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1、中考数学专题:几何图形证明与计算题分析-作者 : _-日期 : _2016中考数学专题复习:几何图形证明与计算题分析几何图形线段长度计算三大方法:“勾股定理”“相似比例计算”“直角三角形中的三角函数计算”1.( 2011 深圳 20 题)如图 9,已知在 o 中,点 c 为劣弧 ab 上的中点,连接ac 并延长至 d ,使 cd ca ,连接 db并延长交 o 于点 e ,连接 ae 。( 1)求证: ae 是 o 的直径;( 2)如图 10,连接 ec , o 半径为 5,ac 的长为 4,求阴影部分的面积之和。(结果保留与根号)( 1)证明:如图2,连接 ab 、 bc ,? 点 c 是劣

2、弧 ab 上的中点 cacb ca cb ,又 cd ca cb cd ca , 在 abd 中, cb1 ad2 abd 90, abe 90 ae 是 o 的直径 .oaoaeeccbbdd(2)解:如图3,由( 1)可知, ae 是 o 的直径,图图 ace 90, o 的半径为 5,ac 4, ae 10, o 的面积为 25,oaoa在 rt ace 中, ace 90,由勾股定理,得:eeceae2ac2102422 21bcc s ace 1ac ce12214 21bd24d2图 s 阴影 1 so s ace 125421254 21图 32222.( 2011 深圳中考 2

3、1 题)如图11,一张矩形纸片abcd ,其中 ad 8cm , ab 6cm ,先沿对角线bd 对折,点 c 落在点 c的位置, bc 交 ad 于点 g。( 1)求证: ag cg;( 2)如图 12,再折叠一次,使点 d 与点 a 重合,得折痕 en ,en 交 ad 于点 m ,求 em 的长。ccecadamdagdggnbcbcbc图图图 4a( 1)证明:如图4,由对折和图形的对称性可知,cd cd , c c 90在矩形 abcd 中, ab cd , a c90ab c d, a c 在 abg 和 cdg 中, ab cd , a c , agb c g d abg cdg

4、 ( aas )ag cgb1(2)解:如图5,设 em x ,ag y,则有: cg y,dg 8y, dm4cm ,ad2在 rt cdg 中, dc g 90,c d cd 6, cg2 cd 2dg 2 即: y2 62( 8y) 2cedg mnc图解得: y7725 cg cm, dg cm4444x 解得: x又 dme dc gdmme77所求的 em 长为, 即:, 即: em (cm )dcc g6( 7)6647cm。62【典型例题分析】mc1. ( 2011 四川凉山 )已知菱形abcd 的边长是 8,点 e 在直线 ad 上,若 de 3,连接 be 与对角线 ac

5、相交于点m ,则am的值是.解答: 菱形 abcd 的边长是8, ad bc 8,ad bc,aed如ade图1:当 e 在mm ae ad线段ad 上时,bc b图2cde 83 5,图1 mae mcb , mcbc8; 如图 2,当 e 在 ad 的延长线上时, ae ad de 8311,amae5 mae mcb ,mcbc8mc8888amae11 的值是或故答案为:或am5115112. ( 2011 重庆江津区 )如图,在平面直角坐标系中有一矩形abcd ,其中 a ( 0,0), b ( 8,0), d (0, 4),若将 abc 沿ac 所在直线翻折,点b 落在点 e 处则

6、 e 点的坐标是解答: 解:连接 be ,与 ac 交于 g,作 ef ab , ab ae , bac eac , aeb 是等腰三角形, ag 是 be 边上的高,eg gb, eb 2eg, bg bcab 488 5,设 d( x,y),则有: od2 of2 ad2af2, ae2ac8242522222222432, e 点的坐标为:af be bf 即: 8x( 2bg)( 8 x) ,解得: x, yef 5524 , 32 故答案为:24 , 3255553. 如图,在边长为8 的正方形 abcd 中, p 为 ad 上一点,且 ap5, bp 的垂直平分线分别交正方形的边于

7、点e ,f , q 为垂足,则 eq: ef 的值是() a 、 5 : 8b、 5 : 13c、 5 :16d、 3: 8解答: 分析:容易看出rt beq rtbpa, 得 eqap ,bqab即 eq1 bp55bp 。而根据正方形的性质,易知,如图,把fe 平移至 cg 的位置,2816由 rtcgbrtbpa, 有 efcgbp ,eq : ef5 bp : bp5 : 16解:选 c。16dfcdfcpqpqaebaegb34. ( 2011?泰安)如图,点o 是矩形 abcd 的中心, e 是 ab 上的点,沿ce 折叠后,点b 恰好与点 o 重合,若bc=3 ,则折痕ce 的长

