2018考研数学高数基础讲义

1、在线wwwkoolearncom考研数学网络课堂系列 目标 在线考研数学高数基础课程配套讲义 欢迎使用 在线 授课教师:张宇 引 言 熟记基本概念、定理、公式 掌握基本数学思想方法形成教学知识结构建立基础数学素养培养基本数学计算能力 上课教材 ),第一步:看表格,读教材 :,带你学系列 若自学第二步 看表格 做练习题 :第三步 研读经典例题选讲 带你学系列 )【注】张宇老师带你学系列就是同济七版里课后习题答案和精选的例题讲解,没有的同 学,有同济六版或者七版的课本即可,后附每章带你学里的表格,有需要的同学可以查看 核心考点综述 第一讲 极限 )定义 )性质 )计算 )应用 一、定义 函数极限

2、,当|xx| 时,有|f(x)A|limf(x)Axx 数列极限xnn 为自然数,n,省去“” ,N ,当nN 时,有|xn a|limxn an 【注】 )趋向方式种: xx,xx ,xxx,x,x,xx,xxX ,|x|XX ,xXX ,xX )f(x)的趋向方式 f(x)A, , ,|f(x)A|f(x),M , , ,|f(x)|Mf(x),M , , ,f(x)Mf(x),M , , ,f(x)M 【例】用定义证明 xi. limx x ii. limx x x 【分析】用定义证明极限式通常用下面两种方法:)反解不等式法.写出不等式|f(x)A|,从中解出|xx|或 x ,便可求得.

3、()由 定 义 , ,当 x ( x) 时,有 x x ,故,当|x ()| 时有 x ,证毕.x再如lim(x)x,当|x| 时,有 |x|x|x| 再如证lim(x)x,当|x| 时,有 |x|x|x| )适当放缩,再证明不等式.证limx x x (),X ,当xX 时,有 x .x 当|f(x)A| 较复杂,不易解出|xx|,|x|时,可考虑 |f(x)A|g (|xx|) ,g(|x|)g 一定要简单,从g (|xx|) ,g(|x|) 中解出|xx|,|x|即可. x ,取 X ,证毕. ()xx x若改写为n limn n ,N ,当nN 时,有 n nn nn ,取 N ,证毕

4、.n ( ) 二、性质(三大) 唯一性,若limf(x)A(),则A 唯一x若limxn a(),则a 唯一n【 】 a, Ilimex aarctan, a、I例 设 为常数 且x xx 存在 求 e 【分析】x :ex ,ex (ex ),arctanxI ax :ex , ex (ex ),arctan I ax ,即aaaI由唯一性I I , 注 ex ,limarctan;“”,ex【 】lxim 不存在 x 不存在 常见 不存在不存在存在 命题 x题型.局部有界性 若limf(x)A(),则M,当x时,|f(x)|M.x【证 】 ,x 时, f(x)A f(x) f(x)AA f(

5、x)A A A A M M 中学:|ab| a b aaan a a an【用】如: ( ) sinx在(,)内有界吗?f x x【分析】()若是f(x)是 a,b 的连续函数,则f(x)在 a,b 有界.()考研中,若f(x)是(a,b) 的连续函数,且limf(x),limf(x),则f(x)在 xaxb (a,b) 有界.【例】f(x) x sin(x) 在()区间有解. x(x)()xA(,) B(,)C(,)D(,)【分析】limxsin(x) sin()xsin(x) sin() xx(x)(x)局部保号性(保序性) (),lim ()xx(x)(x)()()若limf(x)A,则

6、当x时,f(x)x若limf(x)A,则当x时,f(x)x【证】,x,f(x)A Af(x)A 取,Af(x)A,若A,f(x),取A,A f() Ax f(x) 【用】limf(x)f(),且lim,则x是( )xxcosxA极大值点 B极小值点 C非极值点 D无法判断 【分析】 f(x) f(x),又f()limf(x)lim f(x) (cosx)cosxxxcosx、 三 计算( , , , )七种未定式(不定式) 使用工具 洛必达法则() a) 若limf(x),limg(x),xxf(x)b),lim ( ) f x)x(g x则f (x)limlim,右左xg(x) xg(x)如

