量子力学经典八十题推荐版本

1、 量子力学复习题答案（安徽大学）一、简答题1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。答：束缚态：粒子在一定范围内运动， r 时，y 0 。能级分立。 非束缚态：粒子的运动范围没有限制， r 时，y 不趋于 0。能级分立。2. 简并、简并度。 答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简并。把对应于同一能级 的不同状态数称为简并度。 3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 y (r,q ,j ) ，写出粒子在立体角 d中被测到的几率。 解： P = d y (r,q ,j ) 2 r 2dr04. 用球坐标表示，粒子波函数表为 y (r,q ,j ) ，写出粒子在球壳( r

2、, r + dr )中被测到的几率。p2p解： P = r 2dr sin qdq y (r,q ,j ) 2 dj005. 用球坐标表示， 粒子波函数表为y (r,q ,j ) 。写出粒子在 (q ,j ) 方向的立体角 d 中且半径在 0 r a 范围内被测到的几率。 a解： P = d y (r,q ,j ) 2 r 2dr06. 一粒子的波函数为y (K) = y (x, y, z) ，写出粒子位于 x x + dx 间的几率。r+解： P = dx dy dzy (x, y, z) 2-7. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。解：y n (x) = Ane-a 2 x2 /

3、2Hn (a x) , An =E =n+ 1=w,n = 0 ,1, 2 ,= 2n8. 写出三维无限深势阱0 , 0 x a , 0 y b , 0 z cV (x, y, z) =, 其余区域 1ap 2n n! 量子力学复习题答案（安徽大学）中粒子的能级和波函数。解：能量本征值和本征波函数为 2p 2 n2n2 n2+ x y =E z a2b2c 2nxnynz2m 8 sin nxpx sin nyp y sin nzp z , 0 x a , 0 y b , 0 z 0)9. 粒子在一维d 势阱 中运动，波函数为y (x) ，写出y (x) 的跃变条件。y (0+ ) -y (0

4、- ) = - 2mg y (0)解：=210. 何谓几率流密度？写出几率流密度 j（Kr , t） 的表达式。解：单位时间内通过与粒子前进方向垂直的单位面积的几率称为几率流密度。j(rK, t) = -(y*y -yy *)i=2m11. 写出在s z 表象中的泡利矩阵。 0-i ,0110解： s x = oy = o z = ,-110 i00 12. 电子自旋假设的两个要点。 解：（1）电子具有自旋角动量 K ，它在空间任意方向的投影只有两个取值： =2 ； s（2）电子具有自旋磁矩 M ，它的回转磁比值为轨道回转磁比值的 2 倍，即为单位= 2 取 ee内禀磁矩=gsmc= 12mc

5、自旋e轨道磁矩 =gl轨道角动量2mc13. 量子力学中，一个力学量Q 守恒的条件是什么？用式子表示。 Q解：有两个条件：= 0 ,Q , H = 0 。t14.（L2 , L z）的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？ 2 量子力学复习题答案（安徽大学）解： ( L2 , L )的共同本征函数是球谐函数Y (q,j) 。 zlmL2Ylm(q ,j) = l(l + 1)= 2Y lm(q ,j ),LzYlm(q ,j ) = m=Y (lmq ,j)15. 写出电子自旋 s z 的二本征态和本征值。10=解： s z = 2 ,a = c1 2 (s z) = ； s z =

6、- 2 ,b = c -1 2 (s z) = 。 0116. 解： x , p = 0 z , p = i=L, L = -i=Ly , L = i=xyzxzyzL 2 , L = 0s , s = -2isL , p = i=pzyxzyzxy (rK , = / 2)K17. 完全描述电子运动的旋量波函数为 y (r , s ) = ， Ky (r , - = / 2)z2分别表示什么样的物理意义。KK -= / 2)y (r , = / 2)2及 d 3 ry (r ,准确叙述y (Kr ,= / 2)2= =表示电子自旋向上（ sz2 ）、位置在r 处的几率密度；解：2表示电子自旋

7、向下（ sz = -= 2 ）的几率。 y (Kr , - = / 2)d 3 r18. 二电子体系中，总自旋 S = Ks1sK2 ，写出（ S , S2 ）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。 z解：（ S 2 , S ）的归一化本征态记为 c，则zSMS1c00 =a(1)b(2) - b (1)a(2)自旋单态为2c11 = a(1)a(2)c1=a(1)b(2) + b (1)a(2)自旋三重态为12c1-1 = b (1)b (2)19. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯效应？ 解：在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发

