(N)是一个以自然数集为定义域的函数.ppt

1、设xn=f (n)是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，x1, x2,xn, , 称为一个数列. xn称为数列的第n项，也称为通项,数列也可表示为xn或xn=f (xn),第一节数列的极限,一、数列的极限,例.,看数列1.,从直观上看,这个数列当n越来越大时, 对应的项xn会越来越接近于1,或者说“当n趋向于无穷大时, 数列xn趋近于1.如何用精确的, 量化的数学语言来刻划这一事实?,注意到,实数a, b的接近程度由| ab |确定. | ab |越小, 则a, b越接近.因此, 要说明“ 当n越来越大时, xn越来越接近于1”就只须说明“ 当n越来越大时, |

2、xn1 |会越来越接近于0”.而要说明“| xn1 |越来越接近于0”则只须说明“ 当n充分大时,| xn1 |能够小于任意给定的, 无论多么小的正数” 就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数, 当n充分大时, | xn1 | 比还小,由于是任意的,从而就说明了|xn1| 会越来越接近于0.,事实上, 给, 很小, 只须n1000 即可,数列中,从第1001项开始,以后各项都有,要,也即在这个,又给, 则从第10001项开始,以后各项都有,一般, 任给 0, 不论多么小,只须,. 因此, 从第,项开始, 以后各项都有,. 因是任意的, 这就说明了当n越来越大时,xn会越来越接近于1.,要使,

3、定义: 设xn是一个数列, a是一个常数,若 0, 正整数N, 使得当nN时, 都有|xna|,则称a是数列xn当n无限增大时的极限, 或称xn收敛于a,记作,这时, 也称xn的极限存在, 否则, 称xn的极限不存在, 或称xn是发散的.,比如, 对于刚才的数列1. 有,注1. 定义中的是预先给定的, 任意小的正数,其任意性保证了xn可无限接近于a,另外, 又是确定的, 它不是变量.,若 0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna|,注2. 一般说来, N随给定的变化而变化, 给不同的 确定的N也不同,另外, 对同一个来说, N不是唯一的(若存在一个N, 则N+1, N+2, , 均可作

4、为定义中的N.),若 0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna|,注3.,定义中“ 当nN时, 有| xna |”的意思是说, 从第N+1项开始,以后各项都有|xna |,至于以前的项是否满足此式不必考虑. 可见一个数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关. 而与前面的有限多项无关. 改变, 去掉数列的前有限项, 不改变数列收敛或发散的性质.,若 0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna|,几何意义:,x2,x1,a-,xN+5,a,xN+1,a+,x3,x,),(,xN,由于| xna | a xn a xn(a , a +)=U(a, ).因此, 所谓xn以a为极限, 就是对

5、任何以a为心, 以任意小的正数 为半径的 邻域,总能找到一个N, 从第N+1项开始, 以后各项都落在邻域 U(a, ) 内,而只有有限项落在U(a, )外部.看图.,例1. 若xn=c (常数), 则,若 0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna|,证:, 0. 由于|xn1|=|c c|= 0,取N=1, 当nN时, 有|xnc |=0,故,即常数的极限就是常数本身.,例2. 设q是满足 |q |1的常数, 证明,证. 若 q = 0 , 结论显然成立., 0.,设 0 |q |1.,现在, xn = qn, a = 0.,(要证N, 当nN时, 有 |qn 0| ),因 | xn

6、a | = |qn 0| = |qn | = |q | n ,要使| xn a | , 只须 |q | n 即可.,即 n ln |q | ln ,取正整数,则当 n N 时, 有,从而有,| qn 0 | ,例3. 证明,证: 0,要使,则当nN时, 有,(要证N, 当nN时, 有,若 0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna|,例4.,证:, 0,由于,要使 | xn a | ,则当 n N 时,有,例5.,证: (1) 设 a = 1, 结论显然成立.,(2) 设 a 1,从而, 1+ nn, 0,(3) 设 0 a 1,即 0, N, 当nN时, 有, .,(因 0 a 1),

