中考数学专题：几何图形证明与计算题分析

1、中考数学专题：几何图形证明与计算题分析-作者 : _-日期 : _2016中考数学专题复习：几何图形证明与计算题分析几何图形线段长度计算三大方法：“勾股定理”“相似比例计算”“直角三角形中的三角函数计算”1.（ 2011 深圳 20 题）如图 9，已知在 o 中，点 c 为劣弧 ab 上的中点，连接ac 并延长至 d ，使 cd ca ，连接 db并延长交 o 于点 e ，连接 ae 。（ 1）求证： ae 是 o 的直径；（ 2）如图 10，连接 ec ， o 半径为 5，ac 的长为 4，求阴影部分的面积之和。（结果保留与根号）（ 1）证明：如图2，连接 ab 、 bc ，? 点 c 是劣

2、弧 ab 上的中点 cacb ca cb ，又 cd ca cb cd ca ， 在 abd 中， cb1 ad2 abd 90， abe 90 ae 是 o 的直径 .oaoaeeccbbdd（2）解：如图3，由（ 1）可知， ae 是 o 的直径，图图 ace 90， o 的半径为 5，ac 4， ae 10， o 的面积为 25，oaoa在 rt ace 中， ace 90，由勾股定理，得：eeceae2ac2102422 21bcc s ace 1ac ce12214 21bd24d2图 s 阴影 1 so s ace 125421254 21图 32222.（ 2011 深圳中考 2

3、1 题）如图11，一张矩形纸片abcd ，其中 ad 8cm ， ab 6cm ，先沿对角线bd 对折，点 c 落在点 c的位置， bc 交 ad 于点 g。（ 1）求证： ag cg；（ 2）如图 12，再折叠一次，使点 d 与点 a 重合，得折痕 en ，en 交 ad 于点 m ，求 em 的长。ccecadamdagdggnbcbcbc图图图 4a（ 1）证明：如图4，由对折和图形的对称性可知，cd cd ， c c 90在矩形 abcd 中， ab cd ， a c90ab c d， a c 在 abg 和 cdg 中， ab cd ， a c ， agb c g d abg cdg

4、 （ aas ）ag cgb1（2）解：如图5，设 em x ，ag y，则有： cg y，dg 8y， dm4cm ，ad2在 rt cdg 中， dc g 90，c d cd 6， cg2 cd 2dg 2 即： y2 62（ 8y） 2cedg mnc图解得： y7725 cg cm， dg cm4444x 解得： x又 dme dc gdmme77所求的 em 长为， 即：， 即： em （cm ）dcc g6( 7)6647cm。62【典型例题分析】mc1. （ 2011 四川凉山 ）已知菱形abcd 的边长是 8，点 e 在直线 ad 上，若 de 3，连接 be 与对角线 ac

5、相交于点m ，则am的值是.解答： 菱形 abcd 的边长是8， ad bc 8，ad bc，aed如ade图1：当 e 在mm ae ad线段ad 上时，bc b图2cde 83 5，图1 mae mcb ， mcbc8； 如图 2，当 e 在 ad 的延长线上时， ae ad de 8311，amae5 mae mcb ，mcbc8mc8888amae11 的值是或故答案为：或am5115112. （ 2011 重庆江津区 ）如图，在平面直角坐标系中有一矩形abcd ，其中 a （ 0，0）， b （ 8，0）， d （0， 4），若将 abc 沿ac 所在直线翻折，点b 落在点 e 处则

6、 e 点的坐标是解答： 解：连接 be ，与 ac 交于 g，作 ef ab ， ab ae ， bac eac ， aeb 是等腰三角形， ag 是 be 边上的高，eg gb， eb 2eg， bg bcab 488 5，设 d（ x，y），则有： od2 of2 ad2af2， ae2ac8242522222222432， e 点的坐标为：af be bf 即： 8x（ 2bg）（ 8 x） ，解得： x， yef 5524 , 32 故答案为：24 , 3255553. 如图，在边长为8 的正方形 abcd 中， p 为 ad 上一点，且 ap5, bp 的垂直平分线分别交正方形的边于

7、点e ，f ， q 为垂足，则 eq： ef 的值是（） a 、 5 : 8b、 5 : 13c、 5 :16d、 3: 8解答： 分析：容易看出rt beq rtbpa, 得 eqap ,bqab即 eq1 bp55bp 。而根据正方形的性质，易知，如图，把fe 平移至 cg 的位置，2816由 rtcgbrtbpa, 有 efcgbp ，eq : ef5 bp : bp5 : 16解：选 c。16dfcdfcpqpqaebaegb34. （ 2011?泰安）如图，点o 是矩形 abcd 的中心， e 是 ab 上的点，沿ce 折叠后，点b 恰好与点 o 重合，若bc=3 ，则折痕ce 的长