8、出的每条光谱线都分裂为(2 j + 1) 条（偶数）的现象称为反常塞曼效应。原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯效应。20. 给出一维谐振子升、降算符 a + 、a 的对易关系式；粒子数算符 N 与 a+ 、a 的关系；哈密顿量 H 用 N3 量子力学复习题答案（安徽大学）或 a+ 、a 表示的式子； N （亦即 H ）的归一化本征态。解：11a , a + = 1,N = a + a ,H = a a +=+2N2 1n =(a+ )nn!021. 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有哪两种表象？它们的力学量完全集分别是什么？两种 表象中各力学量共同的本征态及对应的本征

9、值又是什么？使用定态微扰论时，对哈密顿量 H 有什么样的要求？22.23.写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。24.何谓光的吸收？何谓光的受激辐射？何谓光的自发辐射？25.给出光学定理的表达式。光学定理的意义何在？26.散射问题中，高能粒子散射和低能粒子散射分别宜采用什么方法处理？解：高能粒子散射宜采用玻恩近似方法处理；低能粒子散射宜采用分波法处理。27. 对于阶梯形方势场 V (x) = x a， 2如果（V2 - V1 ）有限，则定态波函数y (x) 连续否？其一阶导数 y (x) 连续否？解：定态波函数y (x) 连；其一阶导数 y (x) 也连续。 28.

10、 量子力学中，体系的任意态y (x) 可用一组力学量完全集的共同本征态y n (x) 展开：y (x) = cny n (x) ， n写出展开式系数cn 的表达式。 c = (y (x),y (x) = y (x)y (x)dx 。*解：nnny ( rK , = 2)K29. 一个电子运动的旋量波函数为 y ( r , s )z = ，写出表示电子自旋向上、位置在r 处 Ky ( r , - = 2)的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。y (Kr ,= / 2)2表示电子自旋向上（ sz = = 2 ）、位置在r 处的几率密度； 解：2表示电子自旋向下（ sz = -= 2

11、 ）的几率。 4y(Kr ,- = / 2)d 3 r 量子力学复习题答案（安徽大学）30. 相互不对易的力学量是否一定没有共同的本征态？试举例加以说明。 1解：相互不对易的力学量可以有共同的本征态。例如： Lx , Ly , Lz 相互不对易，但y = Y00 (q ,j ) =4p就是它们的共同本征态，本征值皆为 0。二、计算证明题1. 计算下列对易式： =? =?ddd xx 2(1)x ,dx（2）（2） 2x 。解：(1)-1p 22. 一维运动中，哈密顿量 H =+ V (x) ，求x , H = ?p , H = ?2m=2dd解：x , H =p , H = -i=V (x)

12、。，m dxdx3. 计算： p , f (x) = ? p 2 , f ( x) = ?xx2 2 f (x)f (x)f (x)， p , f (x) = - 2- 2i= , f (x) = -px 。 pi=解：=xxx2xx- 1 a 2 x224. 质量为m 的粒子处于能量为 E 的本征态，波函数为y (x) = Axe动？ ，问粒子在什么样的位势中运y (x)=2=2= E +(a x - 3a )4 22解： V (x) = E +2m y (x)2m5. 一电子局限在 10-14米的区域中运动。已知电子质量 m = 9.11 10-31千克，试计算该电子的基态能量（提 示：可

13、按长、宽、高均为 10-14米的三维无限深势阱计算）。 = p 2 =23 = 1.8 10 -8 J 。a 2E111解：2m6设粒子处于一维无限深势阱0 x ax a,中，求处于定态yn(x)中的粒子位置 x 的平均值。5 量子力学复习题答案（安徽大学）a解：x =。2 a e-a 2 x2 / 2-i w t , 求势能 V= 1 mw 2 x 2 的平均值及动能 27. 一个谐振子处于基态： y (x, t) =p 1/ 2+T =2m 的平均值。 积分公式：e-x dx =p 2p 2-11V =w ,T =w 。 解：448. 质量为m 的粒子处于长为l 的一维盒子中， = ,x

14、l0 x lV0在t = 0 时,粒子波函数为30 x(l - x),0 x lx ly = 5l0求y (t)的级数表达式和级数系数表示式。8 15(2k + 1 )3 p 3a =k = 0 , 1 , 2 ,=解:k1(2k +1)p30l2 22y (x, t) = 8x e-i (2k +1) p = t 2mlsin(2k +1)3p 3lk =09. 考虑如下一维波函数 nxy (x) = Ae- x / x0 x0 其中 A、n、x0 为已知常数。( a ) 利用 S.eq 求位势 V (x) 和能量 E 。对于它们，该波函数为一本征函数（ 已知当 x , V (x) 0 ）；

