高一数学教案：4.1角的概念推广(二)

1、课题： 4.1 角的概念推广（二）教学目的：1巩固角的形成，正角、负角、零角等概念，熟练掌握掌握所有与角终边相同的角（包括角）、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示方法；2掌握所有与角终边相同的角（包括角）、象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；3体会运动变化观点，逐渐学会用动态观点分析解决问题；教学重点： 象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；教学难点： 终边在坐标轴上的角的集合表示；授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析 ：通过复习回顾，使学生进一步理解角的概念，象限角的概念. 通过具体的例子，使学生掌握终边在坐标轴上的角和终边不在坐标轴上的角的集合表示

2、以及符号语言的运用.教学过程 ：一、复习引入：1角的概念的推广“旋转”形成角BOA一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角 旋转开始时的射线OA叫做角的始边， 旋转终止的射线 OB叫做角的终边， 射线的端点 O叫做角的顶点“正角”与“负角”“ 0 角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角 ，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角 =210， =-150 ， =660，210 06600-150 0特别地， 当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角记法：角或可以简记成意义第 1页共 5页用“旋转”

3、定义角之后，角的范围大大地扩大了3还有零角一条射线，没有旋转角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角2 “象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴， 这样一来， 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）3终边相同的角结论 ：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：S|k 360 ,kZ即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和注意以下四点：(1) k Z(2) 是任意角；(3) k 3600 与 之间是“ +”号，如 k 3600 -30 ，应看成 k 3600 +(-30 ) ；(4)

4、 终边相同的角不一定相等， 但相等的角， 终边一定相同， 终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍二、讲解新课：例 1 写出终边在y 轴上的角的集合（用0 到 360 度的角表示）.解： 在 0 360间， 终边在 y 轴的正半轴上的角为90， 终边在 y 轴的负半轴上的角为 270，终边在 y 正半轴、负半轴上所有角分别是：S1= |=k 360 +90 ,kZ； S2= |=k 360 +270 ,kZ探究：怎么将二者写成统一表达式？ S1=|=k 360 +90 ,kZ= |=2k 180 +90 ,k Z；S2= |=k 360 +270 ,kZ= |=2k 180 +180 +

5、90 ,k Z= |=(2k+1) 180 +90 ,kZ；终边在 y 轴上的角的集合是：S=S1S2= |=2k 180 +90 ,kZ |=(2k+1) 180 +90 ,kZ= |=180 的偶数倍 +90 ,k Z|=180 的奇数倍 +90 ,kZ= |=180 的整数倍 +90 ,k Z= |=n 180 +90 ,nZ引申 ：写出所有轴上角的集合yyyOxOxOx第 2页共 5页 |=k 360 , k Z |=k 360 +180 ,k Z |=k 180 ,k ZyyyOxOxOx |=k 360 +90 ,k Z |=k 360 +270 ,k Z |=k 180 +90

6、,k ZyyyOxOxOx | =k 90 , k Z| =k 90 +45 , kZ | =k 45 , k Z(最后两个可以根据实际情况处理)例 2 用集合的形式表示象限角第一象限的角表示为|k 360 k 360 +90，（ kZ） ；第二象限的角表示为|k 360+90 k 360+180 ，（ kZ）；第三象限的角表示为|k 360+180 k 360+270，（ kZ） ；第四象限的角表示为|k 360+270 k 360+360，（ kZ） ；或 |k 360 90 k 360 ，（ k Z） 例 3 写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界 )解： .(1) 60 k

7、 360 255 k 360， k Z(2) 120 k 360 45 k 360， kZ例 4已知 是第二象限角，问2是第几象限角？2 是第几象限角？分别加以说明解：在第二象限， k 360+90 k 360+180 ， k Z于是，k 180 +45 k 180 +90 , kZ, k=2n 或 k=2n+12当 k=2n 时， n 360 +45 n 360 +90 ,在第一象限；22当 k=2n+1 时， n 360 +225 n 360 +270 , 在第三象限；22当 在第二象限时，可能在第一象限，也可能在第三象限2类似地， 2 可能在第三、四象限或y 轴负半轴上三、课堂练习：1.

8、若 360， ；B 180， ；第 3页共 5页C 90， ，则下列关系中正确的是()A. B. C. D. 2.若 是第四象限角，则180 是 ()A. 第一象限角B. 第二象限角C.第三象限角D. 第四象限角3.若 与 的终边互为反向延长线，则有 ()A. 180B. 180C.D.1） 180， （ 24.终边在第一或第三象限角的集合是.5.为第四象限角，则2 在6.角 45 90的终边在第象限 .参考答案：1.D2.C3.D4. k 180 90 k 180， kZ 5.第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上6. 一 二 三 四四、小结用集合的形式表示象限角以及轴线角（终边在坐标轴上

9、的角）（ 1）象限角：第一象限的角表示为 |k 360 k 360 +90，（kZ） ；第二象限的角表示为 |k 360+90 k 360+180 ，（kZ） ；第三象限的角表示为 |k 360+180 k 360+270，（ kZ） ；第四象限的角表示为 |k 360+270 k 360+360，（ kZ） ；或 |k 360 90 k 360，（ k Z） （ 2）轴线角：终边在 x 轴正半轴上的角的集合：|=k 360， k Z；终边在 x 轴负半轴上的角的集合：|=k 360 +180 ， kZ；终边在 x 轴上的角的集合： |=k 180 ， k Z；终边在 y 轴正半轴上的角的集合

10、：|=k 360+90 ， kZ；终边在 y 轴负半轴上的角的集合：|=k 360+270 ，kZ；终边在 y 轴上的角的集合： |=k 180 +90 ， k Z；终边在坐标轴上的角的集合： | =k 90 ，kZ5区间角：锐角： (0 ,90)，钝角： (90,180 )，注意区间 ( , )与 (k 360 + , k 360 + )的区别五、课后作业 ：1.写出与 370 23终边相同角的集合S，并把 S 中在 720 360间的角写出来 .2.在直角坐标系中作出角k18060 ，k Z ，k9060 ， kZ 角的终边 .3.写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界 )第 4页共 5页参考答案：1. 10 23 k 360， k Z在 720 360之间的角分别是10 23 349 37 70937 .2.3.(1) 45 k 180 90 k 180， k Z(2) 150 k 360 150 k 360， k Z六、板书设计（略）七、课后记：1.在 360， 1440中与 2116终边相同的角有 ()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个2.在 360， 1620中与 2116终边相同的角有 ()A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个3.角 45 180， 的终边落在 ()A. 第一或第三象限B.第一或第二象限C