中考数学最值问题研究

1、中考数学中的几何最值问题在近几年各地中考中，几何最值问题屡屡受到命题者关注，此类问题不仅涉及平面几何的基础知识，还涉及几何图形的性质、平面直角坐标系、方程与不等式、函数知识等。因此一批立意新颖、构造精巧、考点突出的新题、活题脱颖而出。这类试题较好地考查了同学们的几何探究、推理能力的要求及数学思想方法的运用。本节课以近几年的全国各地的中考题为例加以讲解，希对同学们的备考有所帮助。（2009年潍坊市）已知边长为a的正三角形 abc ，两顶点 a、b 分别在平面直角坐标1系的x 轴、 y 轴的正半轴上滑动，点c 在第一象限，连结oc，则 oc 的长的最大值是_ 解： 取 ab 的中点d ，连结 od

2、 、cd 、 oc ，则 od=1 a ，且 cd2ycab， cd=3 a ，当 c， d， o2b三点共线时， oc=od+cd，否则 oc od+cd， oc 长 的 最大 值 是x1 a +3 a 。oa22点评 本题求一条线段的最大值，关键是抓住斜边长度确定，斜边上的中线长也确定，利用三角形两边之和大于第三边，寻找突破口从而求解。（2008年兰州） 如图，在 abc 中， ab 10， ac8， bc6 ，经过点 c 且与边 ab2相切的动圆与 cb， ca 分别相交于点e， f ，则线段 ef 长度的最小值是（）a 4 2b 4.75c 5d 4.8解： 易知 abc 是直角三角形

3、，所以ef 是圆的直径，设切点是d ，因为直径是圆中最长的弦，所以 ef cd，作 ch ab于点 h，则 cd ch，所以有 ef ch，即 ef 长度的最小值是 ch ，利用面积方法易得 ch=4.8 。所以线段 ef 长度的最小值是4.8，故选 d。bbhddeecacfaf点评本题求一条线段的最小值，通过转化后利用垂线段最短求解。3（ 2009 年四川达州）在边长为2 的正方形abcd 中，点 q 为 bc 边的中点，点p 为对角线 ac 上一动点，连接pb、 pq，则 pbq 周长的最小值为_ （结果不取近似值）。1adpqbcq解： b、 q 在直线 ac 同侧，动点 p 只能在

4、ac 上运动。 pbq 中， b、 q 长度不变，要使 pbq 周长最小，应使动点 p 到两定点 b、 q 之和 pb+pq 直线 ac 是正方形的对称轴，点 q 关于对角线 ac 的对称点 q一定落在边为定点，故bq最小。cd上，如图所示，当 b、p、 q共线时pb+pq=pb+pq=bq =5取最小值，则pbq 周长的最小值为5 +1。点评本题有一定的难度，pbq 周长的最小值问题转为求一个动点到两个定点的距离和的最小值问题，通过作对称点的方法，当三点共线时，两条线段和pbq 周长的最小。4（ 2010 年苏州）如图，已知a、 b 两点的坐标分别为(2 ，0) 、 (0 ， 2) ， c

5、的圆心坐标为( 1， 0) ，半径为1若 d 是 c 上的一个动点，线段da与 y 轴交于点e，则 abe面积的最小值是（）a 2b 1c 22 2 2d2解：当 ad 为 c 的切线，切点为d 时， oe 最长， be 最短，此时 abe 面积最小，易证ao e adc ，所以 oeao，可求得 oe=2 ，于是 be=2-2 ，从而 abe面积的cdad22最小值是 12 2222。选 d。222点评本题求面积的最小值，由于三角形的高确定，因此只要求底（即一条线段）的最小值即可，根据圆的性质，易知ad处于极端位置（切线）时，所求三角形的面积最小。5（ 2010 年天津市）在平面直角坐标系中