15、 ( b ) 该势与轨道角动量为l 的氢原子态的径向势有何异同?n(n -1)2n =2=2-V (x) =解:( a ) E = -2mx 22m xx 2x00( b ) 氢原子有效径向势为6 量子力学复习题答案（安徽大学）l (l + 1)n= 2 mx0=2n (n -1)x 2e2=2V (r) = -+， V (x) = -+2mr2mr 2x=2a 210. 一个质量为 m 的粒子在势 V ( x) 作用一维运动。假定它处在 E =的能量本征态 2m1/ 4 a 2y (x) = p-g 2 x2 2e， （ a ）求粒子的平均位置；（ b ）求粒子的平均动量； （ d ）求粒子

16、的动量在 p p + dp 间的几率。 （ c ）求V ( x) ； ( c )V (x) = =2a 4 x2 / 2m解：( a ) x = 0( b ) p = 0（ d ）粒子的动量在 p p + dp 间的几率为 1/ 2P( p)dp = j( p) 2 dp = 12e- p=2a 2 dp a p2 211.一质量为 m 的粒子沿 x 正方向以能量 E 向 x = 0 处 V ( x)3的势阶运动。当 x 0 时，该势为0 ；当 x 0 时，该势为 E 。4问在 x = 0 处粒子被反射的的几率多大？ E V012R = 9 。r解：反射系数X0V ( x)12. 若粒子从右边

17、入射，求如图所示一维阶梯势的 EV0反射和透射系数。解:0X反射系数2 k - k(k - k )2 (k + k)2(k 2 - k 2 )2V 22120 )4 =4R =r= =121212)4k + k+ k(k1+ k( E +E - V0 )(k1 12 22V 2T = 1 - R = 1 - 0 透射系数( E +E - V)407 量子力学复习题答案（安徽大学）d Ad t= 0 。 13. 设力学量 A 不显含时间t ，证明在束缚定态下， 14. 已知厄米算符 A 、B 互相反对易： A, B = AB + BA = 0 ； b 是算符 B 的本征态：B b = b b，本

18、征值b 0 。求在态b 中，算符 A 的平均值。 解 ： A = bA b = 0 。 n 为 Lz 的本征态，本征值为 n= 。求在 L z 的本征态 n 下， Lx 和 Ly 的平均值。 15.Lx = Ly = 0。 解：16. 证明：厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。K217. 在直角坐标系中，证明：L , p = 0 ，其中 L 为角动量算符， p 为动量算符。18. 定义径向动量算符 p= 1 1 Kr Kp+ Kp Kr 1 ，证明：r2 rr pr 是厄密算符。 1，就此证明r, p = i= 。 p = -i=+r p 还可表为 rrrr 19. 在一维势箱问题求解

19、中，假定在箱内V (x) = C 0（ C 为常数），是否对其解产生影响？怎样影响？ n2p 2 =22 sin npx，y n (x) =E =解：n2ma2aa即V (x) = C 0 不影响波函数，能级整体改变C ： n2p 2 =2E = E + C =+ Cnn2ma220. 一质量为m 的粒子在一维势箱0 x 0 时的波函数。解： 能量取各值的概率为W (E ) = W (E ) = 3 ； W (E ) = 11328423 me4 2323=E =(-13.6eV)= -6.52eVE =48 - 2= 248能量平均值为1489 量子力学复习题答案（安徽大学）当t 0 时，波

20、函数为3y (rK)exp -E t + 1y(Kr)exp-E t +3y8(Kr ) exp -E ti=i=i=Y(rK,t )=11223382m和n为 Lz 的二本征态，本征值分别为 m= 和 n= 。证明： 24.)和(L )之间的关系为 （1）矩阵元(Lyx m nm ni (L )= (m - n) (L )yx m nm nn ）下，恒有 L x = L y = 0 。 （2）在 L z 的任何本征态（比如 25. 在半径为a 的硬钢球内，有一质量为 m 的粒子处于基态。现突然将这硬钢球扩展到原来半径的两倍， 求扩展后系统中粒子处在基态的几率是多少？1sin a sin b