8、为（） a 、b 、c 、d、6解答： ceo 是 ceb 翻折而成， bc=co ，be=oe ， o 是矩形 abcd 的中心， oe 是 ac 的垂直平分线，ac=2bc=2 3=6， ae=ce ，在 rt abc 中， ac 2 =ab 2+bc 2，即 62=ab 2+3 2，得 ab=3，在 rt aoe 中，设 oe=x ，ae=3 x ，ae 2=ao 2+oe 2，即（ 3x ） 2= （3） 2+3 2，得 x=， ae=ec=3=2选 a 5. （ 2011?潍坊）已知长方形abcd ， ab=3cm ， ad=4cm ，过对角线bd 的中点 o 做 bd 垂直平分线e

9、f ，分别交ad 、 bc 于点e 、f，则 ae 的长为解答： 解：连接eb ， bd 垂直平分ef ， ed=eb ， 设 ae=xcm ，则 de=eb= （4x） cm ，在 rt aeb 中， ae 2 +ab 2 =be 2， 即： x 2+32 =（ 4x）2，解得： x=故答案为：cm6.如图，在 rt abc 中，acb90 ， ac bc1 。将 abc 绕点 c 逆时针旋转 30得到 a1b1c1 ， cb1 与 ab相交于点 d 。求 bd 的长。解：如图（ 2），作 dgcb 于点 g，设 bd = x ，rt dgb 中， b 45 , dgbg2 bd2 x 在r

10、t dcg 中，22dcgb1cb 30，cg3dg32 x6 x 。22cgbgcb1, 即6 x2 x1,22解得 x62bd 的长为62。2。27.如图，在等腰梯形abcd中， ab / cd，ad =bc，延长 ab 到 e ，使 be =dc，连结 ce，若 afce 于点 f，且 af 平分dcfgdae , cd2 , 求 sincaf 的值。abeae5解答： 首先，在 rt acf 中， sincafcf ,ac剩下的任务就是去求cf 和 ac 之间的数量关系，如去求出cf 用 ac 表示的代数式。为此，去研究相应的条件：由abcd为等腰梯形， becd 为平行四边形（ be

11、/cd ，be=cd ），可知： ac=bd=ec ；由af ce 知 afbd 且 af 平分bad , 得 abd 是等腰三角形，设af 交 bd 于点 g，则 bg1 bd1 ac224由 bg/ec ，知abg aef ,bgabaebeaecd123 ,efaeaeae55ef5 bg5 (1 ac )5 ac.33261 ac51cf1如此一来， cfecefaccaf6acaf , 当然就有 sinacac。6668.如图，把一副三角板如图（1）放置，其中acbdec90 ，a45 ,d30 ，斜边ab6cm, dc7cm, 把三角板 dce 绕点 c 顺时针旋转15得到 d c

12、e 如图（ 2）， 这时 ab 与 cd 相交于点 o ，d e 与 ab 相交于点 f。（1）求ofe 的度数；（2）求线段 ad 的长；（3）若把三角形 d ce 绕着点 c 顺时针再旋转 30得到 d ce ，这时点 b 在dce 的内部，外部，还是边上？证明你的判断。daocg f（3）be解答： 分析：对于（ 1），如图（ 3），设 cb 与 d e 相交于点 g，则可通过ofe 与fgb , cge 内角的关系，求得ofe 的值；对于（2），可先推出aod90 ，并导出 oa, od 的长；对于（ 3），设直线 cb 交 de 于 b ，应在 rtb ce 中计算出 cb 的长，为

13、此为基础进行判断。解：（ 1）设 cb 与 d e 相交于点 g，如图（ 3），则：ofe bfgbbcgeb180bce e451801590120 。（2）连结ad ，qaod od fofd od f180ofe 3018012090又acbc, ab6cm, 而 aco301545 ， oaob oc3cm 。在 rtaod 中 ， ao 3， odcd co734 cmad32425 cm 。（3）点 b 在 dce 内部，理由如下：设bc （或延长线）交d e 于点 b ，b ce 153045 ,在 rtb ce 中 ，cb 2ce 7 2cm ，又cb32 cm72cm ，即

14、cbcb ,点 b 在d ce 内部。22ab 是 o 的直径，过点 o 作弦 bc 的平行线，交过点a 的切线 ap 于点 p ，连结 ac 9. （2009 年清远）如图，已知5（1）求证： abc poa ；（ 2）若 ob7，求 bc 的长2 ， op2【答案】（ 1）证明： q bc opaopbq ab是直径c90q pa是 o 的切线，切点为 aoap90 coap abc poabcab7bc4（2）q abc poaq ob 2， pooa2， ab 47oapo2227 bc8，bc162710（ 2010 河南） （ 1）操作发现 ：如图，矩形 abcd 中， e 是 a

