第8章相对论简介

1、力学电子课件易 凡力学第八章相对论简介8.1牛顿力学和伽利略变换的困难一牛顿绝对时空观空间与物质及运动状态无关时间绝对，均匀，与空间无关伽利略变换x =y =x- vtyz =zt= t一牛顿绝对时空观n 两个假设存在与运动状态无关的时间，即t=t。在静止状态下校正同步的两个时钟，进入运动状态后依旧同步，读数、时率保持一致。任何给定的时间，空间两点之间的距离是绝对的，在静止状 态下校正的长度相等的两把尺子，进入彼此相对运动状态后，它们的长度仍然相等。例如一把尺相对参照系S静止，测得其两端A、B的坐标;xA , yA , zAxB , yB , zB长度L =BAA222BAB 保证同时是关键S

2、系相对S系沿x轴以v运动，相对S系，尺子随S一起沿x轴负向运动。必须在同一时刻，测得两端坐标x, y, z;x, y, zAAABBB长度L =BA222BABA二在作相对运动的各惯性系中的光速1.光速不是常量？根据伽利略变换式，速度是变量。速度满足叠加性v = v - u（u是S系相对S系的速度） 光速不是常量？将叠加性运用于作匀速运动V的光cR= c v，测量光速，应有（cR是光所测的光速）2.光速不是常量与电磁学理论不符“以太”（aether)传播光的介质由麦克斯韦方程组求得电磁波在真空中的光速=2.9979458108cm/s推论光速经伽利略变换变化表明麦克斯韦方程组对于伽利略变换不具

3、有“协变性”；电磁学定律与相对性原理不相容2.光速不是常量与电磁学理论不符不相容的原因相对性原理仅适用于力学，不适用于电磁学；存在广义的相对性原理，它适用于力学，也适用于电磁学， 两个惯性系之间的坐标满足伽利略变换，但麦克斯韦方程组不具有伽利略变换协变性，麦克斯韦方程组不是电磁学的基本规律；存在广义的相对性原理，它对力学、电磁学均适用。麦克斯韦方程组是电磁学的基本规律，但牛顿定律不符合相对性原理，要修改。三狭义相对论的实验基础1. 麦克耳逊莫雷实验没有测到“以太风”的影响，即无法测到地球相对“以太的运动；地球与绝对参照系无差别，或者找不到绝对参照系，绝对参照系不存在；光速没有可观测到的变化麦克

4、耳逊莫雷实验麦克耳逊莫雷实验原理当时认为光的传播介质是“以太”。由此产生了一个新的问题：地球以每秒30公里的速度绕太阳运动，就必须会遇到每 秒30公里的“以太风”迎面吹来，同时，它也必须对光的传 播产生影响。这个问题的产生，引起人们去探讨“以太风”存在与否。迈克耳孙莫雷实验就是在这个基础上进行的。1.实验装置如下：迈克耳孙莫雷实验实验装置麦克耳逊莫雷实验麦克耳逊莫雷实验原理当“以太风”的速度为0时，两束光应同时到达，因而相位相同；如“以太风”速度不为零，即装置相对以太运动，则两列光波相位不同。假设装置在以太中向右以速度运动，且从部分镀银的玻璃片到两面镜子的距离为L；向右的那一束光在向右的过程中

5、相对装置速度为c-v，花费的时间t1=L/(c-v)返回时速度为c+v，时间t2=L/(c+v)。1.LL总的时间是:t+t=+12c+vc-vn 迈克耳孙莫雷实验原理 而对于向上的那一束光，设它到达镜子所需的时间为t3，在这段时间里镜子向右移动了vt3，所以光走过的路程是一个直角三角形的斜边，于是有2222223L=(ct)-(vt)=(c-v)t33L即t=3c2 -v2 而返回时间与此相同，所以总时间2L2L2t=3c c2c2 -v21-v2 所以两束光的到达时间是不同的，会产生干涉条纹。n 迈克耳孙莫雷实验原理若实验中将干涉仪绕竖直轴旋转900，干涉仪的两条支路地位互换，滞后的时间差

