第6章 重心和形心

1、1基础力（10）学主讲单位：力学教研室杨旭1第6章空间力系和重心6-1空间汇交力系的合成与平衡6-2力对点之矩与力对轴之矩6-3空间力偶系的合成与平衡6-4空间任意力系的简化 主矢6-5空间任意力系的平衡6-6重心和形心的坐标公式6-7确定重心和形心位置的具体方法2(10)内容提要6-6重心和形心的坐标公式6-7确定重心和形心位置的具体方法36-6重心和形心的坐标公式z物体重心概述：C 物体的重心DP2C根据合力矩定理：Mx (P) = Mx (DPi )DP1DPPiDPn zcy P = y DPziOCiiyyxccxiyixP = DPi物体的重力（重量）同理4：x= DPi xi C

2、P y= DPi yi CP6-6重心和形心的坐标公式z物体重心概述：C 物体的重心DP2CDP1DPPiDPnzczi由坐标的轮换性，得：OycyxcxiyixP = DPi物体的重力（重量）5z= DPi zi CP y= DPi yi CPx= DPi xi CP6-6重心和形心的坐标公式一、重心坐标的一般公式二、均质物体的重心坐标公式P = rgV, DP = rgDVi-物体的密度，则：均质物体的重心位置，完全决定于物体的几何形状,而与物体的重量无关。重心与形心位置是重合的。6x= r gDVi xi = DVi xi Cr gVVz= DVi zi CVy= DVi yi CVz=

3、 DPi zi CPy= DPi yi CPx= DPi xi CP6-6重心和形心的坐标公式三、均质等厚薄板的重心和平面图形的形心y均质等厚薄板的重心只与平面形状有关，DAx1y11而与厚度无关。均质等厚薄板的面积： A = AixiDAiCycOyixcx= DAi yi = AyC= DAi xi = AxC定义：平面图形对 x 轴的静矩：Sx平面图形对 y 轴的静矩：Sy平面图形对 形心轴 的静矩等于零。7x= ii DA xCAy= DAi yi CA6-6重心和形心的坐标公式四、均质等截面细杆（细线）xxi重心（形心）坐标公式为：dxl= Dli= x dx xixCll86-7确

4、定重心和形心位置的具体方法1.积分法；2.组合法；3.悬挂法；4.称重法。96-7确定重心和形心位置的具体方法一、对称判别法若均质物体具有对称面、对称轴、或对称中心，则重心一定位于相应的对称面、对称轴、或对称中心上。C10CCC6-7确定重心和形心位置的具体方法二、积分法均质物体重心和形心位置的公式为：= V= V= VxdV,ydV,zdVzyxCCCVVV平面图形形心位置的公式为：= V= VxdA,ydAxyCCAA11例6-1试求半圆的形心位置。ydy= 4RyC3pb ( y )yCx2R解：只须确定形心的 y 坐标b( y) = 2- y2R2dA = b( y)dy = 2- y

5、2 dyR212RydA2 yR2 - y2 dy4R y=A=0=CAp R223p6-7确定重心和形心位置的具体方法三、组合法当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每个组成部分的重心或形心的位置又已知时， 可按第 6 节中得到的公式来求它们的重心或形心。这种方法称为组合法。136-7确定重心和形心位置的具体方法三、组合法例6-2求图示平面图形的形心。解： 取坐标如图，且把平面图形分为 1 和 2 两部分。y5mA1= 5 15m2C1( 2.5 , 7.5 ) ,C2 ( 12.5 ,2.5 ) , A2= 15 5m2ox20m14y= 515 7.5 +15 5 2.5 = 5mC51

6、5 +15 5x= 515 2.5 +15 512.5C515 +15 5= 7.5mC1C(7.5m,5m)C25mx= DAi xi CAy= DAi yi CAy5m四、积法A：C1(10,7.5)C2BA= 2015 = 300m2ACC111CB：C2(12.5,10)xA= -1510 = -150m2 o220mA = A + A= 150m212 yi DAi= xi DAi= 10300 +12.5(-150) = 7.5m150xyC = 5mCAA注意：若坐标系选取的不同，重心的坐标值不同，但重心在物体中的位置保持不变。155m例6-3求图示截面的形心位置。yx8096解

7、：（1）利用对称性，建立坐标系。180（2）计算形心坐标 C（0，yC） Ai yi160yC =4040A采用积法，求形心位置。= 260 240(-130) -160180(-170) = -96mmyC260 240 -160180166-7确定重心和形心位置的具体方法五、悬挂法以薄板为例，只要将薄板任意两点A和B依次悬挂， 画出通过A和B两点的铅垂线，两条铅垂线的交点即为重心C的位置，如图。想一想，为什么？两力平衡ABBAC176-7确定重心和形心位置的具体方法六、称重法对较笨重、形体较为复杂的物体，如汽车，其重心测定常采用这种方法。思考题6-5y图示机床重 2500 N，现拟用“称重

8、法”确定其重心坐标。为此，在B处放一垫子，在A处放一秤。当机床水平放置时，A处秤上读数为1750N，当=20 时秤上的读数为1500 N。试算出机床重心的坐标。xAB186-7确定重心和形心位置的具体方法y2.4m思考题6-5F1解：（1）水平放置时xCCMB (F) = 0,PxC - F1 2.4 = 01750 2.4BFBAxP xC = 1.68m2500F2（2）斜放置时yxABPFB19 y= 2500 cos 20 1.68 -1500 2.4cos 20 C2500sin 20= 0.66m MB (F ) = 0,P cos 20 xC - P sin 20 yC - F2 2.4 cos 20= 0z讨论：物体的质心 C ？Dm1Dm2CDmnrc 质心坐标公式为：DmDm xirx=iiiCMOy= Dmi yiyM = mi质点系的质量CMxDm zz=iiCM20小结1.重心坐标的一般公式2.积分法求均质物体重心和形心位置的公式= V= V= VxdV,ydV,zdVzCyxCCVVV3.组合法求均质物体重心和形心位置利用对称性、积分法、分割法、积法。21z= DPi zi CPy= DPi yi CPx= DPi xi CP小结4.组合法（或积