6、，矩形oacb 的顶点 o 在坐标原点，顶点a、 b分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，oa3 ， ob4 ， d 为边 ob 的中点 .2（1）若 e 为边 oa 上的一个动点，当cde 的周长最小时，求点 e 的坐标；（2）若 e 、 f 为边 oa 上的两个动点， 且 ef2 ，当四边形 cdef 的周长最小时， 求点 e 、f 的坐标 .如图可以作点 d 关于 x 轴的对称点 d，连接 c d与 x 轴交于点 e， cde 的温馨提示周长是最小的。这样，你只需要求出oe的长，就可以确定点e 的坐标了。ycycbbddo ea xoa xd解： （ 1）如图，作点d 关于 x 轴的对称点

7、 d ，连接 cd与 x 轴交于点 e，连接 de .若在边 oa 上任取点 e （与点 e 不重合），连接ce 、 de 、 de.由 de ced ececd d ece dece ，y可知 cde 的周长最小 .bc 在矩形 oacb 中， oa3 ， ob 4， d 为 ob 的中点， bc 3 ， d odo 2 ， d b 6 . oe bc，d rt d oe rt d bc ，有 oed o .bcd boee a xd o bc2 31. oed b6d 点 e 的坐标为（ 1， 0） .（ 2）如图，作点 d 关于 x 轴的对称点 d ，在 cb 边上截取 cg2 ，连接

8、d g 与 x 轴交于点 e ，在 ea 上截取 ef2 . gc ef ， gcef ，y 四边形 gefc 为平行四边形，有 ge cf .又 dc 、 ef 的长为定值，bgc 此时得到的点e 、 f 使四边形 cdef 的周长最小 . oe bc， rt d oe rt d bg ,有oed o.dbgd b oed o bgd o (bccg)2 11 .oefa xd bd b63 ofoe ef17d32.3 点 e 的坐标为（1 ， 0），点 f 的坐标为（ 7 ， 0）33点评 本题（ 1）有一个温馨提示，而问题（2）要使四边形 cdef 的周长最小，注意到dc、ef 的长为

9、定值， 故只需 de+cf最小， 用轴对称及平移方法设法将de、cf集中到一条直线上解决问题。6（ 2009 年郴州市） 如图 1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点m（ 2， 1），且 p（ 1， 2）为双曲线上的一点，q 为坐标平面上一动点，pa 垂直于 x 轴， qb 垂直于 y 轴，垂足分别是 a、b3（ 1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（ 2）当点 q 在直线 mo 上运动时， 直线 mo 上是否存在这样的点q，使得 obq 与 oap面积相等？如果存在，请求出点q 的坐标，如果不存在，请说明理由；（ 3）如图 2，当点 q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以op、oq

10、 为邻边的平行四边形opcq，求平行四边形opcq 周长的最小值yybaoqxbaomqxmcp图p图 1解：（ 1）设正比例函数解析式为ykx ，将点 m（ 2 ， 1）坐标代入得 k = 1，所以正12比例函数解析式为2分y = x2y = 2同样可得，反比例函数解析式为3分x（ 2）当点 q 在直线 do 上运动时，1设点 q 的坐标为 q( m， m) ，4 分2于是 ， s obq1 obbq11 m m1 m 22224而， s oap1 | (1)( 2) |1所以有， 122= 1，解得 m26m4 分所以点 q 的坐标为 q1 (2，1) 和 q2 (- 2，- 1)7 分（

11、 3）因为四边形opcq 是平行四边形，所以op cq， oq pc，而点 p（ 1，2）是定点，所以op 的长也是定长，所以要求平行四边形opcq 周长的最小值就只需求oq 的最小值8 分因为点 q 在第一象限中双曲线上，所以可设点2q 的坐标为 q( n， ) ，n由勾股定理可得 oq 2 = n2 +4= (n - 2) 2 + 4 ，n2n所以当 (n -2) 2 =0即 n - 2= 0 时， oq2有最小值 4，nn又因为 oq 为正值，所以oq 与 oq2 同时取得最小值，所以 oq 有最小值29 分4由勾股定理得 op5 ，所以平行四 形opcq 周 的最小 是2(op + o