21、=cos(a - b ) - cos(a + b ) 公式2329p 2解 ： P =26. 一电子处于y 32 m = R 3（2 r）Y （2 mq , j ） 态，测力学量 L2 ，测值如何？ 测力学量 L ，z可能得哪 些测值？写出 L z 在其自身表象中的矩阵表示。解：测力学量 L2 ，测值为6=2 。 测力学量 Lz ，测值可能为2= ,= , 0, - = , - 2=。 在 L z 表象中， L z 自身的矩阵形式是对角矩阵，对角元为 L z 的本征植： 2 00100000000000- 10000L = =0 0z0 0- 227. 在s z 表象中,求s y 的本征态。

22、解：在s z 表象中，s y 的两个本征态为1 - i1 i2 1l = 1,l = -1,;。2 1 (L ，J , J )K 分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，J = L + s 为电子的总角动量。 K2228. 已知 L 、s的 z10 量子力学复习题答案（安徽大学）KK共同本征态为f l jm 。证明fl jm 是 s L 的本征态，并就 j = l +1 2 和 j = l -1 2 两种情况分别求出其相 jj应的本征值。=2 lf,j = l + 1 2 2Kl jmjK解： s Lfl jm = =2j-(l + 1)fl jm ,j = l - 1 2 (l 0)2j29.

23、氢原子的波函数（ t = 0 时刻）为 y (Kr ,0) = 1y(rK)+ 1y(Kr ) + 3y(Kr )100210211233求t 时刻的平均能量，t 时刻氢原子具有能量 E2 的几率，以及氢原子相应角动量在 Z 方向投影为零的几率。 K其中y nlm (r )为定态空间波函数。解: t 时刻波函数为y (Kr ,t ) = 1y+ 1y+ 3y3(Kr )e(Kr )e(Kr )e-iE t =-iE t =-iE t =12210021021123t 时刻的能量平均值= 13E1= -7.07(eV)E25t 时刻氢原子处于能量为 E2 状态中的几率为) = 16= 64%P(

24、E225t 时刻角动量 Z 方向投影为零的几率为P(Lz = 0) = 52%30. 一维运动粒子的状态是 A xe-l xx 0x 0,y (x) = 0,求：(1) 归一化常数 A ；(2) 粒子动量的几率分布； (3) 粒子动量平均值。 11 量子力学复习题答案（安徽大学）解: (1) A = 2l3 / 2 。 (2) 粒子动量的几率分布 2l3=3p (l2= 2 + p2 )2w( p) = j( p) 2 =。(3) p = 0 。 1 a = ，试求 s = = 2 的本征态 s 和 s 的测不准关系 31. 粒子自旋处于 zxy0 （ s ）2 （ s ）2 =?xy解 :

25、（ s ）2 （ s ）2 = = 2 / 4 。 xy1 R2Y y211132. 氢原子处于状态 y (r , s )= K = ， 1 yz32 -RY21 10 2(1) 求轨道角动量的 z 分量 Lz 的平均值； (2) 求自旋角动量的 z 分量 sz 的平均值； K(3) 求总磁矩 MKee K= -L -s2mm的 z 分量 M z的平均值。 1解 ：（1） Lz = 4 = 。 （2） s = - 1 = 。 z4= 1 M 。 e=（3） Mz8mB433. 氢原子处于状态y (r,q ,j) = 1 R3 R2(r)Y (q ,j) +(q,j ) 。试求：(r)Y211-

26、121102（1） 能量算符 H 、角动量平方算符 L2 和角动量 z 分量 L 的可能取值；z（2） 上述三个量取各可能值的几率； （3）上述三个量的平均值。12 量子力学复习题答案（安徽大学）me4me4me4解： H 只可能取值 E2 = - 2=2 22 = - 8=2 ，出现的几率为 1，平均值 H = E2 = - 8=2 ； L2 只可能取值l(l + 1)=2 = 2= 2 ，出现的几率为 1，平均值 L2 = 2= 2； 32 1 2143，出现- = 的几率为 =，平均4Lz的可能取值有两个：0、- = ，出现 0 的几率为 2 2 133值 Lz =0 + (- =)=

27、-= 。 44434. 两个自旋 1/2，质量为 m 的无相互作用的全同费米子同处线性谐振子场中，写出基态和第一激发态的能量本征值和本征函数，指出简并度。E0 = E0 (1) + E0 (2) = =w ， 解： 基态：= 12y (1)y (2) a (1)b(2) - a(2)b (1) ，不简并。 F000E1 = 2=w ， 第一激发态：a(1)a (2)Y= 12y (1)y (2) -y (2)y ()c1b (1 b 2) ( )0101S= A 1F，a(1)b(2) + a(2)b (1) 12Y是四重简并的。 c= 1 y (1)y (2) +y (2)y (1) a (

