给排水管网系统第五章

1、第5章 给水管网水力分析5.1给水管网水力特性分析家给水管网中有两类基本水力要素：流量与水头，包括管段流量，管段压降、节点流量、节点水头等。在恒定流状态下，水力分析的数学含义就是解恒定流方程组，水力分析的工程意义就是已知给水管网部分水力参数，求其余水力参数。5.1给水管网水力特性分析5.1.1管段水力特性即管段流量与水头之间的关系，可以表示为：考虑到了管段流量可能为负值的情况，管段水头损失的方向应与流量方向一致。将上式代入管段能量方程组得：5.1给水管网水力特性分析5.1.2管网恒定流方程组求解条件(1)节点流量与节点水头必须一个已知一个未知若节点水头已知，则节点流量可作为未知量求解，反之，若

2、节点流量已知，则节点水头可作为未知量求解。若两者均已知，将导致矛盾方程组；若两者均未知，将导致方程组不可解。已知节点水头而未知节点流量的节点称为定压节点，管网中定压节点的总数为R；已知节点流量而未知节点水头的节点称为定流节点，管网中定流节点总数为N-R。5.1给水管网水力特性分析在给水管网水力分析时，若定压节点数R1，称为多定压节点管网水力分析问题，若定压节点数R=1，称单定压节点管网水力分析问题，定压节点数R0是不允许的。（2）必须至少有一个定压节点若所有节点水头未知，则所有节点的水头值同时提高或降低一个相同量不影响恒定流基本方程组的成立，此时恒定流基本方程组无确定解。5.1给水管网水力特性

3、分析5.1.3管网恒定流方程组求解方法各管段实际流量必须满足节点流量方程和环能量方程(1)树状管网水力计算计算管段水头损失计算管段流量 计算流速节点压力等5.1给水管网水力特性分析(2)环状管网（1）解环方程解环方程方法是针对求解单定压节点环状管网提出来的，多定压节点管网可以通过假设虚环转化为单定压节点环状管网求解。管段流量初分配和环流量5.1给水管网水力特性分析管段流量初分配，就是拟定各管段流量初值，使它们满足流量节点连续性条件。环流量，就是沿顺时针方向或逆时针方向给管网中一个环内的每条管段施加一个相同的流量，由于环流量在节点处流入和流出的量相等，所以，施加任意环流量都不会改变节点流量的平衡

4、，即不破坏节点流量连续性条件。一般规定，顺时针方向的环流量为正、逆时针方向的环流量为负。5.1给水管网水力特性分析解环方程的基本思想是：先进行管段流量初分配，使节点流量连续性条件得到满足，然后，在保持节点流量连续性不被破坏的条件下，通过施加环流量，设法使各环的能量方程得到满足。5.1给水管网水力特性分析（2）解节点方程先满足能量方程，后满足流量连续方程。以节点水头为未知量，首先拟定各节点水头初值，通过管段能量方程和管段水力特性式，可求出各管段流量。5.1给水管网水力特性分析解节点方程的基本思想是：给各定流节点水头施加一个增量（正值为提高节点水头，负值为降低节点水头），并设法使各定流节点流量连续

5、性方程得到满足。该方法适合于求解包含较少节点的管网。解环方程方法适合求解包含较少环的管网。5.2 单定压节点树状管网水力分析单定压节点树状管网水力分析计算步骤第一步用流量连续性条件计算管段流量，并计算出管段压降；第二步根据管段能量方程和管段压降，从定压节点出发推求各节点水头。求管段流量一般采用逆推法，求节点水头一般采用顺推法。5.2 单定压节点树状管网水力分析某城市树状给水管网系统如图5.4所示，节点(1)处为水厂清水池，向整个管网供水，管段1上设有泵站，其水力特性为：sp1=311.1（流量单位：m3/s，水头单位：m），he1=42.6，n=1.852。根据清水池高程设计，节点(1)水头为

6、H1=7.80m，各节点流量、各管段长度与直径如图中所示，各节点地面标高见表5.1，试进行水力分析，计算各管段流量与流速、各节点水头与自由水压。5.2 单定压节点树状管网水力分析单定压节点树状管网水力分析5.2 单定压节点树状管网水力分析第一步：逆推法求管段流量步骤节点号节点流量连续方程管段流量求解管段流量(L/s)1(10)-q9+Q10=0q9=Q10q9=11.632(9)-q8+Q9=0q8=Q9q8=3.673(8)-q7+q8+Q8=0q7=q8+Q8q7=10.744(7)-q6+q7+Q7=0q6=q7+Q7q6=18.265(6)-q5+q6+q9+Q6=0q5=q6+q9+