15、d 的中点，将 abe 沿 be 折叠后得到 gbe ，且点 g 在矩形abcd 内部小明将bg 延长交 dc 于点 f，认为 gf =df ，你同意吗？说明理由（2）问题解决 保持（ 1）中的条件不变，若dc =2df ，求 ad 的值；abad（ 3）类比探求： 保持（ 1）中条件不变，若dc =ndf ，求的值ab【答案】同意，连接ef ，则 egf d 90，egae ed， ef ef rt egf rt edf gf df 由知， gf df 设 df x， bcy，则有 gf x ， ad y.dc 2df ， cf x， dcab bg 2x bf bggf 3x aedfgb

16、c在 rt bcf 中， bc2cf 2 bf 2，即 y2x 2(3x)2 y 22 x ， ady2 ab2 x由知， gf =df ，设 df x，bc y，则有 gf x，ad y dc ndf ， dc ab bg nx cf (n 1)x ，bf bgady2 ngf (n1)x 在 rt bcf 中， bc2 cf 2 bf 2，即 y2 ( n 1)x 2 (n 1)x2 y 2 n xnx（或abn2）n11. 如图，已知： c 是以 ab为直径的半圆 o上一点， chab 于点 h，直线 ac与过 b 点的切线相交于点 d，e 为 ch中点，连接 ae并延长交 bd于点 f

17、，直线 cf 交直线 ab于点 g.（ 1）求证：点 f 是 bd中点；（ 2）求证： cg是 o的切线；（ 3）若 fb=fe=2，求 o的半径解析 (1)证明： ch ab ， db ab ，ehaece aeh afb ， ace adf ， he ec， bf fdbfaffd(2)方法一：连接cb 、oc ， ab 是直径， acb 90f 是 bd 中点， bcf= cbf=90 -cba= cab= aco ocf=90 ,cg 是 o 的切线(3)解：由 fc=fb=fe 得： fce= fec可证得： fa fg ，且 ab bg 由切割线定理得：（2212 fg ） bg

18、ag=2bg在 rt bgf 中，由勾股定理得：222212216， fg2 2（舍去）bgfg bf由 、 得： fg-4fg-12=0 解之得： fgab bg 4 2 o 半径为 2212 . .如图，已知 abc ，以 bc 为直径， o 为圆心的半圆交ac 于点 f ，点 e 为弧 cf 的中点，连接 be 交 ac 于点m ， ad 为 abc 的角平分线，且adbe ，垂足为点h .6（ 1）求证： ab 是半圆 o 的切线；（ 2）若 ab3， bc4 ，求 be 的长 .a解答：（ 1）证明：连接 ec ， ad be 于 h ， 1 2，fea 3 4 4 5 3， 又 e

19、 为弧 cf 中点， 6 7，ham bc 是直径， e 90， 5 690， 又 ahm e 90， ad ce ，baa 2 6 1， 37 90， 又 bc 是直径， ab 是半圆 o 的切线； （2） abd o3 ， bc4 。由（ 1）aa知，abc 90o ， ac 5.在 abm 中， adbm 于 h ， ad 平分bac ， amab 3， cm 2.ecmc185由 cme bce ，得cb. eb2ec ， beeb2513（ 2011 成都）已知：如图，以矩形abcd 的对角线 ac 的中点 o 为圆心， oa 长为半径作 o， o 经过 b 、 d 两点，过点 b

20、作 bk ac，垂足为 k 过 d 作 dh kb ，dh 分别与 ac、ab o 及 cb 的延长线相交于点e 、 f 、g、h （1）求证： ae ck；（ 2）如果 ab a，ad 1a （a 为大于零的常数），求 bk 的长：3（3）若 f 是 eg 的中点，且 de 6，求 o 的半径和 gh 的长解答： （1）证明：四边形 abcd 是矩形， ad bc， bk ac， dh kb ， bkc aed 90， bkc ade ， ae ck；（2） ab a，ad 1 a bc， acab 2bc 2a2( 1 a) 2a 10333bk ac ， bkc abc ， aca10a

