线三等角典型例题

1、线三等角典型例题-作者 : _-日期 : _“一线三等角 ”模型在初中数学中的应用一、 “一线三等角 ”模型的提炼例 1、（ 2015 年山东 德州卷）(1)问题：如图 1，在四边形 abcd 中，点 p 为 ab 上一点， dpc= a= b=90.求证：adbc=apbp.(2)探究：如图 2，在四边形 abcd 中，点 p 为 ab 上一点，当 dpc=a= b=时，上述结论是否依然成立？说明理由 .(3)应用：请利用 (1)、 (2)获得的经验解决问题：如图 3，在 abd 中， ab=6 ，ad=bd=5. 点 p 以每秒 1 个单位长度的速度，由点 a 出发，沿边 ab 向点 b

2、运动，且满足 dpc= a. 设点 p 的运动时间为 t （秒），当以 d 为圆心，以 dc 为半径的圆与 ab 相切，求 t 的值 .变式 1 ( 2012 年烟台 ) ( 1) 问题探究如图 6，分别以 abc 的边 ac 与边 bc 为边，向 abc 外作正方形 acd e11和正方形 bcd2 2，过点 c 作直线 kh 交直线 ab 于点 h，使 ahk = acd 1 作ed1m kh ，d2n kh ，垂足分别为点 m 、n 试探究线段 d1m 与线段 d2n 的数量关系，并加以证明( 2) 拓展延伸1如图 7，若将 “问题探究 ”中的正方形改为正三角形，过点c 作直线 k1h1

3、，k 2 2，分别交直线 ab 于点 h1、 h2，使 ah 1k1=22=acd1 作d1m1 1，2h2，垂足分别为点 m 、n d12bhkk h2hn是否仍成立?若成立，给出证明;若不成立，说明理d nkm = d由2如图 8，若将 中的 “正三角形 ”改为 “正五边形 ”，其他条件不变d1m = d2n 是否仍成立 ? ( 要求 :在图 8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)二、添加辅助线后运用基本图形例 1、在 abc 中， ab =2 ， b = 45 ，以点 a 为直角顶点作等腰 tade ，点 d 在 bc 上，点 e在 ac 上，若 ce=5，求 cd 的长。例

4、 2、 ( 2013 年海淀区一模 22 题最后一问 ) 如图， l1、 l2 、l3 是同一平面内的三条平行线， l1、 l2 之间的距离是 21/5， l2、l3 之间的距离是 21/10，等边 abc 的三个顶点分别在 l1、l2、l3 上，求 abc 的边长例 3、 如图，在矩形纸片 a 中，在 边上取点，现将纸片沿翻折，使点 落在 边上的点 处，当时，求 的长。三、应用举例1、等腰三角形底边上的一线三等角例 1、如图 5，在 三角形 abc 中， ab=ac,d 为 bc 的中点，以 d 为顶点作 mdn= b.(1) 如图 5，当射线 dn 经过 a 时， dm 交 ac边于点 e

5、,不添加辅助线，写出图中所有与三角形的三角形。(2) 如图 6，将 mdn 绕点 d 逆时针方向旋转， dm,dn 分别交线段 ac,ab于 e,f 点，（ e 和ade相似 a 点不重合），不添加辅助线，写出图中所有相似的三角形，并证明。(3) 在图 6 中，若 ab=ac=10， bc=12，当三角形 def的面积等于三角形面积的1/4 时，求线段 ef的长。例 2、 如图 8，在 rt abc 中， ab = ac =2 ， a = 90 ，现取一块等腰直角三角板，将 45角的顶点放在 bc 中点 o 处，三角板的直角边与线段ab 、ac 分别交于点 e、f，设 be =x， cf =

6、y， boe = ( 45 90 )( 1)试求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围 ;( 2)试判断 beo 与 oef 的大小关系 ?并说明理由 ;( 3)在三角板绕 o 点旋转的过程中， oef 能否成为等腰三角形 ? 若能，求出对应x 的值 ; 若不能，请说明理由【例 3】（ 2012 四川 成都卷）如图， abc 和 def 两个全等的等腰直角三角形，bac= edf=90，def 的顶点 e 与 abc 的斜边 bc 的中点重合将 def 绕点 e 旋转，旋转过程中，线段 de 与线段 ab 相交于点 p，线段 ef 与射线 ca 相交于点 q（1） 如图 ，当点 q

7、 在线段 ac上，且 ap=aq时，求证： bpe cqe；（2） （ 2）如图 ，当点 q 在线段 ca 的延长线上时，求证： bpe ceq；并求当 bp=a， cq=9a/2时， p、q 两点间的距离（用含 a 的代数式表示）6、（东城一模 24.） 等边 abc 边长为 6， p 为 bc 边上一点， mpn=60，且 pm、 pn 分别于边ab、 ac 交于点 e、f.（1）如图 1，当点 p 为 bc 的三等分点，且 peab 时，判断 epf 的形状；（2）如图 2，若点 p 在 bc 边上运动，且保持peab，设 bp=x，四边形 aepf 面积的 y，求 y 与 x的函数关系

8、式，并写出自变量x 的取值范围；（3）如图 3，若点 p 在 bc 边上运动，且 mpn 绕点 p 旋转，当 cf=ae=2 时，求 pe 的长 .2、四边形中的一线三等角例 1、如图，正方形abcd 的边长为 1cm，m 、n 分别是 bc、 cd 上两个动点，且始终保持 am mn ，设 bm 的长为 x cm，cn 的长为 y cm.求点 m 在 bc 上的运动过程中 y 的最大值例 2例 3、如图，在等腰梯形 abcd 中， ad bc，bc = 4ad = 4 2 ， b = 45 ，点 e、f 分别在边 bc、cd 上移动，且 aef = 45 ，则点 e 移动过程中，线段 af

9、长的最小值是（ ）例 4如图 ,在梯形 abcd 中， ad bc ， ab dcad 6 ，abc 60 ，点 e，f 分别在线段ad， dc 上（点 e 与点 a，d 不重合），且 bef120 ，设 aex ， df y 求 y 与 x 的函数表达式；当 x 为何值时， y 有最大值，最大值是多少？tan4cad例 4、如图，在直角梯形 abcd 中， adbc， b=90，ab=8，3 ，ca=cd， e、 f 分别是线段 ad、ac 上的动点（点 e 与点 a、d 不重合），且 fec=acb，设 de=x ，cf=y . （1）求 ac 和 ad 的长；（2）求 y 与 x 的函数关系式；（3）当 efc 为等腰三角形时，求x 的值 .bcfaed3、函数问题中的一线三等角例 1、在直角坐标系中，点 a 是抛物线 y= x 2 在第二象限上的点，连结 oa ，过点 o 作 ob oa ，交抛物线于点 b，以 oa 、ob 为边构造矩形 aobc 如图，当点 a 的横坐标为 1/2 时，求点 b 的坐标例 2、如图，已知直线 y = kx 与抛物线 y = 4/27 x2 + 22/3 交于点 a( 3，6) 若点 b 为抛物线上对称