吴赣昌版高数第六章定积分的应用

1、第六章定积分的应用内容概要名称主要内容定积分的元素法定积分的元素法是一种简单记忆定积分（）三步骤的方法：1、将记为 2、将写为平面图形的面积直角坐标系X-型Y-型极坐标系体积旋转体体积已知平行截面面积的立体体积绕x轴旋转：已知垂直于x轴的平面截立体所得截面面积为,立体又被夹于和两平面间，则：已知垂直于y轴的平面截立体所得截面面积为,立体又被夹于和两平面间，则：绕y轴旋转：绕y轴旋转：平面曲线的弧长直角坐标参数方程极坐标：，；：，；物理应用：1、变力沿直线作功 2、水压力 3、引力课后习题全解习题6-2 1求由曲线与直线所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还

2、是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解： 见图6-2-101图6-2-1所围区域D表达为X-型：， （或D表达为Y-型：） （） 2求在区间0，/2上，曲线与直线、所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-20图6-2-21所围区域D表达为X-型：， （或D表达为Y-型：） （ ）3求由曲线与所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-304图6-2-3两条曲线的交点：，所围区域D表达为Y-型：，（由于图形关于X轴对称，所以也可以解为：）4求由

3、曲线、及直线所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-401图6-2-412第一象限所围区域表达为Y-型：，（若用X-型做，则第一象限内所围区域，其中：，：；）5求由曲线与直线及所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-501图6-2-521两条曲线和的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和分别交于 、所围区域表达为X-型：，6抛物线分圆的面积为两部分，求这两部分的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于X轴对称，而且在第一象限内的图形

4、表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为，剩余面积为0图6-2-602两条曲线、的交于（舍去的解）， 所围区域表达为Y-型：；又图形关于x轴对称， （其中） 7求由曲线、与直线所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-701图6-2-71两条曲线和的交点为（0，1），又这两条线和分别交于 和所围区域表达为X-型：，8求由曲线与直线及所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-801图6-2-8在的定义域范围内所围区域：，9求通过（0，0）

5、，（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y轴，且向下弯；（2）它与x轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为，（由于下弯，所以），将（1，2）代入，得到，因此 该抛物线和X轴的交点为和，所围区域：得到唯一极值点：，所求抛物线为： 10求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型解：，在任一点处的切线

6、方程为而过（0，0）的切线方程就为：，即所求图形区域为,见图6-2-100图6-2-10X-型下的：，：11求由曲线所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线是半径为、圆心（）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为，也可选择极坐标求面积的方法做。解：作图6-1-110图6-1-11知所求图形区域：12求三叶玫瑰线的面积知识点：平面图形面积图6-2-120思路： 三叶玫瑰由三瓣面积相等的叶片组成图6-2-12中所画是三叶玫瑰中的一叶，而一叶图形又关于对称，因此选择其中一叶的一半区域求其面积解：13求由曲线所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线围成的图形关于极轴对称

7、，因此选择其中一半区域求其面积图6-2-130解：14求对数螺线及射线所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线围成的图形是由，从到一段曲线及射线所围，由此可确定、的范围图6-2-140解：所围区域：15求由曲线及所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分，而又关于极轴对称，设在（0，）内的曲线和极轴围成的半个为区域图6-2-1503/2解：两条曲线、交于处，因此分割区域，其中：，：16求由曲线及所围图形的面积知识点：平面图形面积图6-2-160思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部

8、分，而又关于射线对称，设两条曲线在（0，）围成的半个为区域解：两条曲线、交于及因此分割区域，其中：，：（和书后答案不同）17求由摆线，及x轴所围图形的面积0图6-2-17知识点：平面图形面积思路：在直角坐标系下作图可知所围图形的、变化范围，先求出直角坐标系下积分表达式，再将积分变量代换成解：所围区域：， （为摆线）， 作代换，则习题6-31 求下列平面图形分别绕x轴、y轴旋转产生的立体体积：(1)曲线与直线、所围成的图形；01图6-3-1-14知识点：旋转体体积思路：作出平面图形（或求出该平面区域的、范围），代入相应的公式。解：平面图形D：，见图6-3-1-1绕x轴旋转产生的立体体积： ； 绕

