西南交大 自动控制课件CT_chapter4_2009.ppt

1、西南交通大学 电气工程学院 2009,2,第四章 根轨迹法,4.1 引言 4.2 根轨迹法的基本概念 4.3 绘制根轨迹的基本规则 4.4 绘制根轨迹举例 4.5 参数根轨迹 本章小结,3,4.1 引言,系统的稳定性 闭环极点(系统的特征根) 系统响应特性 闭环极点和零点,1948年，W.R.Evans提出了根轨迹法： 当开环增益或别的某个参数变化时特征根的轨迹图找特征根的简单的图解法。,闭环极点决定了,返回,4,4.2 根轨迹的基本概念,反馈控制系统的闭环传函,Kg : 传递系数(开环根轨迹增益) zoi : 开环(传函的)零点, i=1,2,m. poj : 开环(传函的)极点, j=1,

2、2,.,n.,5,4.2 根轨迹的基本概念,于是，特征方程,(4.3),根轨迹法：根据开环传函(开环零点、极点)，找出开环增益(或别的某个参数)由0变化时，闭环系统特征根的轨迹。 根轨迹法的基本思想：开环传函等于-1的s值，必为特征根。,6,4.2 根轨迹的基本概念,幅角条件与幅值条件,满足幅角条件、幅值条件的 s 值就是特征方程的根，即闭环极点。幅角条件和幅值条件构成根轨迹的基本条件。,7,4.2 根轨迹的基本概念,将特征方程写成：,(4.7),(4.8),幅角条件,8,4.2 根轨迹的基本概念,将特征方程写成：,(4.7),(4.9),(4.7),幅值条件,9,4.2 根轨迹的基本概念,由

3、(4.8)和(4.9)给出了根轨迹的基本原理： 以Kg为可变参数，s平面上满足幅角条件的点构成的曲线就是根轨迹； 根轨迹上各点的Kg值可由幅值条件确定。 由(4.8)和(4.9)也反映了根轨迹的几何意义。故在分析和绘制根轨迹时，幅角和幅值应可进行图解测量，故： 横坐标和纵坐标采用同样的尺度等分,10,4.2 根轨迹的基本概念,:绘制某二阶系统 的根轨迹图；,特征方程: 特征根:,K由01变化时,特征根 s1,s2: K= 0， s1= 0 , s2 = -2； K= 1， s1 = s2 = -1 (z = 1)； 01), s1,s2:为两个实根,11,4.2 根轨迹的基本概念,此时,根轨迹

4、为过(1,0)点的垂线,1 K , (0 z 1), s1,s2:为共轭复根：,12,4.2 根轨迹的基本概念,根轨迹上的任何一点均满足幅角条件：,对于任意一点 s1 , 显然 s1 (s12)180 对于s1= -1+ jw, 对应的K 值：,返回,13,4.3 绘制根轨迹的基本规则,开环传函 (开环零点、极点) 闭环系统根轨迹 根轨迹性质作图规则特殊点根轨迹(手工绘制根轨迹概略图),特征方程,14,4.3 绘制根轨迹的基本规则,特征方程写成：,(4.7),考察Kg: 0(Kg0), 闭环系统特征根的轨迹。,15,4.3 绘制根轨迹的基本规则,规则1：根轨迹是连续的，且对称于实轴；,规则2：

5、根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；根轨迹的分支数(条数)为maxn,m， n为开环(有限)极点数， m为开环(有限)零点数；,起点: Kg= 0, 由(4.7), s = -poj , j=1,n; 即Kg= 0时，闭环极点 = 开环极点 终点: Kg ,由(4.7), s = -zoi , i=1,m; 即Kg 时，闭环极点 = 开环零点,16,4.3 绘制根轨迹的基本规则,nm时, m个开环有限零点决定了m个闭环极点的位置; 另(n - m)个闭环极点趋向于无穷远(开环无限零点). 注: 如果包括无限零点,则G(s)H(s)的零点数和极点数相等.,特征方程,17,4.3 绘制根轨迹的基

6、本规则,m个闭环极点 = m个开环(有限)零点,另(n - m)个闭环极点:,即,另(n - m)个无限零点决定了(n - m)个闭环极点的位置.,特征方程,18,4.3 绘制根轨迹的基本规则,一般n m ，根轨迹的分支数应为闭环极点数。 闭环极点数 = 开环极点数n = 系统阶次n 在绘制其它可变参数的根轨迹时，可能出现等效传函的mn的情况，这时将有(m-n)条根轨迹起始于(m-n)个开环无限极点。,19,4.3 绘制根轨迹的基本规则,推证： 开环共轭复数零、极点到实轴上的点的幅角和为2kp，因此对实轴上的根轨迹的幅角条件无影响; 实轴上根轨迹的左侧的开环零、极点到实轴上的点的幅角均为0，因

