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出值；若不存在，说明理由.精品.例5、如图，c的内接aob中，ab=ao=4，tanaob=,抛物线经过点a(4,0)与点（-2,6）.（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线m与c相

5、切于点a，交y于点d.动点p在线段ob上，从点o出发向点b运动；同时动点q在线段da上，从点d出发向点a运动；点p的速度为每秒1个单位长，点q的速度为每秒2个单位长，当pqad时，求运动时间t的值；（3）点r在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当rob面积最大时，求点r的坐标.精品.例1、证明：（1）abe是等边三角形，ba=be，abe=60mbn=60， mbn-abn=abe-abn即mba=nbe又mb=nb， ambenb（sas）（5分）解：（2）当m点落在bd的中点时，a、m、c三点共线，am+cm的值最小（7分）如图，连接ce，当m点位于bd与ce的交点处时，am+bm+cm的值

6、最小（9分）理由如下：连接mn，由（1）知，ambenb， am=en，mbn=60，mb=nb， bmn是等边三角形 bm=mnam+bm+cm=en+mn+cm（10分）根据“两点之间线段最短”，得en+mn+cm=ec最短当m点位于bd与ce的交点处时，am+bm+cm的值最小，即等于ec的长（11分）精品.例2、 解：（1）设所求抛物线的解析式为：，依题意，将点b（3，0）代入，得： 解得：a1所求抛物线的解析式为： （2）如图6，在y轴的负半轴上取一点i，使得点f与点i关于x轴对称， 在x轴上取一点h，连接hf、hi、hg、gd、ge，则hfhi 设过a、e两点的一次函数解析式为：y

7、kxb（k0）， 点e在抛物线上且点e的横坐标为2，将x2代入抛物线，得 点e坐标为（2，3） 又抛物线图像分别与x轴、y轴交于点a、b、d 当y0时，x1或x3 当x0时，y143, 点a（1，0），点b（3，0），点d（0，3） 又抛物线的对称轴为：直线x1， 点d与点e关于pq对称，gdge 分别将点a（1，0）、点e（2，3）代入ykxb，得： 解得： 过a、e两点的一次函数解析式为：yx1 当x0时，y1 点f坐标为（0，1）=2 又点f与点i关于x轴对称， 点i坐标为（0，1） 又要使四边形dfhg的周长最小，由于df是一个定值， 只要使dgghhi最小即可 由图形的对称性和、，可

8、知， dgghhfegghhi 只有当ei为一条直线时，egghhi最小 设过e（2，3）、i（0，1）两点的函数解析式为：，精品.分别将点e（2，3）、点i（0，1）代入，得： 解得： 过a、e两点的一次函数解析式为：y2x1 当x1时，y1；当y0时，x； 点g坐标为（1，1），点h坐标为（，0） 四边形dfhg的周长最小为：dfdgghhfdfei 由和，可知： dfei四边形dfhg的周长最小为。 （3）如图7，由题意可知，nmdmdb， 要使，dnmbmd，只要使即可， 即：设点m的坐标为（a，0），由mnbd，可得 amnabd， 再由（1）、（2）可知，am1a，bd，ab4 ，

9、 式可写成： 解得：或（不合题意，舍去）点m的坐标为（，0）又点t在抛物线图像上， 精品. 当x时，y 点t的坐标为（，）.例3、解：（1）点f在ad上，af2=a2a2，即af=。（2）连接df，af，由题意易知afbd，四边形afdb是梯形。dbf与abd等高同底，即bd为两三角形的底。由afbd，得到平行线间的距离相等，即高相等，。（3）正方形aefg在绕a点旋转的过程中，f点的轨迹是以点a为圆心，af为半径的圆。第一种情况：当b2a时，存在最大值及最小值，bfd的边bd=，当f点到bd的距离取得最大、最小值时，sbfd取得最大、最小值。如图，当dfbd时，sbfd的最大值=，sbfd的

10、最小值=。第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值，sbfd的最大值=。精品.例4、解：（1）由，得到x=2，a（2，0）。 由，得到x=4，b（4，3）。经过a、b两点，解得。设直线ab与y轴交于点e，则e（0，1）。根据勾股定理，得ae=。pcy轴，acp=aeo。（2）由（1）可知抛物线的解析式为。由点p的横坐标为，得p，c。pc= 。在rtpcd中， ，当m=1时，pd有最大值。存在满足条件的值，。精品.例5、解：（1）将点a（4，0）和点（-2，6）的坐标代入中，得方程组，解之，得.抛物线的解析式为.（2）连接ac交ob于e.直线m切c于a acm， 弦 ab=ao， .acob，mob. oad=aob，oa=4 tanaob=，od=oatanoad=4=3.作ofad于f.则of=oasinoad=4=2.4.t秒时，op=t,dq=2t，若pqad，则fq=op= t.df=dqfq= t.odf中，t=df=1.8秒.（3）令r(x, x22x) (0x4). 作rgy轴于g 作rhob于h交y轴于i.则rg= x，og= x2+2x.