8、为() a 、b 、c 、d、6解答: ceo 是 ceb 翻折而成, bc=co ,be=oe , o 是矩形 abcd 的中心, oe 是 ac 的垂直平分线,ac=2bc=2 3=6, ae=ce ,在 rt abc 中, ac 2 =ab 2+bc 2,即 62=ab 2+3 2,得 ab=3,在 rt aoe 中,设 oe=x ,ae=3 x ,ae 2=ao 2+oe 2,即( 3x ) 2= (3) 2+3 2,得 x=, ae=ec=3=2选 a 5. ( 2011?潍坊)已知长方形abcd , ab=3cm , ad=4cm ,过对角线bd 的中点 o 做 bd 垂直平分线e

9、f ,分别交ad 、 bc 于点e 、f,则 ae 的长为解答: 解:连接eb , bd 垂直平分ef , ed=eb , 设 ae=xcm ,则 de=eb= (4x) cm ,在 rt aeb 中, ae 2 +ab 2 =be 2, 即: x 2+32 =( 4x)2,解得: x=故答案为:cm6.如图,在 rt abc 中,acb90 , ac bc1 。将 abc 绕点 c 逆时针旋转 30得到 a1b1c1 , cb1 与 ab相交于点 d 。求 bd 的长。解:如图( 2),作 dgcb 于点 g,设 bd = x ,rt dgb 中, b 45 , dgbg2 bd2 x 在r

10、t dcg 中,22dcgb1cb 30,cg3dg32 x6 x 。22cgbgcb1, 即6 x2 x1,22解得 x62bd 的长为62。2。27.如图,在等腰梯形abcd中, ab / cd,ad =bc,延长 ab 到 e ,使 be =dc,连结 ce,若 afce 于点 f,且 af 平分dcfgdae , cd2 , 求 sincaf 的值。abeae5解答: 首先,在 rt acf 中, sincafcf ,ac剩下的任务就是去求cf 和 ac 之间的数量关系,如去求出cf 用 ac 表示的代数式。为此,去研究相应的条件:由abcd为等腰梯形, becd 为平行四边形( be

11、/cd ,be=cd ),可知: ac=bd=ec ;由af ce 知 afbd 且 af 平分bad , 得 abd 是等腰三角形,设af 交 bd 于点 g,则 bg1 bd1 ac224由 bg/ec ,知abg aef ,bgabaebeaecd123 ,efaeaeae55ef5 bg5 (1 ac )5 ac.33261 ac51cf1如此一来, cfecefaccaf6acaf , 当然就有 sinacac。6668.如图,把一副三角板如图(1)放置,其中acbdec90 ,a45 ,d30 ,斜边ab6cm, dc7cm, 把三角板 dce 绕点 c 顺时针旋转15得到 d c

12、e 如图( 2), 这时 ab 与 cd 相交于点 o ,d e 与 ab 相交于点 f。(1)求ofe 的度数;(2)求线段 ad 的长;(3)若把三角形 d ce 绕着点 c 顺时针再旋转 30得到 d ce ,这时点 b 在dce 的内部,外部,还是边上?证明你的判断。daocg f(3)be解答: 分析:对于( 1),如图( 3),设 cb 与 d e 相交于点 g,则可通过ofe 与fgb , cge 内角的关系,求得ofe 的值;对于(2),可先推出aod90 ,并导出 oa, od 的长;对于( 3),设直线 cb 交 de 于 b ,应在 rtb ce 中计算出 cb 的长,为

13、此为基础进行判断。解:( 1)设 cb 与 d e 相交于点 g,如图( 3),则:ofe bfgbbcgeb180bce e451801590120 。(2)连结ad ,qaod od fofd od f180ofe 3018012090又acbc, ab6cm, 而 aco301545 , oaob oc3cm 。在 rtaod 中 , ao 3, odcd co734 cmad32425 cm 。(3)点 b 在 dce 内部,理由如下:设bc (或延长线)交d e 于点 b ,b ce 153045 ,在 rtb ce 中 ,cb 2ce 7 2cm ,又cb32 cm72cm ,即

14、cbcb ,点 b 在d ce 内部。22ab 是 o 的直径,过点 o 作弦 bc 的平行线,交过点a 的切线 ap 于点 p ,连结 ac 9. (2009 年清远)如图,已知5(1)求证: abc poa ;( 2)若 ob7,求 bc 的长2 , op2【答案】( 1)证明: q bc opaopbq ab是直径c90q pa是 o 的切线,切点为 aoap90 coap abc poabcab7bc4(2)q abc poaq ob 2, pooa2, ab 47oapo2227 bc8,bc162710( 2010 河南) ( 1)操作发现 :如图,矩形 abcd 中, e 是 a

