高二数学教案双曲线几何性质教案1

1、双曲线的几何性质教案教学目标（一）能力训练要求1.深化双曲线的性质.2.提高解题的综合能力.（二）德育渗透目标通过综合题的解题训练，使学生清楚综合问题是简单问题的复合，学会抓主要矛盾、分解矛盾、解决矛盾的方法 .教学重点学生解题综合能力的培养和提高.教学难点学生解题综合能力的培养和提高.教学方法师生共同讨论法通过对具体问题的分析与讨论，使学生对综合问题有一个清楚的认识，并学会将问题分解、各个击破、通过综合问题的解答，提高学生的运算能力、探索能力、分析问题、解决问题的能力 .教具准备投影片三张第一张：本课时教案的例4（记作 8.4.3 A）第二张：本课时教案的例5（记作 8.4.3 B）第三张：

2、本课时教案后面的预习内容及预习提纲.（记作 8.4.3 C）教学过程.课题导入师上节课我们学习了双曲线标准方程的求法，具有实际意义的问题的求解方法，请同学们回忆一下，解具有实际意义的问题的关键是什么？生解具有实际意义的问题，关键是把它抽象成数学问题，将已知条件转化成数学语言 .师中心在原点， 焦点在坐标轴上的双曲线有几条准线？它们有什么特征呢？生有两条准线，都垂直于实轴且关于虚轴对称.师对于双曲线、椭圆，无论其中心在哪里，双曲线都有六线四点四个不变量，椭圆都有四线六点四个不变量，那么对于焦点在同一条坐标轴上，标准方程表示的双曲线与椭圆，线点不变量从形式上看哪些是相同的，哪些是不同的？生除了曲线

3、独有的，其余都是相同的，即从形式上看，有四线四点四个不变量是相同的 .双曲线的两条渐近线是独有的，椭圆的短轴的两个端点是独有的.师好！同学们对椭圆、双曲线的基本特性已经掌握，下面，我们来看几个综合性的题目 .（打出投影片 8.4.3 A）第1页共7页.讲授新课例 4过点（ 0， 3）的直线 l 与双曲线 x 2y 21 ,只有一个公共点，求直线43l 的方程 .分析：直线 l 满足两个条件： 一是过点 （0，3），二是与双曲线只有一个公共点，可以利用点斜式设出l 的方程，再利用与双曲线只有一个公共点，确定直线的斜率.从而求出直线l 的方程，但是直线l 与双曲线只有一个公共点，怎样反映呢？生直线

4、与双曲线只有一个公共点，说明直线方程与双曲线方程组成的方程组只有一组解 .师怎样判定方程组只有一组解呢？生联立直线方程与双曲线方程，消元，整理成只含有某一个变量的一元二次方程，看的情况即可，当=0时，方程有两组相同的实数解，实质上方程组解的个数只有一个，说明直线与双曲线只有一个公共点.师这时直线与双曲线的位置关系怎样？生相切 .师好！直线与曲线相切时只有一个公共点，但只有一个公共点的直线与曲线一定相切吗？（学生思考，有相当数量的学生说一定相切，这时教师再予以启发）师考虑一下与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有几个交点？生一个公共点，只有一个公共点.师那么能不能说直线与双曲线只有一个公共点，这条

5、直线就一定与双曲线相切吗？生不能 .师那么直线平行于双曲线的渐近线时，把直线方程与双曲线方程联立，消元，整理成的一元方程有什么特点呢？（学生动手探索）生消元整理成的方程是一元一次方程.师好！一般地，直线和二次曲线的位置关系，可通过讨论直线方程与二次曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y（或 x） .若得到关于变量 x(或 y)的一元二次方程， 考虑该一元二次方程的判别式，则有： 0直线与曲线相交（有两个公共点）=0直线与曲线相切（有一个公共点） 0直线与曲线相离（没有公共点）若得到关于变量 x（或 y）的一元一次方程，则直线与曲线相交（只有一个公共点），这时直线平行于

6、双曲线的渐近线或后面我们将要学到的抛物线的对称轴或平行于对称轴的直线 .（为后面的学习在这里打下伏笔）第2页共7页下面请同学们将这个题的求解过程写出来.（一位同学到黑板上做）生解：设直线l 的方程为y=kx+3将其代入双曲线x 2y241 中，得3x 2( kx 3)2431化简整理，得（ 3-4k2 ）x2 -24kx-48=0当 3-4k2 0时，22=(-24k) -4(3-4k )( -48)= -192k2 +576=0 k2=3即 k= 3 时，直线与双曲线只有一个公共点当 3-4k2=0 时，即 k= 3 时，直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线2也只有一个公共点.所求直线

