高三数学教案函数的单调性与奇偶性

1、数学 (第 二 轮 )专题训练第三讲 :函数的单调性与奇偶性学校学号班级姓名知能目标1. 了解函数的单调性的概念, 掌握判断一些简单函数的单调性的方法.2. 了解奇函数、偶函数的意义 .综合脉络1. 与函数单调性、奇偶性相关的知识网络2. 函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为 D, 则 xD 时xD ) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件奇函数的图象关于原点对称, 在原点的两侧具有相同的单调性; 偶函数的图象关于 y 轴对称, 在原点的两侧具有相异的单调性.单调性是函数的局部性质, 函数的单调区间是定义域的子集,即函数的增减性是相对于函数的定

2、义域中的某个区间而言的, 函数单调性定义中的 x 1 、 x 2 相对于单调区间具有任意性 .讨论函数的增减性应先确定单调区间, 用定义证明函数的增减性, 有“一设 , 二差 , 三判断”三个步骤 .复合函数的单调性 :(1)若 yf ( x ) 是 m, n 上的增函数 , 则 yf g(x )(2)若 yf ( u) 是 m, n 上的减函数 , 则 yf g(x )的增减性与的增减性与u g( x ) 的增减性相同 ;ug( x ) 的增减性相反 .( 一 )典型例题讲解:例 1. 函数 f (x) | x | 和 g (x) x (2 x )的递增区间依次是()A. (, 0, (,

3、1 B. (, 0,1,) C. 0,), (, 1 D. 0,), 1,)例 2. 已知 a、b 是常数且a 0, f (x)ax 2bx , 且 f (2)0 , 并使方程 f (x )x 有等根 .(1) 求 f (x ) 的解析式 ;(2) 是否存在实数m、 n (mn) , 使 f (x ) 的定义域和值域分别为 m, n 和 2m, 2n ?第 1页共6页例 3. 已知 f (x) 为偶函数且定义域为 1,1 , g( x) 的图象与 f (x ) 的图象关于直线 x1对称 ,当 x 2,3 时 , g( x)2a(x2) 3(x 2)3, a 为实常数，且 a9.2求 a .(1

4、) 求 f ( x) 的解析式 ;(2) 求 f ( x) 的单调区间 ;(3) 若 f (x ) 的最大值为 12,( 二 )专题测试与练习 :一. 选择题x11x2lg 1x1.以下 4 个函数 : f ( x ) 2x1 ; f (x); f ( x )2 ; f (x ).x11 x1x其中既不是奇函数,又不是偶函数的是()A. B. C. D. 2.已知函数 f ( x) x 2lg (xx 21 ),若 f (a) M, 则 f ( a)等于()A.2a2MB. M 2a2C.2Ma2D. a22M3.设 yf (x) 是定义在 R 上的奇函数 ,当 x 0 时, f (x) x

5、22 x,则在 R上 f (x) 的表达式为()A.x (x2)B.x ( | x | 2 )C.| x | ( x 2 )D. | x | ( | x | 2 )4.二次函数 f (x ) 满足 f (2 x )f (2x ) ,又 f (x) 在 0, 2 上是增函数 ,且 f (a) f (0),那么实数 a 的取值范围是()A. a 0B. a 0C. 0 a4D. a 0 或 a45.函数 y ax 在 0,1 上的最大与最小值的和为3, 则 a 等于()A.1B. 2C. 4D.1246.函数 f (x ) ax 3(a1)x 248(a2) xb 的图象关于原点成中心对称, 则

6、f (x) 在 4, 4上的单调性是()A.增函数B.4,0 上是增函数 , 0, 4上是减函数C. 减函数D.4,0上是减函数 , 0, 4上是增函数二. 填空题7.定义在 2, 2 上的偶函数 g (x), 当 x 0 时 g (x)单调递减 , 若 g (1 m) g (m ) , 则 m 的取值范围是.8.要使函数 y x 22bx 5 在 (2,3) 上为减函数 ,则 b 的取值范围是.9 . 已知 f (x ) lg (x 28x7) 在 (m, m1) 上是增函数 , 则 m 的取值范围是.第 2页共6页2x10.函数 y( x ( 1,) ) 图象与其反函数图象的交点坐标为.1

