高二数学教案：7.3两条直线的位置关系(一)平行与垂直

1、课题： 7.3 两条直线的位置关系（一）平行与垂直教学目的：1熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系2通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力3通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣教学重点：两条直线平行和垂直的条件王新敞教学难点：两直线的平行与垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题王新敞授课类型：新授课王新敞课时安排： 1 课时王新敞教具：多媒体、实物投影仪王新敞教学过程：一、复习引入：直线名称已知条件点斜式P1 ( x1 , y1 ), k斜截式k，b( x

2、1 , y1 )两点式（ x2 , y2 )截距式a,b一般式A、B、 CR直线方程使用范围示意图yy1k( xx1 )k存在ykxbk存在yy1xx1x1x2 , y1 y2y2y1x2x1xy1a0,b0abAxByC0A2B 20二、讲解新课：1特殊情况下的两直线平行与垂直当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0 时，一条直线的倾斜角为90，另一条直线的倾斜角为0，两直线互相垂直王新敞2斜率存在时两直线的平行与垂直设直线 l1 和 l 2 的斜率为 k1 和 k2 ，它们的方程分别是：l1 ： y

3、k1 xb1 ；l 2 ： yk2 x b2 两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征王新敞两条直线平行(不重合 )的情形yl 1如果 l1 / l 2 ，那么它们的倾斜角相等：12 ，l 2第 1页共 5页12Oxtan 1tan2 即 k1= k 2 反过来，如果两条直线的斜率相等，k1= k 2 ，那么 tan1 tan 2由于 0 1 180，02 180， 12 两直线不重合，l1 / l 2 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相

4、等，则它们平行，即l1 / l 2k1 = k2且 b1b2王新敞要注意， 上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提， 结论并不存立思考 1：已知直线 l1 、 l 2 的方程为 l1 ： A1 xB1 yC10，l 2 ： A2 x B2 y C 2 0 ( A1 B1C10, A2 B2C20)A1B1C1求证： l1 l 2的充要条件是A2B2C 2王新敞两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是k1 和 k2，则这两条直线垂直的充要条件是 k1 k 21 yyy用 倾 斜角 的 关l1l 2l 2l 1l1l 2系推导：如果11212Ox2x l1l 2 ，

5、Ox乙O甲丙这时12 ，否则两直线平行 王新敞设 12 ，甲图的特征是l1 与 l 2的交点在 x 轴上方；乙图的特征是 l1 与 l2 的交点在 x 轴下方； 丙图的特征是 l1 与 l 2 的交点在x 轴上，无论哪种情况下都有190 02 因为 l 1 和 l 2的斜率为 k1 和 k 2 ，即190 0，所以 200王新敞tan1tan(9002 )1k11或 k1k21 王新敞tan2 ，即k2k11k2 或 k1k2190 0l1l 2 反过来，如果12两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即第 2页共 5页k11

6、l 1k2k1k 21 王新敞l 2用向量关系推导：设直线l1 和 l 2 的斜率分别是 k1 和 k2 ，则直线 l1 有方向向量 a(1, k1 ) ，直线 l2有方向向量 b(1, k2 ) ，根据平面向量的有关知识，有a ba b 01 1 k1 k2 0即 l1l 2k1 k 21所以，如果两条直线的斜率分别是k1 和 k2 ，则这两条直线垂直的充要条件是 k1 k 2思考 2：已知直线 l1 和 l 2 的一般式方程为l1 ： A1xB1 yC10 ，l 2 ： A2 xB2 yC 20 ，则 l1l2A1 A2B1 B20 王新敞三、讲解范例：例 1 两条直线 l1 ： 2x 4

7、 y70 ， l 2 ： x2y 50 求证： l1 l 2y1 x7y1 x5证法一：因为 l1 ：24 ， l2 ：22所以 k1 = k2 且 b1b2 ， l1 / l 2 247证法二 : 125 ， l 1 / l 2例 2 求过点 A(1,4)且与直线 2x3y5 0平行的直线方程2解一：已知直线的斜率为3 ，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是y42(x 1)根据点斜式，得到所求直线的方程是3即2x 3y 100 解二：设与直线2x3y50平行的直线 l 的方程为2 x 3y0 (5) ， l 经过点A(1,4) ， 2 1 3 ( 4)0 ，解之得101 23 王新敞

8、第 3页共 5页 所求直线方程为2x3y100 注意： 解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； 解法二是常常采用的解题技巧。一般地，直线Ax By C0 中系数 A 、 B 确定直线的斜率，因此，与直线AxBy C 0 平行的直线方程可设为Ax By0(C ) ，其中 待定（直线系）王新敞例 3 求与直线 2x 3 y50平行，且在两坐标轴上的截距之和为56 的直线的方程解：设直线的方程为 2 x 3y0 (5) ，令 x0，则在 y 轴上的截距为b3 ；令 y0 ，则在 x 轴上的截距为a2 ，ab52x3y10 236 得1，所求直线方程为由例 4已知直线 (a2) x(1a) y30

9、与 (a 1) x (2a3) y2 0 互相垂直，求 a的值解 ： A1a2 ， A2a1， B11 a ， B22a3且两直线互相垂直 (a2)(a1)(1a)(2a3)0 ，解之得 a1 王新敞注意：若用斜率来解，则需讨论王新敞例 5求过点 A(2,1) ，且与直线2xy10 0 垂直的直线 l 的方程分析：一般地，由于与直线AxByC0 垂直的直线的斜率互为负倒数，故可得其方程为 BxAy0 ，这是常常用到的解题技巧（直线系方程）解：设与直线 2xy 10 0 垂足的直线方程为 x2y0直线 l 经过点 A(2,1) ， 2210，解得0王新敞故所求的方程为x2 y0王新敞四、课堂练习

10、：1求使直线 x2ay1和 2x2ay1平行的实数 a 的取值。（答案： a 0 ）第 4页共 5页2当 a 为何实数时，两直线x ay2a2 和 axya1平行？（ 答案： a 1） 王新敞3求直线 Ax2 y 10 和直线 6x4 yC 0 平行的条件A21分析： l1 l 2 64C平行的条件是A3 且 C 2王新敞4已知直线 l1： x ay2a20， l 2 ： ax y1a0 王新敞( )若 l1 l2，试求 a 的值； ( )若 l1 l 2 ，试求 a 的值 王新敞五、小结：1本节知识重点是掌握两条直线垂直的判断条件，并能熟练地判断；难点是对斜率的讨论， 即利用斜率判定两直线垂直时，要注意考虑斜率不存在时是否满