7、l 的方程为：y= 3 x+3 或 y= 3x+32师对联立方程，消元后得到的一元方程，由于二次项系数含有变量k，绝对不敢忽略讨论，否则将导致解的不完整.我们继续看一个题目.（打出投影片 8.4.3 B）例 5已知 l 12是过点 P（-2 ，0）的两条互相垂直的直线，且12与双、 ll 、 l曲线 y2-x2=1 各有两个交点，且分别为A1、 B1 和 A2、 B2.（1）求 l 1 的斜率 k1 的取值范围；（2）若 A1 恰是双曲线的一个顶点，求 |A2B2|的值 .分析：本题涉及了两个基本问题：一是直线与双曲线相交于两点的判定问题，二是直线被双曲线截得的弦长问题（连结曲线上两点的线段叫

8、曲线的弦）.前一个问消元第3页共7页直线方程题的思想是：直线与双曲线相交于两点方程组有两解一双曲线方程元二次方程有两个不等的实根判别式 0;后一个问题的通常解法是不求交点坐标，当方程组经过消元化为一元二次方程后，利用一元二次方程根与系数的关系来解答，即|AB|=(x1x2 )2( y1y2 ) 2=1k 2( x1x2 )24x1 x2(其中 k 为直线的斜率)解：（ 1）据题意， l 1、 l 2 的斜率都存在因为 l 1 过点 P（-2 ， 0），且与双曲线有两个交点，故方程组yk1 ( x2)( k1 0)y 2x21有两个不同的解，在方程组中，消去 y，整理得(k12-1)x2+22

9、k12x+2k12 -1=0若 k12-1=0 ，直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个交点，与题设矛盾.故 k12-1 0,即 |k1| 方1,程 的判别式为：1=(22 k12)2-4(k12-1)(2k1 2-1)=4(3k12-1)设 l2 的斜率为k2，因为l 2 过点 P（ -2 ， 0），且与双曲线有两个交点，故方程组yk2 ( x2)( k2 0)y 2x21有两个不同的解，在方程组中消去 y，整理得（k22-1） x2+22 k22x+2 k22-1=0同理有 k22-1 0, 2=4(3k2 2-1)因为 l 1l 2,所以有 k1k2=-1,于是 l1、l 2 与双曲

10、线各有两个交点的充要条件是：第4页共7页3k12103k2210k1k21k11k2133解得 3k1k11k1(-3 ,-1) (-1,-3) ( 3,1) (1, 3 )33(2)双曲线 y2-x2=1 的顶点为（ 0，-1），（ 0， 1），取 A1(0,1)时有：k1(0+2 )=12解得 k1=2k2=-1代入方程 得2k1x2+42 x+3=0l2 与双曲线的两个交点A2（ x1 ,y1）、 B2(x2,y2),则 x1+x2=-4 2 ,x1x2=3|A2B2|=1 k 2( x1 x2 ) 24x1 x23( 42) 212215当取 A1(0,-1)时，由双曲线y2 22 2

11、-x=1 关于 x 轴对称知 |A B |= 2 15l1 过双曲线的一个顶点时，|A2B2|= 2 15第5页共7页注意：直线方程与双曲线方程消去y 后，得 (k12-1)x2+22 k12x+2 k1 2-1=0 ，绝对不能忽视对 k2-1 是否为零的讨论 .仅仅从形式上认为是二次方程而去谈论和根与系数的关系是毫无意义的，所以在解题过程中用反证法证一下k12-10是非常必要的 .课堂练习已知直线 l 和双曲线交于 A、 B 两点，和双曲线的渐近线交于C、D 两点 .求证： |AC|=|BD |证明：若直线 l 平行于坐标轴， 则根据图形的对称性，|AC|=|BD |显然成立 .2一般情况下

12、，设l 的方程为 y=kx+m(k2b 2 )，双曲线 a方程为 b2x2-a2y2=a2b2,渐近线方程为b2x2-a2 y2=0.ykxm由 b2 x 2a 2 y 2a 2b2 得(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0x1+x2=2a 2 kmb 2a2 k 2AB 中点 M 的横坐标 xM=2a 2 km2a 2 k2bykxm由a 2 y 2得b2 x20（ b2-a2k2） x2-2a2kmx-a2m2=02a 2 kmx3+x4=2a2 k 2bCD 中点 M的横坐标 xM=a 2 kma 2 k 2b2xM =xMM 和 M在同一条直线上M 和 M重合|AC|=|BD|.课时小结第6页共7页本节课我们讨论了两个综合题， 同学们要从中学会分析问题、解决问题的方法，并从中受到解综合题的启示，通过多练习，提高自己的综合能力.课后作业（一）目标与检测