28、1)b(2) - a(2)b (1) 0101SA235. 一维无限深势阱（ 0 x a ）中的粒子，受到微扰 H 用， H (x) = 2l x0 x a 2a 2 x aa , 2l(1 - xa),求基态能量的一级修正。= p 2 =2 12+l解： E1 = E+ E+ (0)(1)。112ma22p236. 证明pauli 矩阵满足 o xs ys z = i 。37. sK 、 L 分别为电子的自旋和轨道角动量， J = K + L 为电子的总角动量。证明： J , sK L =0；s13 量子力学复习题答案（安徽大学） J 2 , Ja =0， = x, y, z 。J ,2 s

29、 K L = 0 ，其中a = x、y、z ,J = Ks + L 。38. 证明：L2 , L = 0 ,s 2 , s = 0 ,aa( L ，J , J )39. 已知 L 、 Ks 分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，J = L + s K22为电子的总角动量。的 zKK共同本征态为f l jm 。证明fl jm是 s L 的本征态，并就 j = l +12 和 j = l -1 2 两种情况分别求出其相 jj应的本征值。解： 2=2K=(J 2 - 2L-4)f=31Kfs Lfj( j + 1) - l(l + 1) -23=4 l jm jl jm jl jm j2=2 lf,j

30、 = l + 1 2l jm j2=2- =(l +1)fl jm,j = l - 1 2 (l 0)2j40. sK 、 L 分别为电子的自旋和轨道角动量， J = K + L 为电子的总角动量。证明：s J , sK L =0； J2 , Ja =0， = x, y, z 。K(L , J , J )41. 已知电子的自旋角动量、轨道角动量和总角动量分别为K、L 和 J ， J= = +22ssL ， 的共 zljm j 。利用Jz , sz = 0 证明：同本征态为ljm j = dljm jljmjszszljm jmmj j42. 粒子在二维无限深方势阱V (x, y) 中运动， 0

31、 x p , 0 y p其它区域 0,V (x, y) = ,，（1）试直接写出（不必求解）基态和第一激发态的能级和能量本征函数；H = l cos x cos y ， （2）加上微扰求第一激发态能量至l 级、基态能量至l2 级。 解：（1） l = 0 ，无微扰，有E=(n2) 0 x, y p , n=22n+xn n2myx y, n = 1 , 2 , =xy2y n nx y= p sin nxx sin nyy14 量子力学复习题答案（安徽大学）=2m(0)=E11基态，y= 2 sin x sin y(0)11p= 5=2(0)E12第一激发态，2m2y(0)=sin x sin

32、 2 y12p2y(0)21=sin 2xsin ypH = l cos x cos y ， （2） l 很小，取微扰ml2=2m-=(0)(1)( 2)+ E+ E=E11E111111基态，无简并，。48=2l4 l 。 5=2第一激发态，二重简并， E(1) = E= E (0)+ E(=1)，121212122m443. 在时间t = 0 时，一个线性谐振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态： 1y (x,0) =u 0 (x) +u2 (x) + c3u3 (x)5，式中un (x) 是振子的第 n 个本征函数。（1） 试求c3 的数值； （2） 写出在t 时刻的波函数； （3）

33、在t = 0 时振子能量的平均值是多少？ t = 1秒时呢？310解：（1） c3 =。-i 1wt-i 5wt-i 7wt123（2）y (x, t) =u0 (x)e+u2 (x)e+10u3 (x)e。22212E =w ； （3）在t = 0 时振子能量的平均值是5t = 1秒时振子能量的平均值也是12 =w 。 544. 质量为 的粒子受微扰后，在一维势场151512 量子力学复习题答案（安徽大学）A cos p x,0 x ax aV (x) = a中运动。（1）题中应当把什么看作微扰势？（2）写出未受微扰时的能级和波函数；p 2=210ma2（3）用微扰论计算基态能量到二级近似，

34、其中 A =。pp d提示： sin nx sin mxdx =。nm20解：（1）应在一维无限深势阱0 x ax aV (x) = 0,的基础上，把Acos p x,0 x ax aH = a0看作微扰势。（2）未受微扰时的波函数和能级分别为2 sin npx ,= n2p 2 =2y (0) (x) =(0)n = 1, 2 , 3,=En,2m a 2naa299p 2=2= p 2 =2p 2 =2-（3） E1 = E+ E+ E=(0)(1)(2)。1112m a2600ma 2600ma 245. 粒子在一维势场 ,x a0 x aV (x) = ld x -a, 2中运动， l

