高一数学教案：2.7.3对数的换底公式及其推论

1、课题： 2.7.3 对数的换底公式及其推论教学目的 ：1掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题2培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力；教学重点： 换底公式及推论教学难点： 换底公式的证明和灵活应用.授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：对数的运算法则如果 a 0， a1 ， M 0 ， N 0有：log a (MN)log a Mlog a N(1)log a Mlog aM log aN(2)Nlog a M nnlog aM(nR)(3)二、新授内容：1. 对数换底公式 ：log a Nlog m N1

2、 ， m 0 ,m1,N0)( a 0 ,alog m a证明 ：设log a N = x ,则 a x= N两边取以 m 为底的对数： log m a xlog m Nx log m a log m N从而得：log mNlog m Nx log a Nlog m alog m a2. 两个常用的推论 : log a b log b a 1， log a b log b c log c a1 log a m bnn log a b （ a, b 0且均不为1）m证： log a blg blg a1log b alg blg a logm b nlg b nnlg bn log a balg

3、 a mm lg am三、讲解范例：例 1 已知 log 23 = a ， log 3 7 = b,用 a, b表示 log 42 56第 1页共 4页解：因为 log 2 3 = a，则 1log 32 ,又 log 3 7 = b,a log 42 56log 3 56log 3 73log 3 2ab3log 3 42log 3 7log 3 21abb1例 2 计算：1log 0.2 3log 4 3log9 2log 14 3252解：原式 =555155log 0. 2 3log 511533原式 =1log 231log 325log 22153224442例 3 设 x, y,

4、 z (0,) 且 3x4 y6 z1求证111；2比较 3x,4y,6z 的大小x2 yz证明 1 ：设 3 x4 y6zk x, y, z(0,) k1lg k，ylg kzlg k取对数得： x，lg 6lg 3lg 411lg 3lg 42 lg 3lg 42 lg 32 lg 2lg 61lg k2lg k2 lg k2 lg klg kzx 2 y34lg 64lg 81lg k lg 6423x 4 y () lg klg k810lg 3lg 4lg 3 lg 4lg 3 lg 4 3x4 y46lg 36lg 64lg k lg9又： 4 y6z () lg k160lg 4

5、lg 2lg 6lg klg 2 lg 6lg 6 4 y6z 3x 4y 6z例 4 已知 log a x= loga c+b，求 x分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形第 2页共 4页式， b 的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式解法一：由对数定义可知： xalog a c balog a cabca b解法二：由已知移项可得 log a xlog a cb ，即 log axbc由对数定义知：解法三：xa bxc a bcb log a ablog a xlog a clog aablog a

6、c abxc a b四、课堂练习：已知log 189 = a ,18b= 5 ,用 a, b 表示 log 36 45解：log 189 = a log 18181log 18 2a log 18 2 = 1 a2 18b= 5 log 18 5 = blog 36 45log 18 45log18 9log 18 5ablog 18 361log18 22a若 log 8 3 = p ,log 35 = q,求 lg 5log 8 3 = p log 233 plog 2 33 p1解：log 3 23p又 log 3 5qlg 5log 3 5log 3 53 pqlog 3 10log

7、3 2log 3 513 pq三、小结本节课学习了以下内容：换底公式及其推论四、课后作业 ：1证明：log a x1log a blog ab x证法 1：设 log a xp， log ab xq ， log a br则： xa px(ab) qa qbqb a r a p(ab) qa q(1r )从而pq(1r ) q 0p1r 即：log a x1 log a b （获证）log ab xq第 3页共 4页证法 2： 由换底公式左边 log a xlog x ablog a ab 1 log a b 右边log ab xlog x a2已知 log a1 b1log a2 b2log an bn求证： log a1a2an (b1b2bn )证明：由换底公式lg b1lg b2lg bn由等比定理得：lg a1lg a2lg anlg b1lg b2