12、q) = 2(5 + 2) = 2 5 + 4 10 分点 本 中的（ 1）、（ 2）小 相 ， （3）求平行四 形周 的最小 ，注意到 op 的 定 ，只需求 oq 的最小 ，通 勾股定理、配方求解。其 本 24224422有另外两种解法： nn2nn2，即 oq 的最小 4。反比例函数 y =的x一条 称 一、三象限的角平分 ，即直 y=x，所以取到最小 的点q 只能是反比例函数 y =22与直 y=x 在第一象限的交点，同 可求得oq 的最小 4。x7（ 2010 年宁德市）如 ，四 形abcd是正方形， abe 是等 三角形， m 角 bd（不含 b 点）上任意一点，将bm 点 b 逆

13、 旋 60得到 bn， 接 en、 am、cm. 求 ： amb enb； 当 m点在何 ， amcm的 最小；当 m点在何 ， am bm cm的 最小，并 明理由； 当 am bmcm的最小 31 ，求正方形的 .ad解： abe是等 三角形，n ba be， abe 60 . mbn 60，em mbn abn abe abn.即 abm ebn.又 mb nb，bc amb enb（ sas） . 5 分当 m点落在 bd的中点 ， am cm的 最小 . 7 分ad如 ， 接 ce，当 m点位于 bd与 ce的交点 ，am bm cm的 最小 . 9 分理由如下： 接 mn.由知，

14、amb enb， am en.e mbn 60， mb nb， nm bmn是等 三角形 . bm mn.fbc am bm cm en mn cm.根据“两点之 段最短”，得enmn cm ec最短当 m点位于 bd与 ce的交点 ， am bm cm的 最小，即等于ec的 . 11 分 e 点作 ef bc交 cb的延 于 f， ebf 90 60 30. 正方形的 x， bf3 x， ef x .22在 rt efc中，222 ef fc ec，（ x ）2 （23 x x） 2 3 1 . 12 分22解得， x 2（舍去 ） .正方形的 2 . 13 分点 此 中第（2）小 将 段和

15、的最小 化 “两点之 ， 段最短” ，特 是第 （ 2）小 ， 更是利用了 bm 点 b 逆 旋 60得到 bmn是等 三角形的特殊 构，将三条 段的和 化 “两点之 ， 段最短” ，再 合 形的特殊 构5进行分析，从而确定am bm cm取最小值时，点m 的位置，在第（2）小题的基础上，第（ 3）小题显而易见可转化为 rt efc来解决。在动转化为静的过程中，对同学们的思维能力提出了更高的要求。8（ 2010 年通化市）如图，四边形 abcd 中， ad cd ， dab acb 90，过点 d 作 de ac，垂足为 f ， de 与 ab 相交于点 e（ 1）求证： abaf cb cd

16、；（ 2）已知 ab 15 cm，bc 9 cm，p 是射线 de 上的动点设dp x cm（ x0 ），四边形 bcdp 的面积为 y cm2求 y 关于 x 的函数关系式；当 x 为何值时，pbc 的周长最小，并求出此时y 的值解： ad=cd， de ac， de垂直平分 ac， af=cf， dfa=dfc=90， daf= dcf。 dab=daf+ cab=90 cab+ b=90， dcf= daf= b在 rt dcf和 rt abc中， dfc= acb=90， dcf= b dcf abc. cdcfabcbd，即cdaf.pabcb ab af=cb cdc ab=15,

