有限元资料第3讲 梁单元

1、第2章杆单元与梁单元2.32.42.5简单梁单元（弯曲变形）平面内一般梁单元三维空间梁单元简介梁单元的单元特性梁单元的单元刚度矩阵离散结构的整体分析结构总刚度矩阵及其性质单元与节点局部坐标系下的平面梁单元单元刚度矩阵的坐标变换平面刚架的整体分析原理三维空间梁单元刚度矩阵第二章杆单元与梁单元2.3简单梁单元一、离散化，节点位移与节点载荷对图(a)直梁，根据结构和载荷情况，分为3段，每段为一个单元。单元之间和端点是节点。梁单元节点的 物理模型是“焊接”。梁上任一节点i处有2个位移分量： 挠度 fi 及转角qi。第二章杆单元与梁单元2.3简单梁单元一个节点位移用列阵表示为：f= fqd=iTqiii

2、i di 称为节点i的节点位移。对应节点位移分量，梁上任一节点i的载荷也有2项：横向力和弯矩，称为广义力。MiZi第二章杆单元与梁单元2.3简单梁单元结构上一个节点的载荷用列阵表示为：Z= M Q =TiZM iiii Qi 称为节点i的节点载荷。梁上若有分布载荷，可近似地等效到节点上。第二章杆单元与梁单元2.3简单梁单元二、单元特性分析建立简单梁单元的单元刚度方程1、单元的描述v分析一个从上述离散梁结构中取出的典型梁单元元长度l，弹性模量E，截面惯性矩为J。e。单v单元有2个节点，节点局部编号：i，j 。每节点有2个位移分量，单元共有4个位移分量4个自由度；第二章杆单元与梁单元2.3简单梁单

3、元v单元节点位移：d e= fTqqfiijjd e 称为单元e的单元节点位移列阵（向量）。结构中一个单元在节点处要受到结构其它部分对该单元的作用力，称为单元节点力。该单元每节点2个节点力分量：剪力q，弯矩m（分别与节点的2个位移分量对应）。v第二章杆单元与梁单元2.3单元节点力：简单梁单元pe= qTmqmiijjpe称为单元e的单元节点力列阵（向量）。v1)注意：如图所示，节点位移和节点力分量的正方向与单元局部坐标轴正方向一致。因此，节点力正方向与材料力学中内力正方向的定义不同！2)节点力是梁中的内力；节点载荷是梁结构在节点上受到的外力。第二章杆单元与梁单元2.3简单梁单元 2、单元特性（

4、方程）的建立v与杆单元类似，一个梁单元的变形是由节点位移决定的，对于一个受力平衡的单元，一定的节点位移总是与一定的节点力对应，这个关系就是单元的特性（刚度特性）。v下面根据材料力学和单元刚度矩阵元素物理意义建立梁单元特性。在弹性、小变形前提下，显然，单元保持平衡时节点力和节点位移之间有线性关系： qia14 fia11a12a13m qaaaaaaai = 24 i 212223 q fa34 j j313233m j a44 q ja41a42a43pe= k e d ev 简记为：梁单元的刚度方程第二章杆单元与梁单元2.3简单梁单元k e称为单元刚度矩阵，其中每个元素都是常数。 方便起见，

5、节点力和节点位移分量用新的符号表示，刚度方程为：为了求刚度矩阵元素，在上式中假设：刚度方程第1列刚度元数就是第1个节点位移分量为1，其他位移分量皆为0时所有节点力分量。第二章杆单元与梁单元s1 a11 s a 2 = 21 s a 3 31 s4 a41 u1 1 u2 0 = u3 0u4 0（这里1，2，3，4是单元自由度序号）s1 a11a12a13a14 u1 s aaaau 2 = 21222324 2 s aaaa 3 31323334 u3 s4 a41a42a43a44 u4 2.3 简单梁单元按上述物理意义求刚度矩阵元素：10梁单元位移= d e00按材料力学悬臂梁变形公式求