21、bk ， 3， 10 bk a， bkbcab1abk310a10（3）连接 of ， abcd 为矩形， efof1163， f 是 eg 的中ed， ef ed bc22点， gf ef 3， afd hbf ， hf fe 36 9， gh 6， dh kb ，abcd为矩形， ae 2 ef ?ed 36 18， ae 32 ， aed hec ， aeed1， ae 1ac， ac 92 则 ao92 eche232ca714.（ 2011?綦江县）如图，等边abc 中， ao 是 bac 的角平分线， d 为 ao 上一点，以cd 为一边且在cd 下方作等边 cde ，连接 be

22、（ 1）求证： acd bce ；（2）延长 be 至 q， p 为 bq 上一点，连接cp、cq 使 cp=cq=5 ，若 bc=8 时，求 pq 的长解答： 解：（ 1） abc 与 dce 是等边三角形，ac=bc ， dc=ec ， acb= dce=60， acd+ dcb= ecb+ dcb=60 ， acd= bce ， acd bce （ sas）；（2）过点 c 作 ch bq 于 h ， abc 是等边三角形，ao 是角平分线， dac=30 ， acd bce ， qbc= dac=30 ， ch=bc=8=4， pc=cq=5 ，ch=4 ， ph=qh=3 ， pq=

23、6 15. (2010 湖北省荆门 ) 如图，圆 o 的直径为 5，在圆 o 上位于直径 ab 的异侧有定点 c 和动点 p ，已知 bc ca 4 3，点 p 在半圆弧 ab 上运动 (不与 a 、 b 重合 )，过 c 作 cp 的垂线 cd 交 pb 的延长线于 d 点 (1)求证： ac cd pc bc；(2)当点 p 运动到 ab 弧中点时，求 cd 的长；c(3)当点 p 运动到什么位置时，pcd 的面积最大？并求这个最大面积saobd答案 23解： (1) ab 为直径， acb 90又 pccd ， pcd 90pdacbcc而 cab cpd ， abc pcd cpcd

24、第 15 题oac cd pcbc；aeb(2)当点 p 运动到 ab 弧中点时，过点b 作 be pc 于点 e pp 是 ab 中点， pcb 45， cebe 2 bc 2 2 2又 cab cpb， tan cpbtan cab 4 petanbe3 (2bc) 3 23cpb422从而 pc pe ec 7 2 由 (1)得 cd 4 pc 14 22331pccd由 (1) 可知， cd 4pc(3)当点 p 在 ab 上运动时， spcd23s pcd 2 pc2故 pc 最大时， s pcd 取得最大值； 而 pc 为直径时最大， s pcd 的最大值 s 25250333m

25、作 o的切线 mp 交 oa 的延长线于 p16（ 2010 安徽芜湖）如图， bd 是 o 的直径， oa ob,m 是劣弧 ab 上一点，过点点， md 与 oa 交于点 n 。3（1）求证： pm=pn ；（ 2）若 bd=4,pa=2 ao, 过 b 点作 bc mp 交 o 于 c 点，求 bc 的长8【答案】（ 1）证明：连结 om, mp 是 o 的切线， om mp omd + dmp=90 oa ob ， ond + odm=90 mnp=ond, odn=omd dmp= mnp pm=pn （ 2）解：设 bc 交 om 于 e, bd=4, oa=ob=2, 3pa=o

26、a=321 po=5 bc mp, om mp, om bc, be=bc bom + mop=90,在 rt omp中， mpo +mop=902ombe2be48 bom= mpo又. beo= omp =90omp beo bo2, be= bc=op55517（ 2010 福建宁德）如图，四边形 abcd是正方形， abe是等边三角形， m为对角线 bd（不含 b 点）上任意一点，将bm绕点b 逆时针旋转 60得到bn，连接 en、 am、 cm.adad 求证： amb enb；n 当 m点在何处时， amcm的值最小；emenm当 m点在何处时， ambmcm的值最小，并说明理由；

27、bcfbc 当 ambmcm的最小值为3 1时，求正方形的边长 .【答案】解：abe是等边三角形， babe， abe60. mbn60， mbn abn abe abn.即 bma nbe.又 mbnb， amb enb（ sas）.如图，连接 ce，当 m点位于 bd与 ce的交点处时， am bm cm的值最小 .理由如下： 连接 mn.由知， amb enb， amen. mbn60 ，mbnb， bmn是等边三角形 . bm mn. ambmcmenmncm. 根据“两点之间线段最短”，得 en mn cm ec最短当 m点位于 bd与 ce的交点处时， ambmcm的值最小，即等于ec的长 . 过 e 点作 efbc交 cb的延长线于f， ebf 906030. 设正方形的边长为x ，则 bf3 x，ef2 x .2222x 2222 （舍去负值） . 正方形的在 rt efc中， ef fc ec，（） （3 x x） 3 1 . 解得， x 22边长为2 .-the end, there is no txt following.-9