7、P(同济六版上册习题第题) xsin验证limxx,但洛必达对其束手无策 .存在sinx【分析】原式limx xsin ()xsinx x 再如P(同济六版上册习题第题),验证sinxx存在,但洛必达对其束手无策.limxx sinxxsinxlimlimxxx x泰勒公式 第一组: , 【例】lixm tanx sinx x sinx x ,()(见根号差用有理化)x tanxsinx tanx sinx tanx(cosx) 化简limxsinx limx x sinx【注】计算之前先化简:a) 恒等变形(有理化、加减乘除同一式子、提公因式等).b) 等价无穷小替换.c) 及时提出极限的因

8、式.ex ecosx 【例】lim,( )xxecosx (excosx )xcosxxsinxlim limlim xxxxxxcosxlimx x 【例】limlnxln(x).x 【分析】引例:求limxlnx,()原式lim xxlim limxlnxx x xlnx xlnxlimlimlnxxlim xx x xxx* “设置分母有原则,简单因式才下放”简单:x ,ex复杂:lnx,arcsinx,arctanx,第二组:a) 有分母,则通分 【例】 cosxlim( ),()xsinxxxsinxx cosxsinx limxlim xxxxsinxcosxlimxxb) 没有分

9、母,创造分母,再通分.【例】 lim x (ex ) x ,(),令x xtet ettlim lim t tett tt limt t 第三组:,U(x)V(x)eV(x)lnU(x), xx exlnxlimxlnxlimxx limexlnx ex e xx(xx )(exlnx )exlnx (lnx) 【例】 lim (x x )x ()x( )lim ln(x x ) x exlim ln(x x )ex x x e e lim x 【例】lim (tanx)cosxx ,( )sinx lim tanx ex cosxsinx ,( )ex sinxcosx elim secx

10、公式:limuv elimvlnu elimv(u)【注】近年来,数列极限的计算也是重点.)若xn 易于连续化,转化为函数极限的计算即可.【例】lim(ntan)n 改成(连续化)lim (xtan)x ,nnxx【解】记x 为连续变量,计算lim (xtan)xx x由“归结原则“:若limf(x)A (x 为连续变量) ,则limf(n)A(n 为自然数)nx )若xn 不易于连续化,考虑夹逼准则和定积分定义.【例】 ( lim n nn )nn(n)n nnin nnn(n)n nn in ni n n)xn 由递推式xn f且(x有上界)给,出.【TH】若xnlimx nn x 且有下

11、界, n n【例】设a,x ,x (x ),n,证明x收敛并求limxnn n nxnn四、应用连续与间断 原则 “任何初等函数在其定义区间内连续”,故只需研究两类特殊的点: 分段函数的分段点; 无定义点;(必间断) 连续的定义 若limf(x)f(x),则称f(x)在xx 处连续.xx (【注】lim f(x x)f(x) 是等价写法)x间断的定义 设f(x)在xx 点的某去心邻域有定义, limf(x)limf(x)f(x)xxxx)若limf(x)limf(x),称x 为跳跃间断点.xxxx)若limf(x)limf(x)f(x),称x 为可去间断点.xxxx )与)统称为第类间断点.)

12、、)至少一个不存在的条件下,)若limf(x)或limf(x),称x 为无穷间断点.xxxx)若limf(x)或limf(x)为震荡不存在,称x 为震荡间断点.xxxx)、)属于第I 类间断点.【例】 ,xln(ax)xarcsinx,设 (x) xfeaxxax,xxxsin a? 时,x是f(x)的可去间断点【作业】同济版高数上册习题第题 e (x)x x ,x,讨论 f(x) 在x 处的连续性e ,x 核心考点概述 第二讲 导数及其应用 定义计算 应用:中值定理和几何应用 一定义(牛顿) f(xx)f(x)f(x)f(x)limxx【注】 左右有别: f(x ),右导数 f xx f(x

13、)limxxx( ),左导数f(x),f(x)f (x)f (x)xt(广义化)( )f(xt)f(x)f xlimtt定义法中:一静一动,不可违反此原则 【例】P,(同济版高数上册第题)若f(x)为偶函数f(x),f()存在.证明:f()【分析】f() 凡是研究f(),首要考虑定义法若f(x)是可导的偶函数,则f(x)是奇函数【注】 若f(x)是可导的奇函数,则f(x)是偶函数 【例】P(同济版高数上册第题)设f(x)满足 ()f(xy)f(x)f(y),x,yR;()f(x)xg(x),limg(x)x 证明:f(x)存在且f(x)f(x)【例】设f(x)在x 处连续,且f(x)f(x)(