7、综合得,本例也可用有理化的方法处理.,注意到公式,从而,(分母都用1代).,以下同(2).,证:,反设xn收敛, 但极限不唯一,设ba, 取,即, xna, 且xn b, (n), ab.,第二节数列极限的性质及收敛准则,一、数列极限性质,定理1. 若数列收敛, 则其极限唯一.,由极限定义, 1, 当nN1时,N2, 当nN2时,取N=maxN1, N2, 则当nN时, 上两式同时成立.,从而当 nN时, 有,矛盾, 故极限唯一.,若 0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna|,几何意义:,数列的有界性.,定义: 没有数列xn=f (n), 若M0, 使得|xn|M, n=1, 2,

8、. 则称数列xn有界,否则, 称xn无界.,由于 |xn|MMxnM xnM, M.,故, 所谓xn有界, 就是xn要全部落在某个对称区间M, M内.,看图,例1. xn=(1)n有界, 而xn=n2无界.,x,1,1,x,0,1,9,4,x1,x2,x3,0,x2n,x2n-1,设xna (n),则对n=1, 2, ,有|xn|M,证:,由定义, 对=1, 存在自然数N,当nN时, 有|xna|1,故 |xn|xna|+|a|1+|a|. 取M=max|x1|, |x2|, |xN|, 1+|a|,M,若 0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna|,定理2. 若xn收敛, 则xn有界

9、.,定理2的逆命题不成立, 如xn=(1)n有界, 但由定义和几何意义知(1)n是发散的.,看图,x,1,1,0,(,),(,),定理3.,证：如图, (1), (2),取 N = maxN1, N2,则当 n N时, (1), (2)同时,成立，即 xn yn.,在定理3中取 yn= 0.,故正整数N, 当nN时,证:,则,从而 a b = 0.,类似证明 a 0的情形.,推论2.,证: 反设 a N1时, 有xn yn.,取 N2 = maxN, N1,则当 n N2 ( N)时,有 xn yn.,此与条件矛盾.,推论3: 设有数列xn, 若正整数N, 当nN时, 则,有 xn0 (xn0

10、). 且,a0 (a0).,比如,注: 在推论3中, 即使xn0, 也只能推出a0,定理4.,xn yn zn,证:, 0 , N1, 当n N1时, 有 |xn a| .,(1),即 a xn a + (2),(夹逼定理). 设数列xn, yn, zn满足正整数N, 当 n N 时, 有,N2, 当n N2时, 有 a zn a + (3),取 N * = maxN, N1, N2,则当n N * 时, (1), (2),(3)同时成立.,有,a xn yn zn a + ,即 | yn a | .,特别, 若在夹逼定理中, xn 和 zn 中有一个为常数列, 并满足定理条件. 定理当然成立

11、.,即,若 a yn zn ,夹逼定理的意义有: (1) 给出判断数列 yn 存在极限的方法;,(2) 给出了求 yn 的极限的方法.,这一方法能解决很多较为困难的求极限问题.,例2. 求,解：用夹逼定理求解，,记,适当放大和缩小，形成定理要求的连不等式,考虑将 xn,由于,所以,例3. 求数列,解：回忆结论,得出当 a 1 时的结论的方法是,记,得,得,现在类似，记,则,解得,易证,所以,所谓数列xn 子列，就是从数列 x1, x2, , xn, 中任取无穷多项，,这个数列称为xn的子列.,比如，x2, x5, x14, , x78, 就是xn的一个子列,上列中n1=2, n2=5, n3=