7、Q6q5=60.636(5)-q4+Q5=0q4=Q5q4=4.487(4)-q3+q4+Q4=0q3=q4+Q4q3=11.648(3)-q2+q3+q5+Q3=0q2=q3+q5+Q3q2=88.389(2)-q1+q2+Q2=0q1=q2+Q2q1=93.755.2 单定压节点树状管网水力分析根据管段流量计算结果，计算管段流速及压降。管段水头损失采用海曾威廉公式计算泵站扬程按水力特性公式计算：5.2 单定压节点树状管网水力分析第二步：顺推法求定流节点水头步骤管段号管段能量方程节点水头求解节点水头(m)11H1-H2=h1H2=H1-h1H2=45.1522H2-H3=h2H3=H2-h2

8、H3=44.5433H3-H4=h3H4=H3-h3H4=43.6844H4-H5=h4H5=H4-h4H5=41.9455H3-H6=h5H6=H3-h5H6=42.6866H6-H7=h6H7=H6-h6H7=41.9477H7-H8=h7H8=H7-h7H8=41.0088H8-H9=h8H9=H8-h8H9=40.0199H6-H10=h9H10=H6-h9H10=38.99最后计算各节点自由水压5.2 单定压节点树状管网水力分析单定压节点树状管网力分析结果5.3 管网环方程组水力分析和计算5.3.1恒定流基本方程组的线性变换5.3 管网环方程组水力分析和计算环能量方程组的线性化对于管

9、网中管段i，给定初始工况点（ ），对式（5.1）微分得该点的切线方程：zi称为管段阻尼系数5.3 管网环方程组水力分析和计算5.3 管网环方程组水力分析和计算（1）基本环能量方程S2q2n-S5q5n+S6q6n-S8qQ8n=0 S3q3n-S6q6n+S7q7n-S9q9n=0S2q2(0)n-S5q5(0)n+S6q6(0)n-S8q8(0)n=h1(0)S3q3(0)n-S6q6(0)n+S7q7(0)n-S9q9(0)n=h2(0)5.3 管网环方程组水力分析和计算F1(0,0)=h1(0)F2(0,0)=h2(0)5.3 管网环方程组水力分析和计算5.3 管网环方程组水力分析和计算

10、上式改写为矩阵形式如下5.3 管网环方程组水力分析和计算式(5.8)求偏微分得：5.3 管网环方程组水力分析和计算在初值点q1(0)=0， q2(0)=0处5.3 管网环方程组水力分析和计算考虑管段流量为负值的情况5.3解环方程水力分析方法牛顿法解非线性方程组5.3解环方程水力分析方法5.3管网环方程组水力分析和计算对于多定压节点树状管网，不能直接计算出所有管段流量。对于单定压节点环状管网，无法列出直接求解管段流量的连续性方程组。对于多定压节点环状管网，既不能直接求出定压节点流量，也不能列出直接求解管段流量的连续性方程组。5.3管网环方程组水力分析和计算虚环关于虚环的假设如下：1）在管网中增加

11、一个虚节点，编号为0，该节点为虚定压节点，它供应整个管网的流量，其节点水头恒为零。2）从虚定压节点到每个定压节点设一条虚管段，并假设该管段将流量输送到实际定压节点，该管段无阻力，但设有一个泵站，泵站扬程为所关联定压节点水头，泵站也无阻力。5.3管网环方程组水力分析和计算虚管段能量方程为：H0-HTi=hi=-HTiTi为定压节点3）定压节点流量改由虚管段供应，其节点流量改为零，成为已知量，其节点水头假设为未知量，因此，不再将它们作为定压节点，管网成为单定压节点管网。5.3管网环方程组水力分析和计算多定压节点管网虚环的构成环能量方程为根据假设h10=-H7，h11=-H8，5.3管网环方程组水力

12、分析和计算代入管段水力特性关系式，环能量方程为：5.3管网环方程组水力分析和计算环能量方程组求解牛顿-拉夫森算法1）拟定满足节点流量连续性方程组的各管段流量最初值，并给定环水头闭合差的最大允许值eh（手工计算时一般取eh0.10.5m，计算机计算时一般取eh=0.010.1m）；2）由式（5.24）计算各环水头闭台差；5.3管网环方程组水力分析和计算3）判断各环水头闭合差是否小于最大允许闭合差，即 均成立，如果满足，则解环方程组结束，转（7）进行后续计算，否则继续下步：4）计算系数矩阵F(0)，其元素按式（5.26）计算；5）解线性方程组式（5.25），得环流量；5.3管网环方程组水力分析和计