14、)存在limxx存在能否推出f二计算 复合函数 【例】yxx xx ex xx,x,求y 隐函数 方法:在F(x,y) 两边同时对x 求导,只需注意yy(x)(复合求导).【例】P,(同济版高数上册第题)求由yxey 所确定的隐函数的二阶导数dydx对数求导法 【例】P(同济版高数上册第题)x(x)y(x)对多项相乘、相除、开方、乘方得来的式子,先取对数再求导,称对数求导数 ()()()lnylnx lnxlnxy y xxxx(x) y ( )(x)(x) x x 反函数求导 【例】p(同济版高数上册第题)dx从 导出:dy ydxy();dy(y)dx ()(y)yy;dy(y)参数方程求

15、导. 【例】P(同济版高数上册第题)求参数方程所确定的函数的三阶导数xln(t)dyytarctantdx莱布尼斯公式 高阶导数找规律用数学归纳法展开式法 【例】yxsinx,求y()【分析】 莱布尼斯公式 n(uv)(n)u(n)v(n)n(n)k (nk) (k)(n)(n)(n)(n)(uv)(n) Cnuvu vnuvuvuvk常用以下公式(找规律,用数学归纳法证得的): (ax )(n)ax (lna)n,(ex )(n)ex(sinkx)(n)n( n)k sinkx (coskx)(n)n() ()(n) ()nk coskx n(n)!,xlnx nxln(x)(n)()n (

16、n)!,x(n )x( )(n)()nn!nxa(xa)【例】P(同济版高数上册第题)求f(x)xln(x)在x 处的n 阶导数f(n)(),(n)三微分中值定理 定理串讲 )涉及f(x)的定理 设f(x)在 a,b 连续,则:(有界性定理)M ,使|f(x)|M ,xa,b(最值定理)m f(x)M ,其中 M ,m 分别为f(x)在 a,b 上的最小、最大值 (介值定理)当m uM 时,a,b使f()u(零点定理)当在f(a)f(b)时,(a,b),使f().)涉及f(x)的定理(主体定理) 费马定理 设f(x)在设f(x )在xx罗尔定理 )可导 处 )取极值f(x ).)a,b 连续

17、设f(x)满足以下三条 )a,b()内可导( ), f af b则(a,b),使f()拉格朗日中值定理 )a,b 上连续ab设f(x)满足 )( , )f(b)f(a)内可导 ba,则 (a,b) ,使f()【注】若(a) (b) , 则() f(b)f(a)fff ba柯西中值定理 )a,b 连续 f ( ) f(b)f( ) a设( ), ( )满足)( ,)内可导,则 f x g x ab )( )g() g(b)g(a) g x 【】( ),f () f(b)f(a)作业 证明若取g x x.ba泰勒定理 任何可导函数f(x) anxn . ()带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式设在点x

18、的某区域内有n阶导数,则x 属于此区域,必有 (n)f (x)f(x)f(x)f (x )f(x )(x x )(x x ) (x x )n f(n)() ! n!(xx )n(n)! ()带佩亚诺余项的n 阶泰勒公式.设f(x)在点x 处n 阶可导,则xx,必有 (n)f (x)f (x)f(x)f(x )f(x )(xx )(xx )(xx )n (xx )n【注】 !n!拉氏用于证明佩氏用于计算 当x 时,泰勒公式又成为麦克劳林公式 也即:f ()( )()f(n)()f(x)f()xf n ( n)xnf()x!n!xn (n)!x微分中值定理有五大方面的使用 (一)涉及f(x)的定理

19、的使用:(有、最、介、零) b【例】设f(x)在 a,b 上连续,证明 (a,b) ,使f(x)dxf()(ba).bbabf(x)dx【分析】: f(x)dx 是一个面积值,即 f(x)dxf() aa三部曲:aba)m f(x)M (直接写)m uM (证) )f()u, a,b (直接写)(二)罗尔定理的使用:f(a)f(b)f()【引例】 设f(x)在,上连续,(,)内可导,f(),证明(,),使f()f()F(x)f()f() 【分析】如何寻找辅助函数F(x)成为关键方法一:求导公式逆用法由 (uv)uvuc可得 )取 uf(x),vx,记F(x)f(x)x F(x)f(x)xf(x