7、此对实轴上的根轨迹的幅角条件也无影响；,规则3：实轴上根轨迹段存在的区间的右侧，开环零点和开环极点之和为奇数。,20,4.3 绘制根轨迹的基本规则,设Nzo = 实轴上根轨迹右侧的开环零点数 Npo = 实轴上根轨迹右侧的开环极点数,规则3：实轴上根轨迹段存在的区间的右侧，开环零点和开环极点之和为奇数。,推证：,21,4.3 绘制根轨迹的基本规则,规则4：根轨迹的渐近线。根轨迹有|n-m|条分支沿渐近线趋于(或始于)无穷远，这些渐近线的倾角fA及与实轴的交点sA分别为:,(4.11),(4.12),22,4.3 绘制根轨迹的基本规则,推证： 由(4.11)可知，不重复的渐近线只有n-m条。 n

8、m时(nm时情况类似) 当Kg ，有n-m条根轨迹趋向于无限零点(s )，对无限远的闭环极点sk ，开环有限零点、极点都相当于汇集到一点，-zoi, -poj 到 sk的矢量幅角、幅值都相同，s sk，趋近的渐近线为一条直线，,23,4.3 绘制根轨迹的基本规则,推论： 渐近线倾角fA,24,4.3 绘制根轨迹的基本规则,渐近线与实轴交点sA,(4.14),(4.15),注意到 作多项式长除, (4.14)可写为,推证：,25,4.3 绘制根轨迹的基本规则,又,渐近线上,对于s =sk ,相当于有-zoi=-poj=sA 则,(4.16),由二项式定理,26,4.3 绘制根轨迹的基本规则,比较

9、(4.15)和(4.16)，可知,(4.16),(4.15),27,4.3 绘制根轨迹的基本规则,定义: 两条(或两条以上,成对)根轨迹在某点相遇后又分开的点称为根轨迹的分离点(或汇合点,可统称为分离点)。 实轴上的根轨迹，相邻开环极点之间、相邻开环零点之间必存在分离点。相邻开环零点和极点之间，或不存在分离点，或存在成对的分离点。,28,4.3 绘制根轨迹的基本规则,分离点处，特征方程为重根。因此，对于特征方程,F(s)是分离点的必要条件，不是充分条件。由(4.17)的两个条件确定（Kg0 的）分离点。,29,4.3 绘制根轨迹的基本规则,规则6：根轨迹与虚轴的交点为闭环系统的临界稳定点。确定

10、与虚轴交点和临界增益值的方法： 利用Routh判据，确定临界稳定点； 特征方程中，代入s=jw令实部和虚部分别等于0，解出与虚轴交点w和临界增益值,30,4.3 绘制根轨迹的基本规则,31,4.3 绘制根轨迹的基本规则,例如：要确定开环极点-po1处的出射角 设点s在根轨迹上，则,由此可推理得到公式 (4.18) 和 (4.19),32,4.3 绘制根轨迹的基本规则,出射角和入射角也可用下面的公式给出：,33,4.3 绘制根轨迹的基本规则,规则8：根轨迹的平衡性(走向) (n-m2) 当n-m2时，闭环极点之和为常数。因而，随着Kg的增大，一些根轨迹分支左行时，必有根轨迹另一些右行。,由特征方

11、程,又， 当nm,34,4.3 绘制根轨迹的基本规则,当n-m2时，,因此，随着Kg的增大，一些特征根增大，另一些特征根必减小。,35,4.3 绘制根轨迹的基本规则,根据这些规则，可确定根轨迹的一些特殊点。由这些特殊点可绘制出根轨迹的概略图。 根轨迹的其它点，根据幅角条件确定。 虚轴附近的根轨迹较为重要。可按需要补充一些点，以较精确地绘制出这部分根轨迹。,返回,36,4.4 绘制根轨迹举例, 单位反馈控制系统的开环传函如下, 试求: (1) 根轨迹图; (2) 共轭主导极点z=0.5时的K值。,解 特征方程:,幅角条件:,幅值条件:,37,4.4 绘制根轨迹举例,实轴上的根轨迹,渐近线 倾角:

12、 与实轴交点:,38,4.4 绘制根轨迹举例,分离点,39,4.4 绘制根轨迹举例,与虚轴的交点 特征方程: 利用Routh判据， 令辅助方程等于0,令6-K=0,得到K=6； 令辅助方程3s2+K=0,与虚轴的交点 此时，K=6 (K=6时的另一个实根s=-3),40,4.4 绘制根轨迹举例,为了在虚轴附近较精确地绘制根轨迹图,根据幅角条件在虚轴附近补点:,41,4.4 绘制根轨迹举例,描出根轨迹;,确定z=0.5时的共轭复数主导极点 该极点的向量与负实轴的夹角:,42,4.4 绘制根轨迹举例,由图中读出，这时闭环主导极点为: 对应的K值: 并且可以求出对应的第三个极点位置：,43,4.4