35、 甚小，试求基态能量准确到l2 的修正值以及l 应满足的条件。+ 2l2ml2= p 2 =2， l p =m a- p 2 =222解： E12ma2a16 量子力学复习题答案（安徽大学）46. 质量为m 的粒子在二维无限深势阱中运动，（ 0 x , y p ）。阱内有一势V (x , y) = l cos x cos y（ a ）写出l = 0 时能量最低的四个本征值和相应的本征函数；（ b ） l 很小，求第一激发态能量至l 级、基态能量至l2 级。 解：（ a ） l = 0 ，能量最低的四个态为：=2m(0)=E11基态，y= 2 sin x sin y(0)11p= 5=2(0)E

36、12第一激发态，2m2y(0)=sin x sin 2 y12p2y(0)21=sin 2xsin yp= 4=2(0)E22第二激发态，my= 2 sin 2x sin 2 y(0)22p= 5=2m(0)E13第三激发态，= 2y(0)sin x sin 3y13p2py=(0)sin 3xsin y31ml2=2-（ b ） E = E+ E+ E=(0)(1)(2)11111111m48=25=2l第一激发态，二重简并， E12 = E12 + E12 =(0)(1) 42m47.（ a ）粒子在二维无限深方势阱中运动，17 量子力学复习题答案（安徽大学）0 x a, 0 y a其它区

37、域 = 0,V ,（1）试写出能级和能量本征函数（能量最低的两个态）；H = l xy（ b ）加上微扰（2）求最低的两个能级的一级微扰修正。解：（ a ）能级和能量本征函数为p 2=2(n +n ),(0)22E=n1, n2 =1, 2 , 3 , =（3）n1n2122ma2= 2 sin n1px sin n2py ,y (0)( 阱内,下同)（4）n1n2aaa(0)E，本征函数为基态是非简并的，能级 11= 2 sin px sin py aaay (0)（5）11(0)第一激发态是二重简并的，能级 E,本征函数为 12y= 2 sin px sin 2py = y(0)12aaa

38、a（6）y= 2 sin 2px sin py = y(0)b21aaa= l a 24( b )基态能级的一级修正等于 H 的平均值，即E (1)（7）11l1024l0.282=a (1 0.13) = l=a1 E (1)22a 24 第一激发态（8）1281p440.217结论：在微扰作用下，基态能级升高l a2 4 ，第一激发能级的重心也升高l a2裂距为 0.065 (la 2 ) 。 48. 考虑在无限深势阱（ 0 x a ）中运动的两电子体系，略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用，求体系的基态和第一激发态的波函数和能量。 4 ，同时分裂为二，解：（1）基态：E11

39、= p 2= 2 m a2f1(1)a (1)f1( 2)a ( 2)= 12F = y c总波函数11 00f (1)b (1)f ( 2)b ( 2)11= 5p 2= 2 2ma 2E12（2）第一激发态：18 量子力学复习题答案（安徽大学）二电子体系的总波函数 a(1)a(2)1=f1(1)f2(2) -f1(2)f2(1)b(1)b(2)y A c SF = 2 1a(1)b(2) +a(2)b (1) 2y c= 1 f (1)f (2) + f (2)f (1) a(1)b (2) - a (2)b (1) S A12122基态不简并，第一激发态是四重简并的。49. 两个自旋 1

40、/2，质量为 m 的无相互作用的全同费米子同处线性谐振子场中，写出基态和第一激发态的能量本征值和本征函数，指出简并度。解： （1）基态：E0 = E0 (1) + E0 (2) =w= 12y (1)y (2) a (1)b(2) - a(2)b (1) ，不简并。 F000（2）第一激发态：E1 = 2=wa(1)a(2)Y= 12y (1)y (2) -y (2)y ()b (1 b 2c1) ( )0101S= AF 1a(1)b(2) + a(2)b (1) 12Yc= 1 y (1)y (2) +y (2)y (1) a (1)b(2) - a(2)b (1) 0101SA2是四重简并的。D50. 一维无限深的、宽为 1 A 的势阱中含有三个电子，势 D0,0 x 1 AV (x) = ,其它 在温度T = 0 (K ) ，并忽略库仑相互作用近似下，三个电子的平均能量 E = 12.