6、节点力如下：s l 3l 2su1 = 1 =- 1 2挠度：再由梁单元的静力平衡条件得：3EJ2EJs l 2s l= - 12EJu2 = 0 = - 1+转角： 2EJs= -s= a2EJ3131l 36EJ= 12EJ= ass4 = s1l - s2 = a41111l 36EJ联立解出：l 2s= a至此已求出刚度矩阵的第1列元素。221l 2第二章杆单元与梁单元s1 a11 s a 2 = 21s a 3 31 s4 a41 2.3简单梁单元0梁单元变形1= de再设：00由刚度方程可得：同理，由梁的变形公式和平衡条件可求得刚度矩阵的第二列元素：= 6EJa12l 24EJa=

7、22l第二章杆单元与梁单元a= - 6EJ32l 2a= 2EJ42ls1 a11a12a13a14 u1 s2 a21a22a23a24 u2 s = aaaa 3 31323334 u3 s4 a41a42a43a44 u4 s1 a12 s a 2 = 22 s a 3 32 s4 a42 2.3简单梁单元同样的方法可以求出其余2列元素，从而求出单元刚度矩阵：-12- 6l 12- 6l 126l 4l 2- 6l2l 26l2l 26lEJk e =-12- 6ll 34l 26l显然，与弹簧和杆单元一样，该梁单元的刚度矩阵具有如下性质：1） 对称性；2） 奇异性；3） 主对角元素恒正

8、。v刚度矩阵求得后，单元特性就完全确定：第二章杆单元与梁单元pe= k e d e2.3简单梁单元 3、单元刚度方程的分块v采用矩阵分块方法和运算规则，对梁单元的刚度方程按节点进行分块。单元节点位移列阵分块：单元节点力列阵分块：eedp diiee= = pd j pj 上面每一子块均为21子列阵。分块形式的单元刚度矩阵：ekij kiik= kekjj ji每一子块均为22子矩阵第二章杆单元与梁单元pe = k e d e2.3简单梁单元因此，单元刚度方程分块形式表示为：v将上式按分块矩阵乘法展开，得两个矢量方程（共4个代数方程）：d+ ke dep = k eeeiiiiijjpe= ke

9、 de + ke djjiijjej从上面方程可以看出梁单元刚度矩阵子块的物理意义：相关节点位移对对应节点力的贡献。v第二章杆单元与梁单元 pekk e de iiiiji= p j k jik jj d j pe= k e d e2.3简单梁单元v 上面按分块形式表示的单元刚度方程节点力节点位移关系在整体分析中集成单元特性时更加简洁，在有限元法中广泛采用。第二章杆单元与梁单元2.3简单梁单元三、梁离散结构的整体分析 首先获得分块形式的各单元刚度方程：11 d1 pkk1 = 11121 k22 d 2 p2 k2122 d2 pkk2 = 22232 k33 d 3 p3 k3233 d3k

10、 pk3 = 33343 k44 d 4 p4 k43第二章杆单元与梁单元2.3简单梁单元 首先以离散结构各节点作为隔离体，以节点2为例，建立其平衡方程。单元节点力外载荷单元节点力的反作用力v节点2的受力分为两类：1） 外载荷：Z2 , M22） 单元（1）、（2）上节点力的反作用力：- q 1,-m 1,-q 2,-m22222第二章杆单元与梁单元单元节点力2.3简单梁单元v由节点2的静力平衡条件得： q21 q22 Z2Q2 = M2 = p2+ p212 = m+1m2 2 2节点2的外载荷=节点2对其所有相连单元的节点力之和（节点总内力）也就是节点2所受外载荷Q2要 分配到相连的单元上

11、。第二章杆单元与梁单元单元节外载荷点力单元节点力的反作用力单元节点力2.3简单梁单元v由前面给出的单元（1）、（2）分块形式单元刚度方程代入节点2的平衡方程：= k21 d + k d11111222p2 1= k d + k p d222222222233Q = p + p =12222k 1+ k2 )d+ k d + (d12k21122222233第二章杆单元与梁单元 p 2kk2 d22 = 2223 2 p3 k32k33 d3 p 1kk1 d11 = 1112 1 p2 k21k22 d 2 2.3简单梁单元v 同理，由节点3的平衡可得：Q = p2+ p =3333k2 d+