13、绘制根轨迹举例, 特征方程为 试求: 根轨迹。,解：写出等效特征方程：,等效开环传递函数为：,开环极点： 无有限开环零点.,44,4.4 绘制根轨迹举例,实轴上的根轨迹,分离点,45,4.4 绘制根轨迹举例,试探求解三阶以上的方程的根：,代入特征方程检验：,46,4.4 绘制根轨迹举例,47,4.4 绘制根轨迹举例,渐近线 倾角: 与实轴交点:,48,4.4 绘制根轨迹举例,与虚轴的交点 特征方程: 令 代入特征方程,得到实部和虚部的表达式，令实部和虚部分别为零：,49,4.4 绘制根轨迹举例,出射角,50,4.4 绘制根轨迹举例,该根轨迹对称于过(-2,0)点的垂线：,可见,由特征方程,51

14、,4.4 绘制根轨迹举例,一些常见的开环零极点及其对应的概略根轨迹图,返回,52,4.5 参数根轨迹,当以参数 X 为变数，0 X ，作根轨迹时，需要将特征方程写成：,(4.22),即可用前面讨论的作根轨迹的规则作出以X为变数的特征方程的根轨迹。,53,4.5 参数根轨迹,:小功率位置随动系统结构如图所示： 分析伺服电动机的机电 时间常数Tm变化时，系 统极点的分布和暂态特 性的变化规律； (2) 当开环增益K=29和qi(t)=t时，若希望将闭环极点配置为-p1,2=-17.25j26.521, Tm应该取为何值，并计算这时系统的性能。,54,4.5 参数根轨迹,:小功率位置随动系统结构如图

15、所示:,解： (1) Tm为可变参数时的根轨迹,系统的特征方程：,写成： 即,作以Tm (0 Tm )为变参数的根轨迹。,55,4.5 参数根轨迹,分离点,根轨迹是一个直径为 2K 的圆 (实轴外)。,56,4.5 参数根轨迹,暂态特性分析: 分离点为s=-2K,对应的Tm值,由根轨迹可知： 对于0 Tm ，闭环系统稳定； 对于0 Tm 1/(4K)，为过阻尼二阶系统； 对于1/(4K) Tm ，为欠阻尼二阶系统，且随着Tm 增大，z 减小； 当 Tm=1/(4K)时，为临界阻尼；,57,4.5 参数根轨迹,开环增益 K=29, 闭环极点 -p1,2=-17.25j26.521,闭环传函,58

16、,4.5 参数根轨迹,系统性能指标： 稳态误差：I型系统，斜坡输入时,59,4.5 参数根轨迹,单位阶跃响应 单位斜坡响应,60,4.5 参数根轨迹,用根轨迹分析自动控制系统的方法和步骤: 根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则绘制出系统的根轨迹图。 由根轨迹在s平面上的分布情况分析系统的稳定性。如果全部根轨迹都位于s平面左半部，则说明无论开环根轨迹增益Kg为何值，系统都是稳定的；如根轨迹有一条（或一条以上）的分支全部位于s平面的右半部，则说明无论开环根轨迹增益Kg如何改变，系统都是不稳定的；如果有一条（或一条以上）的根轨迹从s平面的左半部穿过虚轴进入s面的右半部（或反之），而其余的根轨

17、迹分支位于s平面的左半部，则说明系统是有条件的稳定系统，即当开环,61,4.5 参数根轨迹,根轨迹增益Kg大于临界值时系统便由稳定变为不稳定（或反之）。此时，关键是求出开环根轨迹增益Kg的临界值。这为分析和设计系统的稳定性提供了选择合适系统参数的依据和途径。 根据对系统的要求和系统的根轨迹图分析系统的瞬态响应指标。对于一阶、二阶系统，很容易在它的根轨迹上确定对应参数的闭环极点，对于三阶以上的高阶系统，通常用简单的作图法 （如作等阻尼比线等）求出系统的主导极点（如果存在的话），将高阶系统近似地简化成由主导极点（通常是一对共轭复数极点）构成的二阶系统，最后求出其各项性能指标。这种分析方法简单、方便

18、、直观，在,62,4.5 参数根轨迹,满足主导极点条件时，分析结果的误差很小。如果求出离虚轴较近的一对共轭复数极点不满足主导极点的条件，如它到虚轴的距离不小于其余极点到虚轴距离的五分之一或在它的附近有闭环零点存在等，这时还必须进一步考虑和分析这些闭环零、极点对系统瞬态响应性能指标的影响。,返回,63,小结,本章介绍了根轨迹法 要求掌握根轨迹绘制规则，能熟练地绘制根轨迹概略图 注意应用根轨迹绘制规则时，将系统特征方程写成如下形式：,64,小结,根轨迹是用较简单的等效开环传递函数，来分析研究闭环系统的特性；它是一种几何方法，形象直观； 根轨迹是以开环传递函数中的某个参数（一般是根轨迹增益）为参变量而画出的闭环特征方程式的根轨迹图。根据系统开环零.极点在s平面上的分布，按照绘制