15、d 的中点,将 abe 沿 be 折叠后得到 gbe ,且点 g 在矩形abcd 内部小明将bg 延长交 dc 于点 f,认为 gf =df ,你同意吗?说明理由(2)问题解决 保持( 1)中的条件不变,若dc =2df ,求 ad 的值;abad( 3)类比探求: 保持( 1)中条件不变,若dc =ndf ,求的值ab【答案】同意,连接ef ,则 egf d 90,egae ed, ef ef rt egf rt edf gf df 由知, gf df 设 df x, bcy,则有 gf x , ad y.dc 2df , cf x, dcab bg 2x bf bggf 3x aedfgb

16、c在 rt bcf 中, bc2cf 2 bf 2,即 y2x 2(3x)2 y 22 x , ady2 ab2 x由知, gf =df ,设 df x,bc y,则有 gf x,ad y dc ndf , dc ab bg nx cf (n 1)x ,bf bgady2 ngf (n1)x 在 rt bcf 中, bc2 cf 2 bf 2,即 y2 ( n 1)x 2 (n 1)x2 y 2 n xnx(或abn2)n11. 如图,已知: c 是以 ab为直径的半圆 o上一点, chab 于点 h,直线 ac与过 b 点的切线相交于点 d,e 为 ch中点,连接 ae并延长交 bd于点 f

17、,直线 cf 交直线 ab于点 g.( 1)求证:点 f 是 bd中点;( 2)求证: cg是 o的切线;( 3)若 fb=fe=2,求 o的半径解析 (1)证明: ch ab , db ab ,ehaece aeh afb , ace adf , he ec, bf fdbfaffd(2)方法一:连接cb 、oc , ab 是直径, acb 90f 是 bd 中点, bcf= cbf=90 -cba= cab= aco ocf=90 ,cg 是 o 的切线(3)解:由 fc=fb=fe 得: fce= fec可证得: fa fg ,且 ab bg 由切割线定理得:(2212 fg ) bg

18、ag=2bg在 rt bgf 中,由勾股定理得:222212216, fg2 2(舍去)bgfg bf由 、 得: fg-4fg-12=0 解之得: fgab bg 4 2 o 半径为 2212 . .如图,已知 abc ,以 bc 为直径, o 为圆心的半圆交ac 于点 f ,点 e 为弧 cf 的中点,连接 be 交 ac 于点m , ad 为 abc 的角平分线,且adbe ,垂足为点h .6( 1)求证: ab 是半圆 o 的切线;( 2)若 ab3, bc4 ,求 be 的长 .a解答:( 1)证明:连接 ec , ad be 于 h , 1 2,fea 3 4 4 5 3, 又 e

19、 为弧 cf 中点, 6 7,ham bc 是直径, e 90, 5 690, 又 ahm e 90, ad ce ,baa 2 6 1, 37 90, 又 bc 是直径, ab 是半圆 o 的切线; (2) abd o3 , bc4 。由( 1)aa知,abc 90o , ac 5.在 abm 中, adbm 于 h , ad 平分bac , amab 3, cm 2.ecmc185由 cme bce ,得cb. eb2ec , beeb2513( 2011 成都)已知:如图,以矩形abcd 的对角线 ac 的中点 o 为圆心, oa 长为半径作 o, o 经过 b 、 d 两点,过点 b

20、作 bk ac,垂足为 k 过 d 作 dh kb ,dh 分别与 ac、ab o 及 cb 的延长线相交于点e 、 f 、g、h (1)求证: ae ck;( 2)如果 ab a,ad 1a (a 为大于零的常数),求 bk 的长:3(3)若 f 是 eg 的中点,且 de 6,求 o 的半径和 gh 的长解答: (1)证明:四边形 abcd 是矩形, ad bc, bk ac, dh kb , bkc aed 90, bkc ade , ae ck;(2) ab a,ad 1 a bc, acab 2bc 2a2( 1 a) 2a 10333bk ac , bkc abc , aca10a

21、bk , 3, 10 bk a, bkbcab1abk310a10(3)连接 of , abcd 为矩形, efof1163, f 是 eg 的中ed, ef ed bc22点, gf ef 3, afd hbf , hf fe 36 9, gh 6, dh kb ,abcd为矩形, ae 2 ef ?ed 36 18, ae 32 , aed hec , aeed1, ae 1ac, ac 92 则 ao92 eche232ca714.( 2011?綦江县)如图,等边abc 中, ao 是 bac 的角平分线, d 为 ao 上一点,以cd 为一边且在cd 下方作等边 cde ,连接 be