6、和光程差改变符号，结果引起干涉条纹移动。 v22Dl2LlDN = 干涉条纹移动数 c 但实验没有观察到预期的结果，即“零”结果； 实验说明“以太”相对地球不动，找不到绝对静止参考系； 迈克尔逊实验的“零结果”，是建立相对论的前奏。迈克尔逊由于这方面的贡献，荣获1907年诺贝尔物理奖。2.极限速率牛顿力学观点粒子运动速度没有极限加速器对电子加速，实验结果 v=(2Ek/m)1/不成立2表1动能和速率的关系动能Ek(兆电子伏)测量电子速率(米/秒)计算速率v(=2Ek/m)1/20.52.601084.201081.02.731085.931081.52.881087.271084.52.961

7、0812.59108153.0010822.981083.实验得到的结论光速c在惯性参照系中是不变量c是能量传输的最大速率一个参照系的绝对速度无意义，只有相对速度才能由实验确定伽利略变换不能解释涉及高速率（接近c）的现象 E= 1 mv 22动能的牛顿定理在当v趋近c时失效k8.2狭义相对论：洛仑兹变换一爱因斯坦的基本假设1905年爱因斯坦发表了的论动体的电动力学，提出了狭义相对论的基本假设，归纳为：1. 爱因斯坦相对性原理物理学的定律在所有的惯性系中具有不变形式；2. 爱因斯坦光速不变原理自由空间，光的传播速度具有相同数值，与惯性参照系的运动速度无关在两个惯性系中所观察到的光波都是球面波二同

8、时性的相对性 相对S系为同时发生的两，相对S系则为非同时发生； 相对S系为同时发生的两，相对S系则为非同时发生。 同时性是相对概念，不是绝对概念。相对S系，BB和AA两同时发生，但两处发出的光信号不同时到达M相对S系，BB和AA两不同时发生，但两处发出的光信号同时到达M。相对S系，BB和AA两同时发生，但两处发出的光信号不同时到达M相对S系，BB和AA两不同时发生，但两处发出的光信号同时到达M三时间间隔的相对性设S系相对S系以速度v向右运动相对S系静止的光信号钟发出光信号，经反射镜M反射后被接收，其发光与接收这两发生在同一地点。两经历时间为：t - t = Dt = 2L = 2L21cc三时

9、间间隔的相对性相对S系:光发出信号与光被接收两的时间t满足发生在不同地点，两经历22 1 1cDt = L2 + vDt 2 2Dt 2L / ct- t= Dt =由此得211 - v2 / c21 - v2 / c2v Dt 三时间间隔的相对性对S静止的时钟，从S中的观察者看来，是走慢了。反S静止的时钟，从S中的观察者看之，同样可以证明对来，是走慢了。这就是说，在一个惯性系中，运动的钟比静止的钟走得慢。相对观察者运动的时钟变慢这种效应叫称为时间膨胀现象，或钟慢效应。因斯坦延缓，也三时间间隔的相对性n 时间膨胀的实验验证+介子要衰变为+介子和一个中微子。+介子在自身静止的参照系中，衰变前的平

10、均寿命为 2.510-8秒若产生一束速度v=0.9c的+介子，从实验室参照系看，介子的寿命将是+2.510-8Dt = 5.7 10-8(s) 0.9c 21- cDt2Dt 三时间间隔的相对性n 时间膨胀的实验验证通过实验求得+介子的平均寿命即可验证时间膨胀的正确性1941年，Rossi和Hall通过测量宇宙射线中的介子衰变速率与介子动量的关系，得到了与相对论相一致的结果。1969年，Greenberg等人测量了+介子的平均寿命，结果与相对论值在0.4%的精度内相符合。1971年，Ayres等人测量了飞行+介子的寿命，+介子的速度为0.92c，得到+介子的寿命为26.02+0.04（ms），