9、y轴旋转产生的立体体积：(和书上答案不同)(2)在区间上，曲线与直线、所围成的图形；0图6-3-1-21解：平面图形D：，见图6-3-1-2，绕x轴旋转产生的立体体积： ；绕y轴旋转产生的立体体积：方法一：方法二：可看作由（矩形，）绕y轴旋转而成的体积，减去由（，）绕y轴旋转而成的立体体积所得(3)曲线与直线、所围成的图形。解：平面图形D：，绕x轴旋转产生的立体体积： ；绕y轴旋转产生的立体体积：（绕y轴旋转产生的立体体积如同（2）也有两种计算法）2求由曲线、所围成的图形绕y轴旋转一周所产生的旋转体体积。知识点：旋转体体积思路：该平面图形绕y轴旋转而成体积可看作：绕y轴旋转而成的体积，减去：绕

10、y轴旋转而成的立体体积所得，见图6-3-201图6-3-21解： 3求由曲线（）与x轴围成的平面图形绕y轴旋转一周所产生的旋转体体积。知识点：旋转体体积思路：作出平面图形（或求出该平面区域的、范围），代入相应的公式解：平面图形D：，绕y轴旋转产生的立体体积： （绕y轴旋转产生的立体体积如同1（2）也有两种计算法）4求由曲线，（）所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积。0图6-3-4知识点：旋转体体积思路：作出平面图形（或求出该平面区域的、范围），代入相应的公式解：平面图形D：，见图6-3-4，绕x轴旋转产生的立体体积： 5求摆线，的一拱与所围图形绕直线轴旋转而成的旋转体体积。知识点：旋转体体积图

11、6-3-50思路：若设所围区域为，则该平面图形绕旋转而成体积可看作矩形区域：绕旋转而成的体积，减去区域：绕旋转而成的立体体积所得，（其中，表示摆线的函数式，见图6-3-5解：，作代换，则6求绕（）旋转而成的旋转体体积。知识点：旋转体体积0图6-3-6线段思路：由图形的对称性可知所求体积，其中是由（）部分，绕旋转而成的旋转体体积，又根据元素法，是由图形中的线段（）绕旋转一周所得的圆柱面叠加而成，见图6-3-6解：7由心形线和射线及所围图形绕极轴旋转而成的旋转体体积。知识点：旋转体体积思路：极坐标中的此平面图形绕极轴旋转相当于直角坐标系下的该图形绕x轴旋转图6-3-708解：平面区域：（），见图6

12、-3-7心形线的直角坐标表示： （），根据直角坐标下的体积计算及，得： 8计算底面是半径为的圆，而垂直于底面上的一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积。知识点：已知平行截面面积的立体体积思路：首先以固定直径为x轴确立圆方程：，再求垂直于x轴的截面面积，然后代入公式。见图6-3-8图6-3-8解：以固定直径为x轴圆心为坐标原点，则圆方程为：，在圆内，垂直于x轴的截面面积，9求曲线与直线，及所围成的图形分别绕ox轴、oy轴旋转一周所产生的旋转体体积。知识点：旋转体体积思路：作出平面图形（或求出该平面区域的、范围），代入相应的公式解：平面图形D：，绕x轴旋转产生的立体体积： ；绕y轴旋转产生

13、的立体体积： （绕y轴旋转产生的立体体积如同1（2）也有两种计算法）10设直线与直线，及所围成的梯形面积等于，试求、，使这个梯形绕x轴旋转所得旋转体体积最小（，）。知识点：旋转体体积，以及最值问题思路：作出平面图形（或求出该平面区域的、范围），进而求出以为变量的旋转体体积，再求最小值。 解：梯形区域： ， 0 1由条件， ，得，习题6-41用定积分表示双曲线上从点（1，1）到点（2，1/2）之间的一段弧长。思路：曲线表达为（或）代入相应公式计算弧长解：，2计算曲线上相应于的一段弧的弧长。思路：曲线表达为（或）代入相应公式计算弧长解：，3计算曲线上相应于的一段弧的弧长。解：，4计算曲线（）的弧长