12、14等.,二、子列,注：,易见 k nk .,前必已从xn中抽出了k1项，,xn的第 k 项后的项中抽出，,也即 k nk .,(3) 对任何两个正整数 h, k, 若 h k, 则有 nh nk .,反之，若 nh nk, 则 h k.,这是因子列次序与原数列次序相同.,在子列中位置靠后的项，在原数列中位置也靠后，反之也对.,a 的定义是：,此时，记为,或,定理5.,证：充分性.,由于xn可看作它自已的一个子列.,由条件 xn 的任何子列都以 a 为极限，,故,必要性.,注：由定理5，若 xn 的两个子列一个收敛于 a , 而另一个收敛于 b，且 ab, 则xn发散；,或者，xn中有一个子列

13、发散，则xn发散.,0, 1, 0, 1, ,发散.,1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ,发散.,推论.,若数列xn满足 x1x2xn, 则称xn为单调递增数列.,若x1x2xn, 则称xn为单调递减数列.,单调递增和单调递减数列统称为单调数列.,三、收敛准则,例4. xn=n2是单调递增数列, 但xn是发散的.,xn=(1)n是有界数列, 但xn=(1)n也是发散的.,定理6. 单调递增且有上界的数列必有极限;,单调递减且有下界的数列必有极限.,即, 单调有界数列必有极限.,例5.数列,是单调递增且有上界的数列.,证: 首先注意到, 当ab0时,有,移项, 有,即,(1) 取,

14、有,即,(2) 取,有,即,(e=2.71828, 为一无理数),定理7:,| xnxm | .,证：略,(柯西收敛准则) 数列xn收敛的充要条件是 0, N 0, 当n, mN 时，有,例6. 利用柯西收敛原理证明 xn=1+q+q2+ +qn ( | q |1) 收敛.,证： 0，设 m n，,| xmxn |,要使| xmxn | , 只须,即(n+1)ln |q| ln (1|q|),取正整数,则当 n, mN 时，有| xnxm | .,故 xn 收敛.,定义1.,或, 0, N 0, 当 n N 时, 有 | xn | . 则称 为无穷小量(无穷小数列).,第三节 数列极限运算,一

15、、无穷小量,(1) 无穷小量是指该数列以0为极限,任何一个量若其极限不为0, 则不是无穷小量.,所以, 除0外的任何常量(常数列)都不是无穷小量.,(3) 常数列 xn = 0 是无穷小量.,注:,定理1. (极限与无穷小的关系定理),证: , 0, N 0, 当 n N 时, 有 | xna | .,即| n | .,故 xn= a + n , 其中n 0 (n+时).,则 0, N 0, 当 n N 时, 有 |n | .,即| xna | ., 若 xn= a + n , 其中n 0 (n+时).,故,性质1. 有限多个无穷小量的代数和为无穷小量.,性质2. 有限多个无穷小量的乘积仍是无

16、穷小量.,则 xn yn 是无穷小量 . 即 有界量乘无穷小量仍为无穷小量.,推论. 常量乘无穷小量仍为无穷小量.,性质3. 若 xn 是无穷小量, | yn | M(当 n N 时),性质4. 若 xn 是无穷小量, yn a (0),则,1. 两个无穷小量的商不一定是无穷小量.,2. 性质1, 2中的条件有限多个不能丢.,注:,例1.,解:,例2.,解:,故 原式 = 0.,看数列 xn = n2, 即， 1, 22, 32, , n2, .,当 n 越来越大时, 数列 xn 的值也越来越大, 要多么大就有多么大, 可以大于预先给定的任意大的数G.称为无穷大数列(无穷大量).,二、无穷大量

17、,定义2. 若 G 0(无论多么大), N 0, 当 n N,时, 有 | xn | G ,则称 xn 为无穷大量, 记作,(1),(2) 任何常数列(常量)都不是无穷大量.,注:,即, 当n N 时, xn 都落在区间 G, G外面.,在 G, G内, 只有 xn 的有限多个项.,例3. 设 | q | 1.,证: G 0, (要证N 0, 当 n N 时, 有 | qn | G ),要使 | qn | = | q |n G.,只须,则当 n N 时, 有 | qn | G,故,例4. 数列 xn = (1+(1)n)n 是否为无穷大量?,解: 数列 xn 为,0, 22, 0, 24, 0