11、与相对论值在0.4%的精度内相符合。四长度的相对性n 相对性原理要求，当杆长方向与参照系间的相对运动方向垂直时，杆长与参照系无关；取轨道为x轴，一杆静止在车厢内，沿x轴放置，其两端分 别为A和B；在A和B处各放一个相对S系校正同步的时钟；A是规道上的固定点，并有一时钟位于此； 车厢以速度v相对S系（轨道）向右运动四长度的相对性n 相对S系，车厢以速度v向右运动当杆的B端过A点时，A钟读数为t1；当杆的A端过A点时，A钟读数为t2。S系的观察者测得杆长为l= v(t2- t1 )n 相对S系，轨道以速度v向左运动当轨道上A点过B端时，B处钟读数为t1;当轨道上A点过A端时，A处钟读数为t2。l

12、A点过B和A两点所经历的时间为- t =t 1v2四长度的相对性n 分析B和A通过A点是两个；相对于S系，两发生在同一地点；t2t1是固定在S系中的同一时钟测得的两是本征时间间隔的时间间隔，t2t1是在S系中不同地点的两个时钟测得的时间间隔，是非本征时间间隔由于时间膨胀t - t- t =2t 2111 - v2 / c2四长度的相对性于是得l = v(t2l = l - t) = v(t- t)1- v2 / c2121或应有l l 1 - v2 / c2 l是杆在相对静止的参照系（S系）中的长度 l是杆在相对运动的参照系中（S系）的长度 2L0这是错误的结论？ 设S系中测得车厢的长度为L

13、以上xA和xB不是同时测得，xB xA不等于车厢相对S系的长度 当光脉冲传到A端之后、传到B端之前，车厢向前运动了一段v（tBtA）距离xB - xA = L + v(tB - tA )即 L = x2L02L0 v2 / c2- x- v(t- t) =-BABA1 - v21 - v2 / c2/ c21 - v2 / c2= 2L= 2L1 - v2 / c2001 - v2 / c2L 0,运动的棒既收缩，又转向例8.6有两个惯性参照系S和S相向以速度0.8c相互接近，某时刻，S系中的观察者测得S系的原点O距S系的原点O的距离为1.8105m。如果从此时开始计时，试求S系中的观察者测得

14、OO重合的时间。【解】解法1，设S、S系的时空坐标分别为( x, y, z, t)( x , y , z , t )坐标轴对应平行，X与X重合S沿S系的X轴负方向以0.8c的速度运动 l0=1.8105m在S系中测得，是原长。 在S系中测OO距离1 - (u)2l = lc0 在S系中测OO重合的时间()2u-l1 l c0Dt =uu= 4.510-4 ( s)= 1.8 105 0.60.8 3 108n 解法2S系静止，S沿S系的X轴负方向以0.8c的速度运动原长和原时条件不满足Dxu由题意Dx = 1.8 105 mDt=据洛伦兹变换DxuDxDt - uDx -1 - (u)2= D

15、xc2c2uuDt =c)2)21 - (u1 - (uucc1.8 105= 4.510-4Dt =s0.8 3 1088.3相对论的速度与加速度变换一相对论的速度变换式一质点，相对S系的速度为u，在任意时刻x、y、zt，其空间位置为相对S系，该质点的时空坐标（据洛仑兹变换）x - vtt - (v / c2 ) xx =y = y,z = z,t =v2v 21 -c21-c2 对变换式微分dx - vdtdx =dy =dy,dz = dz,1- v2 / c2dt - vdx / c2于是得dt =1- v 2 / c2dx- vdt- vdx ux=uxdt - vdxvuxdt 1

16、-c2c2uyv2v2dy dy1-1-uy=vdxc2vuc2c2dt dt -1-xc2dx-vdtux- vdx =uxdt - vdx1- vuxdt c2c2uy1- v21- v2= dy =dy=uyvdxc2vuc2c2dt dt -1-xc2v2v2udz dz=1-=1-u zzdt - vdx1- vuxc2c2dt c2c2相对论速度变换式- v vuxux=ux1 -c 21 - v2uy=uyvuc21 -xc2 uv 2=1 -uzz1 -vuxc2c2相对论速度逆变换式+ vu=u xxvu1 + xc2uv 2=y1-uyvuc21- xc2uv 2=1-zu