12、 (k2+ k )d + 3 d3k32233333344v 由节点1、4的平衡得：Q = p = k d + 1d 11k11111122Q = p = k d + d 333k44433444将上面4个节点的平衡方程合并，写成矩阵形式得：第二章杆单元与梁单元k1k100 d 1 Q1 1112dk1k1+ k 2k 20 2 Q2 21222223 = 0k 2k 2+ k 3k 3d3Q332333334 00k 3k 3 d4 Q4 43442.3简单梁单元上式简写为：Kd = Q结构（系统）有限元平衡方程d 结构节点位移列阵（ 8 1）QK 结构节点载荷列阵（ 8 1）结构总刚度矩阵

13、（88）第二章杆单元与梁单元k1k100 1112 = k1k1+ k 2k 20 K212222230k 2k 2+ k 3k 332333334 00k 3k 3 43442.3简单梁单元结构总刚度矩阵的讨论： 结构总刚度矩阵也可以由各单元刚度矩阵扩大到整体规模后叠加而成。单元刚度矩阵子块在扩大后矩阵中的位置按单元节点的整体编号安排对号入座。 总刚度矩阵中某些子块是多个单元刚度矩阵子块之和，表示对应节点发生单位位移时有限元离散结构抵抗这种变形的能力（ 刚度）是相关单元抵抗这种变形的能力（刚度）之和。第二章杆单元与梁单元2.3简单梁单元结构总刚度矩阵的讨论： 由于单元刚度矩阵在扩大和叠加过程

14、中，其具有的性质（对称、奇异、主对角元恒正）不变，因此结构总刚度矩阵仍然保持这些性质。 总刚度矩阵中有大量元素为0，因此矩阵具有稀疏性 非零元素沿主对角线呈带状分布（节点编号满足一定条件）。第二章杆单元与梁单元2.3简单梁单元 总之，从弹簧、直杆和梁结构有限元总刚度矩阵的特点可以归纳出结构有限元总刚度矩阵的性质如下：1） 对称性；2） 奇异性；3） 稀疏性；4） 非零元素带状分布第二章杆单元与梁单元2.3简单梁单元结构有限元平衡方程的讨论：平衡方程左边总刚度矩阵与位移列阵之积等于结构中各节点的总节点力（各节点对相关单元作用力之叠加）；因此，总刚每行各子块表征相应节点位移对该行对应节点总节点力的

15、贡献总刚子块的物理意义。第二章杆单元与梁单元k1k100 d 1 Q1 1112k1k1+ k 2k 20 d2 Q2 21222223 = 0k 2k 2+ k 3k 3d3Q332333334 00k 3k 3 d4 Q4 43442.3简单梁单元平衡方程右端是各节点外载荷，左端是由单元刚度矩阵叠加后与节点位移相乘得到的总节点力（节点总内力）。因此，系统有限元平衡方程表征了系统各节点所受外载荷与所受相关单元总节点力之间的平衡。结构有限元平衡方程可以叙述为：节点总内力 = 节点外载荷。第二章杆单元与梁单元k1k100 d 1 Q1 1112k1k1+ k 2k 20 d2 Q2 212222

16、23 = 0k 2k 2+ k 3k 3d3Q332333334 00k 3k 3 d4 Q4 43442.3简单梁单元对于特定结构，方程中必存在已知位移和相应的未知载荷（支反力），因此，平衡方程求解前必须进行约束处理，分离出关于未知位移的方程进行求解。然后再用求出的位移，通过剩余方程求出支反力。第二章杆单元与梁单元k1k100 d 1 Q1 1112k1k1+ k 2k 20 d2 Q2 21222223 = 0k 2k 2+ k 3k 3d3Q332333334 00k 3k 3 d4 Q4 43442.4平面内一般梁单元一、整体坐标系下的单元与节点模拟平面梁单元平面刚架单元变形特征节点载