18、, 26, .,如图,所以 xn 不是无穷大量.,定义3.,从几何上看,xn .,xn +.,证: 设 xn 为无穷大量, 要证 为无穷小量., 0,因 xn 为无穷大量.,从而,定理2. 若 xn 是为无穷大量, 则 为无穷小量.,若 xn 是为无穷小量(xn 0), 则 为无穷大量.,(1) 两个无穷大量的和, 差, 两个无穷大量的商都不一定是无穷大量.,比如, 当n +时, n2 , n2 ,但,n2 + (n2) = 0,都不是无穷大量.,但, +(+) = +,+() = .,注:,(2) 有界量乘无穷大量不一定是无穷大量.,无穷小量乘无穷大量不一定是无穷大量(无穷小量),特别,比如

19、, 当xn = n2 ,yn = 0,则 xnyn = 0 不是无穷大量.,(3) 若数列 xn , 则 xn 无界,但反之不对.,如, 当xn = (2+(1)n)n . 无界, 但不是无穷大量.,(4) = , (有界量) = .,定理3. 设数列 xn和 yn 的极限都存在. 且,则,(1),(2),(3) 设 C 为常数，有,(4) 当 b0 时，有,三、数列极限的运算法则,证：只证(1).,因,由极限与无穷小关系，,有，,xn=a+n, yn=b+n，其中n, n0(n+).,从而 xn yn =(a b)+(n n ),由无穷小量性质知n n0(n+),再由极限与无穷小的关系定理，

20、知,定理4. 若,证：由于,注意到不等式 | | A | | B | | | A B |,从而 | | xn | | a | | | xn a | ,故,反之不对.,比如, 设 xn = (1)n.,例5. 求,解:,一般, 称形为 f (x) = a0 xk+a1xk1+ak1x+ak 为 x 的一个 k 次多项式. 其中k为非负整数，ai为常数, a00.两个多项式的商称为有理式(有理函数).,对这种以n为自变量的有理函数的极限问题(n时), 可将分子，分母同除以分母的最高次幂n2.,由于分母的极限等于5(0), 分子的极限等于3，,= 0，,= .,故,一般，若 a0, b0 都非0，则

21、,，,0，,k L,k L,例6. 求,解：有理化.,= 50.,例7. 求,解：注意到求和公式,= 2.,例8. 求,解：注意到,从而,所以，原式=,例9. 求,解：注意到,从而，,故,例10. 设x0=1,证明 xn 的极限存在，并求之.,证：,通常要证明某数列极限存在可考虑用:(1)单调有界数列必有极限.(2)夹逼定理(条件中往往有不等式).此例用(1),注意到 0 xn 2, 即 xn 有界.,且x1 x0,同理，,=,即 xn 单调递增.,因 xn 0 , 故 a 0.,设有数列u1, u2, , un, ,则式子,称为一个(常数项)无穷级数.,第n项un称为级数,的一般项或通项.,

22、第四节常数项级数的概念和性质,一、基本概念,级数是无穷多个数的和. 它可能是一个确定的数, 也可能不是一个确定的数.,比如,0+0+ +0+ =0,而1+1+ +1+就不是,一个数.,记 Sn = u1+ u2 + +un. 称为此级数的前n项部分和.,(如 S1= u1, S2 = u1+u2, , Sn = u1+ u2 + + un.),由部分和构成的数列S1, S2, Sn , , 称为此级数的部分和数列.,易见. (i) un = SnSn 1,(ii) 从形式上看, 有,定义:,则称此级数收敛,极限值S 称为该级数的和.,记作,称为该级数的余和(余项, 余式),例1.,称为等比级数