14、。解：，5计算抛物线（）从顶点到其上点的弧长。思路：抛物线表达为（或），代入相应公式计算弧长解：， （或通过公式计算）6证明曲线的一个周期（）的弧长等于椭圆的周长。思路：分别求出的弧长及椭圆的周长，求椭圆周长时采用参数式求解解： 的弧长 椭圆方程表达为：，；代入公式得弧长 7求对数螺线相应于自至的一段弧的弧长。思路：曲线是极坐标的表达式，因此代入公式解： 8求曲线相应于自至的一段弧的弧长。思路：曲线是极坐标的表达式，因此代入公式解： （其中）9求曲线，相应于自至的一段弧的弧长。思路：曲线是参数表达式，因此代入公式解： 习题6-51设一质点距原点米时，受牛顿力的作用，问质点在作用下，从移动到，力

15、所做的功有多大？知识点：微元法在物理上的应用思路：当变力沿直线作功，质点从至段所作功的微元。解：2某物体作直线运动，速度为，求该物体自运动开始到末所经过的路程，并求物体在前内的平均速度。知识点：微元法在物理上的应用思路：变速直线运动物体在至时间段内所经过路程的微元。解： （）；（）3直径为20cm，高为80cm的圆柱体内充满压强为的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？知识点：微元法在物理上的应用思路：设为压强、体积为，根据物理学原理，当温度不变时压强和体积成反比，因此当圆柱体的高为时，。解：压力=压强面积，当圆柱体的高为时压力，功的微元 4半径为的半球形水池充满了水，要

16、把池内的水全部吸尽，需作多少功？知识点：微元法在物理上的应用思路：设半球形水池的方程为（），见图6-5-4，则将至薄片体积的水吸出，克服重力所作的功为，（是水的比重，可取1）0图6-5-4解： ，5设有一半径为，长度为圆柱体平放在深度为的水池中（圆柱体的侧面与水面相切），设圆柱体的比重为，现将圆柱体从水中移出水面，问需要作多少功？知识点：微元法在物理上的应用思路：设圆柱体的方程为，见图6-5-5，则将至段薄圆台为底高为的柱体移出水面，浮力减重力所作的功为，另外，因要求整个柱体出水，因此该部分还需在空中移动距离，该部分的功0图6-5-5解：， 6有一闸门，它的形状和尺寸如下图所示，水面超过门顶2

17、m，求闸门上所受的水压力。知识点：微元法在物理上的应用思路：由物理知识可知，水深处的压强为，（为水的比重）以门顶中心为原点向下建立x轴，见图6-5-6，则在至段门条上所受的水压力为232图6-5-60解：， 7洒水车的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如上图所示，当水箱装满水时计算水箱的一个端面所受的压力。知识点：微元法在物理上的应用思路：设椭圆方程为，见图6-5-7，则在至的一条端面上所受的水压力为241.5图6-5-7解：，8以等腰梯形闸门与铅直平面倾斜角置于水中，其闸门顶部位于水面处，上下底宽分别为100m和10m，高为70m，求此闸门一侧面所受到的水的静压力。知识点：微元法在物理上的应用思路：以上底中心为坐标原点，垂直向下建立x轴，等腰梯形腰的方程则为：，见图6-5-8，因此在 至的闸门条带上，所受的静压力为100m70m10m0图6-5-8解：，（kg）9设一旋转抛物面内盛有高为cm的液体，把另一同轴旋转抛物面浸沉在它里面，深达cm，问液面上升多少？知识点：旋转体体积思路：设两个旋转抛物面、的方程分别为由yoz面上曲线和绕z轴旋转而成，见图6-5-9，可通过排开液体的体积和液面上升后增加的体积相等，计算液面上升的数值H图6-5-9解：高为的旋转面所占的体积，液面从上升至两个旋转抛物面所夹的体积：，由可得：，液面上升的高度为。10设有长度为、线密度为的均匀细直棒，在