均值不等式常见错解及解决办法

1、最新 料推荐例析均值不等式常见错解及解决办法运用均值不等式ab2ab （ a, bR* ，当且仅当“ab ”时取等号）是求解最值的一种常用方法， 也是高考考查的重点内容之一 笔者在教学中发现， 不少同学在使用时不能很好的抓住本质要求， 造成了很多不该发生的错误 本文就教学过程中的几个典型问题举例说明例 1已知 0x 1，求 ylg x4的最值lg x错解 lg x44244 ，4 为定值， lg xlg xlg xlg xlg x ylg x4的最小值为 4lg x错解剖析44 为定值，但是因为0x 1 ， lg x0，所以此时不能直接应虽然 lg xlg x用均值不等式，需要将负数转化为正数

2、后再使用均值不等式正解 0x 1 ， lg x0 ， lg x0 ，y (lg x)4，即 y4，当且仅当lg x4即 x14lg x时等号成立，lg x100 ylg x4的最大值为4lg x例 2已知0 x，求 y2sin x的最小值sin x错解 0x， sin x0 ， y222 ，函数最小值为 2 2 sin xsin x错解剖析本题虽有 sin x22不可能成立， 所以等号成立前为定值 2，但是 sin xsin xsin x提下的最小值22 取不到而可以利用函数的单调性解决正解设 sin xt ，则 yt2 (t (0,1) ，2t易证函数 y t上是减函数， t1即 x时，函数

3、的最小值为 3在 t (0,1t2例 3已知 x0, y 0, 491,求 x y 的最小值xy1最新 料推荐错解由 491236，可知 xy 144 ，再有 xy2xy 得 x y24，xyxy xy 的最小值为 24错解剖析运算过程中两次用到了均值不等式，但是两次运用时等号成立的条件并不一致（ 491236等号成立时 x 8, y 18 ，而 xy2xy 等号成立时xy ）从而xyxyx y 24 中的等号不可以取到而若采用代换便可以只使用一次均值不等式得出结果解法一xy( xy )1x(y49)9xy41 323，62 5) (y1 3xxy当且仅当 9x4 y 且491, 即 x10,

4、 y15 时等号成立，所以xy 的最小值为 25yxxy解法二 491, y9x，xyx4 xyx9xx9x3636x93613 (x4)36，x 4x4x 4x4又 y9x0 且 x0 ， x 40 ，x436 13(x4)132 3625，x4当且仅当 x436，即 x10 时等号成立 （ x0 ），此时 y15 ， xy 的最小值为 25x4解法三 x0, y0,491,设 x4csc 2, y9sec2(k, kZ ) ，xy2 xy2244cot2921324)4csc9sec9 tan(9tan2tan1323625 ，当且仅当 9tan24，即 tan22时等号成立，tan23此

5、时 x4csc24(1cot2)10, y9sec 215 ， xy 的最小值为 25例 4 已知 a2b24, x2y29 ，求 axby 的最大值错解 a2x22ax,b2y 22by ， ax bya2x2b2y213,2222最新 料推荐 axby 的最大值为 13 2错解剖析取到最大值13 的前提是 ax 且 by ，但是此时 a2b2x2y2 ，即 49 ，2显然等号不能成立，所以本题不能直接运用均值不等式，但仍然可以用如下方法予以解决解法一令 a2cos,b2sin, x3cos, y3sin， axby6coscos6sinsin6cos() ， axby 的最大值为 6解 法

6、 二令 m(a,b), n(x, y) ， 由 平 面 向 量 的 数 量 积 的 性 质 m n| m | n | ， 得a xb y 6 ，当且仅当 m 和 n 同向，即 aybx 时等号成立（注意：不能表示为abx），y axby 的最大值为 6解法三由柯西不等式 (m1 n1 m2n2 ) 2(m12m22 )( n12n22 ) ，可知(ax by )2(a2b2 )( x2y 2 ) 36 ，即 6axby6 ， ax by 的最大值为 6可见，在应用均值不等式求解最值时，应该时刻注意“一正”、“二定”、“三相等”这三个条件，必须充分理解并掌握这些要点，并且要在解题时注意灵活运用类题练习：1 若 a1,0b1, 则 log a blog b a 的取值范围是2 求函数 yx25 的最小值x243 已知 x0, y0，且