13、算6）将环流量施加到环内所有管段，得到新的管段流量，作为新的初值（迭代值），转第2）步重新计箅，管段流量迭代计算公式为：管段i右边环（沿管段方向行走时）的环流量，若右边没有环，则取零；管段i左边环（沿管段方向行走时）的环流量，若左边没有环，则取零。7）计算管段压降、流速，用顺推法求各节点水头，最后计算节点自由水压，计算结束。5.3管网环方程组水力分析和计算例5.2某给水管网如图5.7所示，节点流量、管段长度、管段直径、初分配管段流量数据也标注于图中，节点地面标高见表5.6，节点（8）为定压节点，已知其节点水头为H8=41.50m，采用海曾-威廉公式计算水头损失，Cw110。试进行管网水力分析，

14、最大允许闭合差eh=0.1m，求各管段流量、流速、压降，各节点水头和自由水压。5.3管网环方程组水力分析和计算各环水头闭合差计算并判断:环水头闭合差不满足要求，需要进行环流量修正，先求系数矩阵：5.3管网环方程组水力分析和计算哈代-克罗斯算法分析系数矩阵F(0)，发现它不但是一个对称正定矩阵，也是一个主对角优势稀疏矩阵，当L较大时，其大多数元索为零，主对角元素值是较大的正值，非主对角的不为零的元素都是较小（相对主对角元素）的负值，因而，哈代-克罗斯算法提出，只保留主对角元素，忽略其他所有元素，则线性方程组可直接按下式求解：5.3管网环方程组水力分析和计算此式可以理解为一个环流量的估算式，通过估

15、算出的环流量，可以减小或消除环水头闭合差。哈代-克罗斯算法又称为水头平差法。步骤与牛顿-拉夫森算法基本相同，只是计算环流量采用水头平差公式，代替解线性方程组。5.3管网环方程组水力分析和计算例5.3某环状管网如图5.8所示，节点（10）为水塔，节点水头为94.65m。该节点为水力分析的定压节点，各管段长度、直径、各节点流量如图中所标，各节点地面标高如表5.11，试进行水力分析，计算各管段流量与流速、各节点水与自由水压（水头损失采用曼宁公式计算，NM0.013）。5.3管网环方程组水力分析和计算5.3管网环方程组水力分析和计算首先列出组成各环的管段编号，逆时针方向的管段编号前加负号，以便求闭合差

16、时明确方向，同时根据管段长度和直径及泵站水力特性（本例无泵站）计算出管段水力特性参数s和he。然后，进行流量初步分配。第一次平差计算：根据初分配流量，计算各管段压降，并计算出各环水头闭合差，判断闭合差绝对值是否达到允许值。第二次平差计算：5.3管网环方程组水力分析和计算例5.4某多定压节点管网如图5.11所示，节点（1）为清水池，节点水头12.00m，节点（5）为水塔，节点水头为48.00m，该两节点为定压节点，各管段长度，直径，各节点流量如图中所标，各节点地面标高如表5.14，管段2上设有泵站，其水力特性如图中所示，试进行水力分析，计算各管段流量与流速，各节点水头与自由水压（水头损失采用海曾

17、威廉公式计算，Cw110）。5.3管网环方程组水力分析和计算5.3管网环方程组水力分析和计算先设置虚节点和虚管段，将多定压节点问题转化为单定压节点问题。虚节点（0）是新的定压节点，节点水头为0.00m，节点（1）和（5）转化为定流节点，节点流量均为0.00L/s，虚管段均被认为是无阻力的，但设有泵站，泵站静扬程为原定压节点的节点水头，即分别为12.00和48.00。用哈代克罗斯法进行平差计算。5.4 管网节点方程组水力分析和计算节点流量连续性方程组的线性化（1）管段水力特性的线性化dq =1dh = c(0) dhinsq(0)n-1iiiii5.4 管网节点方程组水力分析计算(2)节点流量连

18、续性方程组的线性化 以定流节点水头为未知量，用管段能量方程将管段流量表示为它们的函数，见式(5.18)，将它们代入定流节点的流量连续性方程，则有： (qi ) + Qj = Gj (Hj,j为定流节点）=0iS j 该方程组为非线性，在求解前要进行线性化 仍采用牛顿线性化法5.4 管网节点方程组水力分析计算 用泰勒公式将式展开，忽略高次项，取线性项，得线性方程组：(0)G jDHk= -Gj (0,0, ,0)DHkk为恒流点 式中， Gj(0，0，0)称为给定节点水头初值下的节点流量闭台差，记为：DQ(j0) = Gj (0,0,0) = ( qi(0) )+ Qjis j5.4 管网节点方程组水力分析计算 将线性方程组式(5.32)表示成矩阵形式为：G(0) DH = -DQ(0)Gk(0)DH j= -1=ci(0) , k = j为定流节点q(0)n-1iRk nsiRkii1-= -ci(0)，i为相邻定流节点k和j之间管段nsi qi(0) n 10，k j且定流节点k和j不相邻5.4 管网节点方程组水力分析计算定流节点流量连续性方程组求解(1)牛