22、( 1)求证: acd bce ;(2)延长 be 至 q, p 为 bq 上一点,连接cp、cq 使 cp=cq=5 ,若 bc=8 时,求 pq 的长解答: 解:( 1) abc 与 dce 是等边三角形,ac=bc , dc=ec , acb= dce=60, acd+ dcb= ecb+ dcb=60 , acd= bce , acd bce ( sas);(2)过点 c 作 ch bq 于 h , abc 是等边三角形,ao 是角平分线, dac=30 , acd bce , qbc= dac=30 , ch=bc=8=4, pc=cq=5 ,ch=4 , ph=qh=3 , pq=

23、6 15. (2010 湖北省荆门 ) 如图,圆 o 的直径为 5,在圆 o 上位于直径 ab 的异侧有定点 c 和动点 p ,已知 bc ca 4 3,点 p 在半圆弧 ab 上运动 (不与 a 、 b 重合 ),过 c 作 cp 的垂线 cd 交 pb 的延长线于 d 点 (1)求证: ac cd pc bc;(2)当点 p 运动到 ab 弧中点时,求 cd 的长;c(3)当点 p 运动到什么位置时,pcd 的面积最大?并求这个最大面积saobd答案 23解: (1) ab 为直径, acb 90又 pccd , pcd 90pdacbcc而 cab cpd , abc pcd cpcd

24、第 15 题oac cd pcbc;aeb(2)当点 p 运动到 ab 弧中点时,过点b 作 be pc 于点 e pp 是 ab 中点, pcb 45, cebe 2 bc 2 2 2又 cab cpb, tan cpbtan cab 4 petanbe3 (2bc) 3 23cpb422从而 pc pe ec 7 2 由 (1)得 cd 4 pc 14 22331pccd由 (1) 可知, cd 4pc(3)当点 p 在 ab 上运动时, spcd23s pcd 2 pc2故 pc 最大时, s pcd 取得最大值; 而 pc 为直径时最大, s pcd 的最大值 s 25250333m

25、作 o的切线 mp 交 oa 的延长线于 p16( 2010 安徽芜湖)如图, bd 是 o 的直径, oa ob,m 是劣弧 ab 上一点,过点点, md 与 oa 交于点 n 。3(1)求证: pm=pn ;( 2)若 bd=4,pa=2 ao, 过 b 点作 bc mp 交 o 于 c 点,求 bc 的长8【答案】( 1)证明:连结 om, mp 是 o 的切线, om mp omd + dmp=90 oa ob , ond + odm=90 mnp=ond, odn=omd dmp= mnp pm=pn ( 2)解:设 bc 交 om 于 e, bd=4, oa=ob=2, 3pa=o

26、a=321 po=5 bc mp, om mp, om bc, be=bc bom + mop=90,在 rt omp中, mpo +mop=902ombe2be48 bom= mpo又. beo= omp =90omp beo bo2, be= bc=op55517( 2010 福建宁德)如图,四边形 abcd是正方形, abe是等边三角形, m为对角线 bd(不含 b 点)上任意一点,将bm绕点b 逆时针旋转 60得到bn,连接 en、 am、 cm.adad 求证: amb enb;n 当 m点在何处时, amcm的值最小;emenm当 m点在何处时, ambmcm的值最小,并说明理由;

27、bcfbc 当 ambmcm的最小值为3 1时,求正方形的边长 .【答案】解:abe是等边三角形, babe, abe60. mbn60, mbn abn abe abn.即 bma nbe.又 mbnb, amb enb( sas).如图,连接 ce,当 m点位于 bd与 ce的交点处时, am bm cm的值最小 .理由如下: 连接 mn.由知, amb enb, amen. mbn60 ,mbnb, bmn是等边三角形 . bm mn. ambmcmenmncm. 根据“两点之间线段最短”,得 en mn cm ec最短当 m点位于 bd与 ce的交点处时, ambmcm的值最小,即等于ec的长 . 过 e 点作 efbc交 cb的延长线于f, ebf 906030. 设正方形的边长为x ,则 bf3 x,ef2 x .2222x 2222 (舍去负值) . 正方形的在 rt efc中, ef fc ec,() (3 x x) 3 1 . 解得, x 22边长为2 .-the end, there is no txt following.-9

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