17、 bc=9, acb=90 , ac= ab 2bc 21529212f cf=af=6.1 (x+9) 6=3x+27(x 0).aeb y=2 bc=9(定值 ) ， pbc的周长最小，就是 pb+pc最小 . 由知 , 点 c关于直线 de的对称点是 a, pb+pc=pb+pa,故只要求 pb+pa最小 .显然当 p,a,b 三点共线时 pa+pb最小 . 此时 dp=de, pa+pb=ab.由知 adf= fae, dfa= acb=90得 daf abc.1159由 ef bc,得 ae=be=ab=,ef= .222 af bc=ad ab, 即 6 9=ad 15. ad=1

18、0.在 rt adf中 ,ad=10,af=6, df=8.9 2 5 de=df+fe=8+ =2 2当 x= 25 时， pbc的周长最小，此时 y= 129 .22点评 此题中的第小题对学生有较大的迷惑性，问题是用函数研究运动变化图形中的数量关系，进而建立函数关系式；问题从表面上看似乎要用到问题的结论，易使学生的思维从函数关系式入手探求 pbc的周长最小值的陷阱，此问构思巧妙，需要学生利用几何方法探求 pbc的周长最小值，并求出 x和 y的值 . 问题动静结合，较好地考查了学生分析问题、解决问题的能力 .9（ 2010年济南）如图所示，抛物线y22 x 3与 x 轴交于 a、b两点，直线

19、 bd的函x数表达式为y3x 3 3，抛物线的对称轴l与直线交于点、与轴交于点 bdcxe求 a、 b、 c三个点的坐标点 p 为线段 ab上的一个动点（与点a、点 b不重合），以点 a 为圆心、以 ap为半径的圆弧与线段 ac交于点 m，以点 b 为圆心、以bp为半径的圆弧与线段bc交于点 n，分别连接an、 bm、 mn求证： an=bm6在点 p 运动的过程中， 四边形 amnb的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值 .ydl解：令 x22 x3 0，c解得： x11,x23 ， ( 1， 0) ， (3 ， 0)2 分mab yx22 x 3 = ( x 1)24 ，抛物线

20、的对称轴为直线x=1，n将 =1 代入y3 x3 3，得y=2 3 ，x （ 1， 23 ） .3 分cxcea oe p在 rt中， tan =b3，acecaeae cae=60o，由抛物线的对称性可知 l 是线段 ab的垂直平分线， ac=bc， abc为等边三角形，4 分 ab= bc =ac = 4 ， abc= acb= 60o ，又 am=ap， bn=bp， bn = cm， abn bcm， an=bm.5 分四边形 amnb的面积有最小值 6 分设 ap=m，四边形 amnb的面积为 s，由可知 ab= bc= 4 ， bn = cm=bp，s abc=3 42= 4 3

21、，4 ，4cm=bn= bp= mcn=m过 m作 mf bc, 垂足为 f,则 mf=mc?sin60o=3 (4m) ，2 s =113327 分cn mf =m ?(4 m) =m3m ， cmn2224 s=s abc s cmn= 43 （3 m23m ）4=3(m2)23 38 分4 =2 时，s取得最小值 3 3 .9 分m点评 此题的第小题将函数与圆的有关知识蕴涵于几何图形中, 以较为新颖的方式出现 ,使问题更具有综合性. 将不规则的四边形转化为三角形来解决, 充分体现了转化思想在解题中的应用 , 由于四边形amnb的面积随着点p 的位置变化而变化, 所以用函数的观点 , 从函数关系式入手探求四边形amnb的最小值 . 本题较好地体现了对学生合情理及转化能力的考查,通过建立面积与动点坐标之间的函数关系式, 利用函数知识求解 .10（ 2009年恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险 ”著称于世 . 著名的恩施大峡谷（a）和世界级自然保护区星斗山（b）位于笔直的沪渝高速公路x同侧，7ab=50km,a、 b到直线 x的距离分别为10km和 40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区p, 向 a、b两景区运送游客. 小民设计了两种方案，图11（ 1）是方案一的示意图(ap与直线 x垂直，垂足为 p),p 到 a、b的距离之和 s1=pa+pb；图 11（