7、 x三.解答题11.用定义判断函数x 21, x(0,)f (x ) 的奇偶性x 21,x(, 0)12. 设奇函数f (x ) 的定义域为 R , 且 f ( x 4)f (x ) , 当 x4, 6 时 f (x) 2x1, 求 f (x )在区间 2, 0 上的表达式 .13. 函数 f (x ) 对任意的m、 n R, 都有 f (m n ) f (m) f (n) 1, 并且 x 0 时 , 恒有 f (x ) 1.第 3页共6页(1) 求证 : f (x ) 在 R 上是增函数 ;(2 )若 f (3 ) 4, 解不等式f ( a2a5 ) 2.14. 已知函数 f ( x )x

8、22x1, g(x )b f f (x1)(3b1) f (x1)2 在区间(,2) 上是减函数 , 且在区间 ( 2, 0) 上是增函数 , 求实数 b 的值 .函数的单调性与奇偶性解答第 4页共6页( 一 )典型例题例 1 C.例 2 解 : (1)f (2) 04a2b0 , 由 f ( x) xax 2( b 1)x 0f ( x ) x 有等根 ,0(b1) 24a 04a2b0得 :a1 , b 1(b1) 24a02f (x)1 x 2x2(2)f ( x)1 x 2x1 x 2x1 ( x1) 211,22222则有 2n1 , n1 .241 x 2又二次函数 f (x )x

9、 的对称轴为直线x1 ,2m1n4 f (m)2m,解得 :m2, n0f (n)2n m2, n0 .例 3 解 : (1) 先求 f (x ) 在 1,0上的解析式设 (x,y) 是 yf ( x ) ( 1x0) 上的一点 ,则点 (x ,y) 关于 x1 的对称点为 (2 x , y) 且 2x 2,3所以 g( 2x )y 得 yf (x )3x 32ax ( 1x0) .再根据偶函数的性质, 求当 x(0, 1 上的解析式为 f ( x)3x 32ax (0x 1)所以 f ( x )3x 22ax,1x0.3x 32ax,0x1(2)当1x0 时 , f( x)9x 22a因 1

10、 x0时 ,所以 0 9x 29因 a9,所以2a9 , 所以9x 22a 0 而 f(x )0 . 所以 f (x ) 在 1, 0 上为减函数 .2f(x )9x 22a.因 0 x 12当时, 所以 99x00 x 1因 a9 , 所以 2a9 , 所以9x 22a 0 , 即 f (x ) 02所以 f ( x) 在 (0, 1 上为增函数(3)由 (2) 知 f (x ) 在 (0,1 上为增函数，在 1,0 上为减函数 ,又因 f ( x) 为偶函数 , 所以 f (0)f ( x ) f (1)所以 f ( x) 在 1,1 上的最大值 f (1)3 2a由32a 12 得 a1

11、5 .2( 二 )专题测试与练习第 5页共6页一.选择题题号123456答案AABCBC二.填空题7. 1, 1 );8.(, 3;9.1,3;10. (0,0),(1,1).2三.解答题11.解： 当 x0时， f (x )x 21( x 21)f ( x )x 21x0f ( x ) ( x) 21 x 21f ( x )f ( x) 在 (,0)( 0, ) 上为奇函数 .12.解：f (x4)f (x)T4 ,f (x ) 为奇函数 ,当 2, 0 时 ,0x 2 4x 4 6f ( x 4)2 x 41f ( x )f ( x)得:f ( x)2x41f (x)2 x 41,x 2,0.13.解： (1)设 x 1x 2 ,x 2 x 10 ,当 x0 时 , f (x)1,f ( x 2x 1 ) 1. f (x 2 )f ( x 2x 1 ) x 1 f (x 2x1 ) f ( x 1 ) 1f (x 2 ) f (x 1 ) f (x 2x1 ) 1 0f (x 1 ) f (x 2 )f ( x) 在 R 上为增函数(2)m,nR ,不妨设 mn 1f (11)f (1)f (1)1f (2)2f (1)1f (3)4f ( 21)4f (2)f (1)143f (1) 24f (1)2,f (2)2213f (a2a5)2f (1) ,f (x ) 在