几何分布的定义以及期望与方差的证明

1、最新资料推荐几何分布的定义以及期望与方差几何分布（ Geometric distribution ）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n 次伯努利试验 中，试验 k 次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前k-1 次皆失败，第k 次成功的概率。公式：它分两种情况：1. 得到 1 次成功而进行， n 次伯努利 实验， n 的概率分布 ，取值范围为 1， 2， 3， . ;2. m = n-1 次失败，第 n 次成功， m 的概率分布，取值范围为0， 1， 2， 3， . .由两种不同情况而得出的期望和方差如下：,;,。概率为 p 的事件 A ，以 X 记 A 首次发生所进行的试验次数，则X

2、的分布列：，具有这种分布列的随机变量X ，称为服从参数p 的几何分布，记为XGeo(p)。几何分布的期望，方差。高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论： （ 1） E1 ，（ 2） D1 p，而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。pp2（ 1）由 P(k )q k 1 p ，知1最新资料推荐Ep2 pq3q2 pkq k 1 p(12q3q 2kq k 1) p下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记Sk12q3q 2kq k 1qSk q 2q2(k)k 1kqk1 q两式相减，得(1q)Sk1qq2qk 1kq kSk

3、1q kkq k(1q) 21q由 0p1，知 0q1，则 lim q k0，故k1 2 p3q2kqk 1lim Sk1122k(1q)p从而 E1p也可用无穷等比数列各项和公式Sa1(| q|1) （见教科书91 页阅读材料），推导如下：1q记 S1 2q3q 2kq k 1qSq2q2(k)k 11 q相减，(1 q)S 1 q q 2q k 111q1 1则 S(1 q) 2 p22最新资料推荐还可用导数公式 ( x n )nx n 1 ，推导如下：1 2 x 3x2kxk 1x(x 2 )( x3 )( xk )(xx 2x 3x k)x)(1 x)(x)(1x) 21x1(1x)

4、2上式中令 xq ，则得1 2q3q2kq k111(1q) 2p2（ 2）为简化运算，利用性质DE 2( E ) 2 来推导（该性质的证明，可见本刊6 页）。可见关键是求E 2 。E 2p22 qp32 q2 pk 2 q k 1 pp(122 q32 q 2k 2 q k 1)对于上式括号中的式子，利用导数，关于q 求导： k 2 q k 1(kq k ) ，并用倍差法求和，有12 2 q32 q 2k 2 q k 1(q2q23q 3kq k)q(1q) 22(1q) qq)2(1q)4(11q 21q2 p(1q) 4(1q) 3p33最新资料推荐则 E2p(23p )2p2p ，因此

5、 DE 2( E ) 2 2p2p(1) 21p2ppp利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。例 1.一个口袋内装有5 个白球和 2 个黑球， 现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回， 取出白球则停止摸球。求取球次数的数学期望 E与方差 D。解：每次从袋内取出白球的概率p5 ，取出黑球的概率 q2 。的取值为1，2，3，77有无穷多个。我们用k 表示前 k 1 次均取到黑球，而第k 次取到白球，因此P(k )q k1 p(2)k1 (5)( k1,2,3,) 。可见服从几何分布。所以77E17p51p1514D7p25)225(7例 2.某射击运动员每次射击击中目标的概率为p（ 0p

6、1）。他有10 发子弹，现对某一目标连续射击，每次打一发子弹，直到击中目标，或子弹打光为止。求他击中目标的期望。解：射手射击次数的可能取值为1， 2， 9，10。若k (k1,2,9) ，则表明他前k 1次均没击中目标，而第k 次击中目标；若 k 10，则表明他前9 次都没击中目标，而第10 次可能击中也可能没击中目标。因此的分布列为P(k)(1p) k1 p( k1,2,9)(1p) 9 (k10)E1(1p) 0 p2(1p) p9(1p) 8 p10(1p) 912(1p)9(1p) 8 p10(1p) 9用倍差法，可求得4最新资料推荐1 2(1p)9(1p)81(1p) 99(1p) 91(1p) 21 (1 p)1(1p)99(1p) 9p2p所以 E 1 (1 p) 99(1p)9 p10(1p) 91 (1