20、)(x) f(x)xf(x)则可证f() f()取 uf(x),vex ,记F(x)f(x)ex F(x)f(x)ex f(x)ex ex f)()(xxf则可证ef()f()取 uf(x),venx ,记F(x)f(x)enx F(x)f(x)enx f(x)enx nenx f()()xnx则f可证f()nf() )取 uf(x),ve(x),记F(x)f(x)e(x) F(x)f(x)e(x)f(x)e(x) (x)e(x)f(x)f(x)(x)则可证f()f()()【例】设 f(x)在,上连续,(,)内可导,且f() kxf(x)dx,k证明:(,),使() ( kxef )f() 方

21、法二:积分还原法三步:将欲证结论中的 改成x.移项,使等式一端为,则另一端即为辅助函数.【例】证明拉格朗日中值定理:() f(b)f(a)f ba【例】f:() f(b)f(a)证明柯西中值定理g() g(b)g(a)【例】设 f(x)、g(x)在a,b上二阶可导,g(x),f(a)f(b)g(a)g(b)证明:)g(x),x(a,b) a bf() f() ( ,),使()()g (三)拉格朗日中值定理的使用: f() f(b)f(a) a b ba将f 复杂化. 【例】 , ( ,)设f(x)在a,b上连续,(a,b)内可导,证明:(a,b),使bf(b)af(a) f()f() (ba)

22、给高阶条件低阶不等式. 【例】设f(x),f(),证明:x,x,有f(xx)f(x)f(x)给低阶条件高阶不等式 【例】设f(x)二阶可导,且f()f(),f() f(x)dx证明:(,),使f()【例】同济版高数总习题三第二题:设在,上f (x),则f (),f (),f()f()或f()f()几个数的大小顺序为( )(A)f()f()f()f()(B)f()f()f() f()(C)f()f()f()f() (D)f()f()f()f() 具体化f,由ab不等式 【例】P(同济版高数上册第 题)设ab证明aba abalnbb(四)柯西中值定理的使用: f( ) f(b)f(a)()()(

23、 )gg b g a【例】设 f(x)在a,b上连续,(a,b)内可导,f(x),f () eb ea证明:,(a,b),使f() bae【自练】设f(x)在a,b上连续,(a,b)内可导,ab,证明:,(a,b),使f()(ab)f() (五)高阶导数的证明问题_欲证f(n)(). 证 为f(n)(x)的极值点费马 对f(n)(x) 用罗尔.泰勒展开式.【例】 设f(x)在a,b上可导,f (a)f (b),证明(a,b),使f()【例】 f(x)在a,b上连续,(a,b)内二阶可导,又连接 A(a,f(a),B(b,f(b)两点的直线交曲线yf(x)于C(c,f(c),acb.证明(a,b

24、),使f() 【例】设f(x)在,上三阶可导,且f()f(),又F(x)xf(x),证明:(,),使f() 【自练】P,例f(x)在,上任意阶可导,且f(),F(x) (x)f(x),证明 (,),使 F()【注】 在区间上,若f(x)(n)阶可导,则 f(n)(x )(n)()f(x)f(x )f(x )(xx )(xx )n f (xx )n n!(n)! 四:导数的几何应用 极值与单调性 )极值定义 (广义的极值)若x 的某个邻域.使x该邻域,都有f(x)f(x )x 为f(x)的广义极大值点若x 的某个邻域. 使x 该邻域,都有f(x)f(x )x 为f(x)的广义极小值点(真正的极值

25、)若x 的某个去心邻域,使xx,x 该区域,均有f(x)f(x)x 为f(x)的真正极大值点若x 的某个去心邻域,使xx,x该区域,都有f(x)f(x )x 为f(x)的真正极小值点【注】同样的,有广义和真正的最值之分:)广义最值:设xI,xI,都有f(x)f(x)x,广义最大值点.设xI,xI,都有f(x)f(x)x,广义最小值点.)真正最值:设xI,xx,xI,都有f(x)f(x)x,真正最大值点.设xI,xx,xI,都有f(x)f(x)x,真正最小值点.)单调性与极值的判别 a) 若f(x),xI,则f(x)在I 上单调递增.b) 若f(x),xI,则f(x)在I 上单调递减. c) 若