17、荷分量拉压、弯曲组合节点位移分量节点自由度：3整体节点位移 d 整体节点载荷 Q第二章杆单元与梁单元ui d = v ii q i X i Q = YiiMi 2.4平面内一般梁单元二、局部坐标系下平面梁单元刚度方程单元描述：单元有2个节点：i，j局部坐标系下节点位移分量： 轴向位移：D横向挠度：fq转角：局部坐标系下节点力分量：轴向力： T横向剪力：q弯矩：m第二章杆单元与梁单元2.4平面内一般梁单元单元描述：单元有6个位移分量单元节点位移列阵：6个自由度单元节点力列阵：第二章杆单元与梁单元2.4建立单元刚度方程平面内一般梁单元v 在小变形假设下，梁的轴向变形和弯曲变形互不偶合。可以分别研究

18、两种变形模式下的刚度特性。v 因此，组合变形下的平面梁单元刚度方程可以由该局部坐标系下 的轴向变形刚度方程（相当于一维杆单元）和弯曲变形刚度方程（相当于简单梁单元）叠加而成：DiqiqDfifjjj第二章杆单元与梁单元2.4平面内一般梁单元v 上面刚度方程简写为：分块形式：其中：刚度矩阵一个子块：第二章杆单元与梁单元2.4平面内一般梁单元三、整体坐标系下刚度矩阵：坐标变换 局部坐标系下节点位移： 整体坐标系下节点位移： 节点位移矢量坐标变换：考虑到节点转角 qi 不变 cosj简写sin jcosj 00节点向量变换矩阵： f = - sin j010第二章杆单元与梁单元2.4平面内一般梁单元

19、 单元节点位移列阵的变换：简写d e = uTvqquviiijjj 单元节点力列阵的变换：单元坐标变换矩阵第二章杆单元与梁单元pe = PPmPPm Txiyiixjyjj节点力矢量与节点位移矢量满足相同的坐标变换关系。2.4平面内一般梁单元v单元刚度矩阵的坐标变换：将节点位移和节点力矢量坐标变换式代入局部坐标系下单元刚度方程：第二章杆单元与梁单元pe = T e T ke T e d epe= k e d eke = T e T ke T e 2.4平面内一般梁单元四、平面刚架的有限元整体分析平面刚架整体分析的原理与弹簧系统、桁架、直梁的整体分析相同。根据每个节点外载荷与结构的总节点力平衡

20、得到系统的有限元平衡方程，再引入约束条件后求解。总刚度矩阵由总体坐标下各单元刚度矩阵叠加得到：emK = k e=1Kd = Q系统平衡方程：第二章杆单元与梁单元2.5三维空间梁单元简介一、单元功能：模拟三维刚架二、单元特性分析基本思路与平面梁单元相同：先在局部坐标系下建立单元特性方程，再变换到总体坐标系下。局部坐标系下节点位移：总体坐标系下节点位移：d = uqqq= d ivwd eiiiixiyizid= d jqxjq yjqzju jv jwjj 单元有12个自由度第二章杆单元与梁单元2.5三维空间梁单元简介局部坐标系下单元刚度矩阵v 三维梁单元的变形模式为：轴向拉伸、2个主平面内弯曲、扭转变 形的组合。v 前面已经建立了局部坐标系下杆、简单梁的单元特性方程。利用材料力学中的扭转理论，按同样原理得到下列局部坐标系下单元的扭转刚度方程：v 由于在小变形条件下上述变形互不偶合，分别建立这三种变形的刚度特性后进行拼装就可得到局部坐标系下三维梁单元的组合刚度 特性。包括：一个拉压刚度矩阵、2个简单梁刚度矩阵、1个扭转刚 度矩阵。第二章杆单元与梁单元2.5三维空间