材力讲稿ch81.ppt

1、1,版权所有, 2000,2005 (c) 华中科技大学力学系,华中科技大学力学系,材 料 力 学,Copyright, 2000,2005 (c) Dept. Mech., HUST , China,Tel:Mechanics of Materials,2,第八章 能量法,8.1 杆件的应变能 克拉贝隆原理,8.2 卡氏定理 互等定理,8.3 虚功原理,8.4 单位力法 图乘法,8.5 超静定问题 力法正则方程,8.6 冲击应力,3,第八章 能量法,第七章解决了结构受复杂载荷作用时的强度问题,本章主要通过 能量法求解结构的变形和位移。,结构位移的求解也可以采用以前

2、的方法：叠加法+基本变形求解 方法，但能量法比较快捷有效。,两种不同求解释思路：,变形体的位移,能量法,4,弹性体在外力作用下发生变形时，载荷作用点也产生位移，外 力在相应位移上作了功，外力功转化为弹性体内部的变形能。 （应变能） 如果不考虑能量的损耗，两者在数值上相等。,第八章 能量法,5,8.1 杆件的应变能 克拉贝隆原理,如图,载荷由零增加到F, 相应的位移由零增加到,可以用积分求出力F所做的功:,一、外力功 广义力 广义位移,当载荷-位移成线性关系时有:,以上结果是针对集中力和其对应的线性位移的,力偶在转角 上所作的功有着类似的结论。,我们可以把集中力,力偶统称为广义力, 与其对应的线

3、位移, 转 角称为广义位移。,6,8.1 杆件的应变能 克拉贝隆原理,如果不考虑能量的耗散, 梁中的应变能U与外力功W在数值上相等,上式是针对单一的广义力和广义位移的, 如果线弹性体上作用有多 个广义力和广义位移, 则外力功和弹性体储存的内能可以写为:,应变能是一个状态量, 其大小只取决于外载荷和其相应变形的终 值,与加载途径,次序无关(线弹性材料!)。,这就是克拉贝隆原理,分别是作用在结构上 的广义力以及与其对应 的广义位移的终值。,7,8.1 杆件的应变能 克拉贝隆原理,二、应变能的内力功计算方法 应变能是用外力功来计算, 它也可以用内力功来计算。,对于轴向受拉杆件,取微元 ,其伸长为:,

4、则轴力 在微段 上所做的功转化成的应变能为:,整个杆件的应变能为:,如果轴力为常量:,由外力功和内力功计算的应 变能结果一样。,8,8.1 杆件的应变能 克拉贝隆原理,对于圆轴的扭转,有类似的结果:,对于梁的弯曲:,9,8.1 杆件的应变能 克拉贝隆原理,由内力功来计算应变能的优点: 不需要知道外力作用点的位移值,可以直接由内力计算应变能。,应变能是关于内力 或变形 的齐二次函数, 所 以一般来说应变能不能叠加。如果两种广义载荷引起的变形方 式不同,则这两种广义力分别不在对方引起的广义位移上作功, 这 时候有两种广义力做功而储存在弹性体内的应变能才能应用叠 加原理。,分别不在对方引起的变形上作

5、功。,对于细长梁剪切引起的应变能一般可以忽略。,10,8.1 杆件的应变能 克拉贝隆原理,梁的剪切应变能计算,11,8.1 杆件的应变能 克拉贝隆原理,如图悬臂梁AB，端部作用有集中力 F和力矩M。求应变能。,解: (1)运用克拉贝隆原理,变形运用叠加原理,根据克拉贝隆原理:,(2)运用内力功来计算应变能：,交叉项,x,x,12,8.1 杆件的应变能 克拉贝隆原理,忽略剪切应变能：,与运用克拉贝隆原理计算结果一致。,（3）如果运用叠加原理：,少了加叉项！M会引起B点的挠度,F也会引起转角。,（4）先加F，后加M,与前面结果吻合,13,8.1 杆件的应变能 克拉贝隆原理,简支梁受集中力F作用，求

6、C点垂直位移。,解：,应变能可以用内力功进行计算：,所以,14,8.1 杆件的应变能 克拉贝隆原理,原为水平位置的杆系如图a所示， 试计算在铅直力F作用下的应变能。 已知两杆的长度均为l,横截面积均 为A，材料均为弹性，弹性模量为E。,解：设两杆在力F作用下个伸长 ，点A 发生了 的铅直位移。设两杆的轴力分别为 ，则有：,又：,15,8.1 杆件的应变能 克拉贝隆原理,又由平衡条件有：,由于 很小，有：,综合以上各式：,这样就得到了 之间的关系如图所示。,16,8.1 杆件的应变能 克拉贝隆原理,所以 呈非线性关系。,这种非线性属于几何非线性。,不能根据最终状态的内力值来求应变能。,所以注意由

7、内力功求应变能，以及克拉贝隆原理的 适用条件：线弹性条件,17,8.2 卡氏定理 互等定理,由前面的例题有，悬臂梁的应变能为：,对力和力偶分别求导数：,注意到， 分别是 和 的相应位移。 它们均由 和 共同引起。,以上结论可以推广到一般情况，即卡氏第二定理。,18,8.2 卡氏定理 互等定理,卡氏第二定理,对于线弹性结构，其应变能对于任一独立广义外力的偏导数， 等于该力的相应（广义）位移。即：,下面以作用有个横向集中力的简支梁为例，证明该定理。,如图(a)所示线弹性结构，由克拉贝隆原理， 其应变能为：,19,8.2 卡氏定理 互等定理,在图(a)的基础上，给第 i个力一微小增量： ，其它力保

8、持不变；,则各力的相应位移也会有微小的改变，外力功也有微小的增量。 有两种方法计算外力功（应变能）的增量：,方法一：计算外力增量引起的外力功增量；,20,略去二阶小量 ，应变能的增量为：,21,方法二：直接应用克拉贝隆原理,两方法求得的应变能进行对比：,所以,22,所以：,把应变能写成外力的函数：,则：,（A）,（B）,对比（A）（B）有：,23,8.2 卡氏定理 互等定理,二、卡氏第一定理,对于任意可变形固体，其应变能是独立广义位移的函数，即：,若给第个力的相应位移以微小的增量 ，且设其它力以及相 应位移均保持不变，则外力功的微小变化可表示为：,根据第一式，应变能的微小增量又可表示为：,对比

9、两式有：,应变能对某一广义力对应的广义位 移的偏导数，就等于该力。,24,8.2 卡氏定理 互等定理,例,25,8.2 卡氏定理 互等定理,三、互等定理,悬臂梁端部受集中力和力偶作用时，B点 的挠度和转角可以写为：,其中：,柔度系数或者影响系数,广义位移的指标,引起该广义位移的单位广义力的指标,26,8.2 卡氏定理 互等定理,如图在简支梁上先施加F1，后施加F2，则两力所做的功为：,又根据克拉贝隆原理：,对比两式：,功的互等定理,27,8.2 卡氏定理 互等定理,功互等定理：结构的第一力系在结构第二力系所引起的弹性位 移上所做的功，等于第二力系在第一力系所引起弹性位移上所 做的功。,位移互等定理：单位广义力一所引起的与单位广义力二相对应 的广义位移，在数值上等于单位广义力二引起的与单位广义力一 相对应的广义位移。,适用于线弹性结构!,28,8.2 卡氏定理 互等定理,如图,等边支架,求点B在铅直力F作用下的水平 位移和铅直位移。,杆1和2的拉压刚度均为EA。,由于B点水平方向不作用有力,我们可以假设在B点作用一水平力X,X,则根据力平衡有:,解: 利