26、f(x)在xx 处连续,在x 的某个去心邻域可导,当x (x,x ) 时f(x) ,当x (x,x) 时f(x) ,极小 则当 x (x,x ) 时f(x) ,当x (x,x) 时f(x) ,极大 (x) 在 (x 若f,x ) 与 (x ,x ) 内不变号不是极值 ffff【例】P(同济版高数上册第题)设f(x)在x处n阶可导,且(x ) (x )(n)(x ), (n)(x )则()n为奇数时x 不时极值点.f(n)(x )x极大 n() 为偶数时 f(n)(x )x 极小 【注】教材中写:设f(x)在x 处阶可导,f(x),f(x ) f(x)x 极小f(x)x 极大 此定理为上例中n的

27、特殊情形拐点与凹凸性 )拐点定义 连续曲线的凹弧与凸弧的分界点,叫拐点)凹凸性与拐点的判别,设f(x)在x 处阶可导,)若f(x),xIf(x)是凹的 )若f(x),xIf(x)是凸的 )若f(x)在x 点的左右邻域f(x)变号(x,f(x)为拐点 【例】P,例,设yf(x)三阶导数连续,f(x)f(x),f(x)证明(x,f(x)为拐点 【例】设yy(x)是yyyyecosx 满足y()y()y()的解,讨论x时yy(x)的性态【例】设y(x)(x) (x) (x),则其某一个拐点为( ) A(,)B.(,)C(,) D(,)渐近线 )铅垂渐近线 若limxx 或xxf(x),则称xx 为f

28、(x)的一条铅垂渐近线.)水平渐近线 若limf(x)A,则称yA 为f(x)的一条水平渐近线.x若limf(x)B ,则称yB 为f(x)的一条水平渐近线.x)斜渐近线 若lim f(x)(axb),x f(x)bf(x)则lim aalim(,且),blim f(x)axx xxx xx 若limf(x),且 ( ),则为一条斜渐近线alim f xax byaxb x xx x x)【例】曲线yex arctan(x)(x 的渐近线有()条 【分析】找渐近线,按程序走:找无定义点或定义区间的端点,考察limy(x)是否等于,xx 若是,则xx 为铅垂;若不是,则不是渐近线 考查limy(

29、x)是否等于常数,若是,则是水平渐近线,若不是,则转x ( )考查y x,且 ( )?( ),则为斜渐近线limalim y x axb yaxb x xx x【例】y (x) 有()条渐近线最值 ,f(x)x 驻点,是可疑点 若给出 a bx找出三类点(x)不不可导点,是可疑点,f, 端点ab比较f(x)、f(x)、f(a)、f(b)取其最大者为 M,最小为 m【注】若(a,b)内,端点考虑取极限即可【例】P,例()在yx 上的第一象限部分求一点P,过点P 作切线,使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小 核心考点: 定义计算应用 一定义 第三讲 一元函数积分学 不定积分 设f(x)定义在某区

30、间I 上,若存在可导函数F(x)使F(x)f(x)对xI 都成立,则称F(x)是f(x)在I 上的一个原函数若xI 使F(x)f(x),则F(x)不是f(x)在I 上的原函数记 f(x)dxF(x)C定积分 bN L 公式: (x)dxF(x)xbF(b)F(a)af变限积分(属于定积分范畴) xa( ftdt )xfx (ft dt)x给出求导公式: x () a() b()x( )(f(t)dt)x(x) (x)f (x) (x)(x)(x)x【例 】证 明 :若 f(x)在I 上连续 ,则F(x) f(t)dt 在I 上可导 ,且F( )f(x),x 其中 aa,xI 【分析】 ( )x()(前提:连续)x () f xdxf t dtC(ft dt)xf(x)aa连续函数必有原函数 【例】证明:含有跳跃间断点的函数f(x)没有原函数【分析】反证法 反常积分 b若定积分(常义积分)(x)dxa,b 有限 faf(x)在 a,b 有界 推广:破破坏坏 a(,b)在有限,性 上的有界性x(广义积分)反常积分无穷区间上的反常积分 abb a若存在,称收敛 ,若不存在 称发散()f(x)dx limf(x)dxb()f(x)dx limbf(x)dxa a 在线wwwkoolearncom考研数学网络课堂系列