23、. r 称为公比. 讨论等比级数敛散性.,解:,从而,(i),事实上, 若0 r 1,若1 r 0, 则 r = | r |, rn = (1)n | r |n,从而,(ii),(iii),(iv),不存在.,综合:,例2.,解:,故,故该级数收敛, 且有,例3.,证:,故此级数发散.,例4.证明级数,收敛, 并求它们的和S.,解: 为求Sn .,故级数,从而,且 S = 2.,性质1. (级数收敛的必要条件).,证:,由于 un = Sn Sn1,二、基本性质,注1.,性质1是级数收敛的必要条件而非充分条件. 也即,注2.性质1的逆否命题为,这是以后我们判定一个级数发散的重要结论.,例.级数

24、 1 + 2 + + n +,故级数发散.,故此级数发散.,性质2.,则, R,证:,特别 (i) 取 =1, = 1.,(ii) 取 = 0.,推论:,证:,由性质2.,矛盾.,性质3.,证: 只证在级数中去掉一项的情形. 其余情形类似.,u1 + u2 + +uk1+ uk+1 +,在级数中去掉或增加有限项. 不改变级数的敛散性.,由于uk是常数, 其极限存在且为uk . 因此,即新级数与原来的级数有相同的敛散性.,性质4.,则对其任意加括号后所得到的级数仍然收敛, 且其和不变.,即, 若 u1+ u2 +un += S. (收敛),则任意加括号后所成新级数.,(u1+ u2) + (u3

25、+u4+u5) + (u6 + u7) + = V1+ V2 + V3 + = S. (收敛),其中, V1= (u1+ u2), V2= (u3+u4+u5), V3= (u6 + u7),证: 用m表示加括号后所成级数,V1+ V2 + V3 + = (u1+ u2) + (u4+u4+u5) + (u6 + u7) +的前m项部分和.,则 1 = V1 = (u1+ u2) = S2,2 = V1 + V2 = S5,3 = V1 + V2 + V3 = S7, ,一般, 设m = Sn .,其中 m n .,当m时, n. 从而,故, 加括号后所成级数收敛于S.,注:,比如, 级数(1

26、1)+(11)+(11)+ 收敛于0.,但去括号的级数,是发散的.,或由S2n = 0, 而S2n1=1,性质4的逆命题不成立.即, 若加括号后所成级数收敛. 不能保证原来级数(即, 去括号的级数)收敛.,推论: 若加括号的级数发散. 则原来级数发散.,证: (略),例4.,证: 注意不等式. 若x 0.,故调和级数发散.,例5.,证:,记Wn = un + Vn .,从而Vn = Wn un .,正项级数的部分和数列 Sn=u1+ u2 + +un 是单调递增数列 0 S1 S2 Sn .,第五节 常数项级数敛散性的判别法,一、正项级数敛散性的判别法,从而Sn有界,也,就有上界.,定理1.正

27、项级数收敛的充要条件是其部分和数列Sn有界(有上界).,推论:,(最后一个充要条件可由无界数列. 无穷大量的定义以及Sn单调递增得到.),定理2.(比较法).,n = 1, 2, , 则,(1),(2),证:,故, (1),(2),注2.实际应用时, 要判正项级数收敛. 可将un,注1.定理2中条件“ un Vn”只须从某项开始,以后一直成立即可.,逐步放大, un Vn .,例1.,解: (1) 若 0 P 1.,(2) 若 P 1. 考虑对P级数按下列方法加括号所成级数.,从而, 加括号的P级数收敛.,原来级数收敛加括号的级数收敛.”,由于“ 对正项级数而言,故, 当P 1时, P级数收敛.,推论. (比较法的极限形式),则这两个级数有,相同的敛散性.,例2.,解: 常以P级数和调和级数作为推论中的,例3.,解:,定理3. (比值法, 或,达朗贝尔判别法).,则,(1) 1时, 级数收敛.,(2) 1或 = +时, 级数发散.,(3) = 1时, 级数可能收敛也可能发散(须用另外的方法判断).,例4.,解:, 1,故级数收敛.,例5.,解:,故级数发散.,例6.,解:,所以, 用