九年级数学辅导：四边形(一)

1、四边形（一）【知识要点】平行四边形一、性质定理： 平行四边形的对边相等，对角相等，两对角线互相平分二、判定（1）定义，即两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等；（4）两组对角分别相等；（5）两条对角线互相平分adc 交例 1如图 1，已知abcd中， de平分延长线于，cbebf平分 abc 交 ad延长线于 f，求证：四边形 bfde是平行四边形fdcabe拓展训练 ：如图，点 e、f 是平行四边形abcd的对角线 ac上两点，且 ae=cf.求证：四边形 debf是平行四边形 .dcefab第1页共 6页矩形一、性质矩形除具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形的

2、四个角都是直角，对角线相等二、判定（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）矩形的判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形；（3）矩形的判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形三、推论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形例 2如图所示，已知 abcd的四条内角平分线交于 e、f、g、h，求证：四边形 efgh是矩形adghfebc例 3如图，在 abc 中， d 是 bc 边上的一点， e 是 ad 的中点，过 a 点作 bc 的平行线交 ce 的延长线于 f ，且 afbd ，连结 bf （1）求证

3、： d 是 bc 的中点（2）如果 abac ，试判断四边形 afbd 的形状，并证明你的结论afebdc第2页共 6页菱形一、性质： 菱形除具有平行四边形的所有性质之外，还具有，菱形的四边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角二、判定（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）菱形的判定定理 1：四边都相等的四边形是菱形；（3）菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形例 4如图，在四边形 abcd中， ab=cd，bc=ad，o 为 bd的中点，过 o点作 bd的垂直平分线交 ba，dc延长线于 e、f，求证：四边形 debf是菱形eadobcf例 5在等腰

4、abc 中， ab ac ， ad 平分 bac 交 bc 于 d 点，在线段 ad 上任取一点 p （ a 点除外），过 p 点作 ef ab ，分别交 ac，bc 于 e， f 点，作 pm ac ，交 ab 于 m 点，连结 me （1）求证：四边形 aepm 为菱形；（2）当 p 点在何处时，菱形 aepm 的面积为四边形 efbm 面积的一半？cdepfabm第3页共 6页正方形一、性质：正方形除具有平行四边形所有性质外，还具有，正方形的四个角都是直角，两条对角线相等，并且互相垂直平分每条对角线平分一组对角二、判定（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（2）

5、判定定理 1：一组邻边相等的矩形是正方形；（3）判定定理 2：一个角是直角的菱形是正方形例 6如图，已知 rt abc 中， c 90 ，cd平分 acb, de 于 e，dfac于 f，求证：四边形 cfde是正方形,bc【经典练习】一、选择题1不能判定四边形 abcd为平行四边形的题设是（）aab=cd ad=bcbab cdcab=cd adbcdabcd adbc2 以下命题正确的是（）a 两条对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形b 顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形c 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形d 一组对边平行且一组邻角相等的四边形是等腰梯形3 下列说法错误

6、的是（）a 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形b 每组邻边都相等的四边形是菱形c 四个角相等的四边形是矩形d 对角线互相垂直的平行四边形是正方形4 用两个全等的直角三角形拼下列图形：（ 1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形） ；（ 2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（）a （ 1）（2）（ 5）b（ 2）（3）（5）c （ 1）（4）（ 5）d（ 1）（2）（3）第4页共 6页5 如图，已知 abcd是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（）adaab=cdb ac=bdc 当 acbd时，它是菱形bcd 当 abc 90 时，它是矩形

7、6 如图，过矩形 abcd的四个顶点作对角线ac、bd的平行线，分别相交于 e、f、g、 h四点，则四边形 efgh是（）a既非矩形也非菱形的平行四边形ab 矩形ec 菱形bd 正方形二、解答题1. 如图所示， p 是 abc 内一点， d、e、f、g 分别是上的一点，且 debc、fe ap，gdap.求证：四边形 defg是平行四边形 .hdgfcpb、pc、ac、 abagfpdebc2如图所示，o是 ac的中点，过 o作 abc 的边 bc的平行线 mn，交 acb 的平分线于 e，交 abc 的角 acb 的外角平分线于 f，求证：四边形 aecf是矩形ameofndbc第5页共 6

8、页【课后作业】课题姓名1如图1所示 的对角线交点为o，周长为20cm，aob 的abcd周长比 boc 的周长大 2cm，则 ab=cm,bc=cm.2如图 2 所示，在 abcd 中， ef bc， ghab ，ef、gh 的交点 p 在 bd 上，则图中有对四边形的面积相等3如图 4 所示，在 abcd 中 ae bc，af cd，e、 f 为垂足，已知 ab= a ，df= b ，eaf60，则 abcd 的面积为（）a 3abb abc. 2abd 3 abg2dadacddoeffa图 1bbhcbec图 2图 44如图 5，在 abcd 中， ac ab ， abd30 ，ac 交 bd 于 o，ao=1，则 bc 的长是（）a 7b 5c 3d 2 25如图 6，把abc 纸片沿 de 折叠，当点a 落在四边形 bcde 内部时，则a 与12 之间有一种数量关系始终保持不变，请找一找这个规律，你发现规律是（）a a = 1 2b 2 a = 12c 3 a 2 1 2d. 3 a 2 126已知平行四边形一边长为10,一条对角线长为 6,则别一条对角线 a 的取值范围是 ()a.4 a1