数系的扩充.ppt

1、复数的概念,-数系的扩充,3.1 数系的扩充,从社会生活来看为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展. 从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的.,自然数,自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前.,负数,负数是“欠”出来的.它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的.我国三国时期数学家刘徽（公元250年前后）首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则.,刘徽（公元250年前后）,数集扩充到整数集,分数（有理数）,分数（有理数）是“分”出来的.早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数.,数集扩充到有理数集,1,1,边长为1的正方

2、形的对角线长度为多少？,？,无理数,毕达哥拉斯(约公元前560480年）,无理数是“推”出来的.公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”. “无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑.,数集扩充到实数集,实数集能否继续扩充呢?,正数与负数， 有理数与无理数， 都是具有“实际意义的量”， 称之为“实数”，构成实数系统. 实数系统是一个没有缝隙的连续系统.,历史回顾,1545年，卡尔丹在大衍术中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了.”,能作为“数”吗？它表示什么意义呢？,虚数,虚数是“算”出来的. 163

3、7年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数” （“想象中(imaginary)的数”）.,笛卡尔(R.Descartes,1596-1661),知识引入,引入一个新数：,现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： （1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。,形如a+bi(a,bR)的数叫做复数.,全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .,复数的代数形式：,通常用字母 z 表示，即,其中 称为虚数单位。,复数a+bi,复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？,思考？

4、,复数集,虚数集,实数集,纯虚数集,练一练：,1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。,5 +8，,0,2、判断下列命题是否正确： （1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数 （2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数 （3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数,例1 实数m取什么值时，复数 是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？,解: （1）当 ，即 时，复数z 是实数,（2）当 ，即 时，复数z 是虚数,（3）当,即 时，复数z 是 纯虚数,练习:当m为何实数时，复数 是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数,思考：,如何定义两个复数的相等？,注意：

5、一般对两个复数只能说相等或不相等；不能比较大小。,0,0,如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等,复数不能比较大小的一种解释,（1）如果i0，那么ii0i，即-10。,（2）如果i0，那么-i0，(-i)20(-i) 即-10.,例如：i与0能不能比较大小？,因此，i与0不能比较大小。,A 复数的概念,例2 已知 ，其中 求,解题思考：,复数相等的问题,转化,求方程组的解的问题,一种重要的数学思想：转化思想,小结:,1.虚数单位i的引入；,计算：,1,-1,B,你能否找到用来表示复数的几何模型呢？,x,o,1,实数可以用数轴上的点来表示。,一一对应,规定了 正方向，,直线

6、,数轴,原点，,单位长度,实数,数轴上的点,(形),(数),(几何模型),复数z=a+bi,有序实数对(a,b),直角坐标系中的点Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示复数的平面,x轴-实轴,y轴-虚轴,（数）,（形）,-复数平面 (简称复平面),一一对应,z=a+bi,概念辨析,例题,平面向量,实数绝对值的几何意义:,能否把绝对值概念推广到复数范围呢？,X,O,A,a,| a | = | OA |,实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。,x,O,z=a+bi,y,| z | = |OZ|,复数的绝对值,(复数的模),Z (a,b),复数 z=a+bi在

7、复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。,例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i,(3)满足|z|=5(zC)的z值有几个？,思考：,(2)满足|z|=5(zR)的z值有几个？,(4)z4=1+mi(mR) (5)z5=4a-3ai(a0),(1)复数的模能否比较大小？,这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？,图示,x,y,O,设z=x+yi(x,yR),满足|z|=5(zC)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？,5,5,5,5,(A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上； (

8、C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。,辨析：,1下列命题中的假命题是（ ）,D,2“a=0”是“复数a+bi (a , bR)所对应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件,C,例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。,变式：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。,解题思考：,表示复数的点所在象限的问题,复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题,转化,(几何问题),(代数问题),一种重要的数学思想：数形结合思想,虚数,1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i ” 表示 称为虚数单位.,欧拉(L.Euler,17071783),数集再次扩充,数系扩充的科学道理,自然数中减法产生 ， 整数系统； 整数中除法产生 ， 有理数系统； 自然数中开方产生 ， 实数系统； 负数中开方产生 ， 新的系统.,负数,分数,无理数,虚数,从数学内部来看，数集