17、zvuc21- xc2几点结论 若u和v比c小得多，则相对论速度变换式换式成经典速度变 若uc，则uc，表示在所有惯性系中光速相同 只要u c，vc，经变换后u cux0， 若相对S系，质点在垂直于x轴得平面内运动，即uy0，uz0，但经速度变换后得=-vux=1 - v 2uu/ c 2uyyy1 - v 2/ c 2uuuzzz 虽然横向的空间间隔并不存在收缩效应，但时间膨胀对速度的横向分量的影响依然存在二相对论的加速度变换式3 / 2v 21- c2= aaxx3vu1 + xc2v 2v 21-(uuy/ c) 1 - c222c- a=aayyx23vuvu1 +1 + xc2 xc

18、2v 2v 21-) 1 - c22(uuz / c2ca- a=azzx23vuvu1 +1 + xc2 xc28.4相对论的动量与能量一、相对论的动量为了保证在相对论的范围内，守恒定律仍有效，期望动量应具有一下性质：对于孤立的质点系内部发生的过程，如两质点碰撞，新动量应守恒；mu，mc时，新的动量应过渡到为质u当质点的速度点的质量一、相对论的质量与动量p = m(u)u设想新的动量为：研究两个质点的完全弹性碰撞质点A、质点B两个质点完全相同质点A相对S系沿y轴方向运动，速率u0质点B相对S系沿y轴负方向运动，速率u0使质点A和质点B碰撞，碰撞地点在共同的x轴上yyBu2= - u0x xu

19、1=u0A碰撞前，质点A相对S系的速度为：uAxuAy= 0,= u0碰撞前，质点B相对S系的速度为：= v,= -u01- v2 / c2uBxuBy碰撞后，相对S系，设质点A将沿y轴方向被弹回，在x方向仍无运动，质点A相对S系的速度为：uAxuAy= 0,= -u0碰撞后，相对S系，质点B仍只有y方向运动，速度为：= 0,= uuuBxBy0u1- v2c20yvv-u1- v2c2B0xA-u0u0据速度变换式，质点B相对S系的速度为：= v,= u1- v2/ c2uBxuBy0碰撞前，两质点的动量为： px py= m(uA )uAx + m(uB)uBx= m(uB )v= m(u

20、A )uAy+ m(uB )uBy= m(uA )u0 - m(uB )u01- v2/ c2式中= u2+ u2= u2u2AAxBy0= u2+ u2= v2 + u2 (1- v2 / c2 )u2BBxBy0碰撞后，两质点的动量为： px= m(uA )uAx + m(uB )uBx= m(uB)v py= m(uA )uAy + m(uB )uBy= -m(u A )u0+ m(uB )u01 - v2/ c2式中= u2+ u2= u2u2AAxBy0= u2+ u2= v2 + u2 (1- v2u2/ c2 )BBxBy0相对S系，碰撞前后的动量守恒，即有m(uB )v = m

21、(uB )vm(uA )u0 - m(uB )u01 - v2/ c2= -m(u A )u0m(uB ) = m(uB )+ m(uB )u01 - v2/ c2可得uB= uB故+ u2(1- v2/ c2 ) = v2+ u2 (1- v2/ c2 )v2即00u0= u0由此得将该结果代入前式，有m(u A )u0= m(uB )u01- v2/ c2m(uA ) = m(uB )1- v2 / c2m(uA )或m(u) =B1- v2 / c2若碰撞前，uA0，即 u0 0，此时，uB vm0上式为m(v) =1- v2 / c2 m0 称为静质量，m（v）为动质量相对论速度由动量守恒和洛仑兹变换可推导出：当质点相对惯性系以速率u 运动时，其质量为：m(u)物体对观察者有相对速度u时测出的质量m0物体在相对静止的惯性系中测出的质量该式也称作质速关系式m(u) =m01- u2 / c2相对论动量在相对论中，当质点相对惯性系以速率u运动时，