角问题的题型与方法

1、角问题的题型与方法-作者 : _-日期 : _三角问题的题型与方法一复习目标：1熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等2熟悉三角变换常用的方法 化弦法，降幂法，角的变换法等并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明3掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题4熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质5熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、6理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化二考试要求：1理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧

2、度与角度的换算。2掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。3掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。4能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。5了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用 “五点法 ”画正弦函数、余弦函数和函数 y=asin( x+)的简图，理解 a 、 、 的物理意义。6会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x表示。7掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用

3、它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题。三教学过程：（ ）基础知识详析（一）三角变换公式的使用特点21同角三角函数关系式(1)理解公式中 “同角 ”的含义(2)明确公式成立的条件。例如， tan22，当且仅当k +1=sec(3)掌握公式的变形特别需要指出的是sin =tan ，cos cos =cot sin它使得 “弦 ”可以用 “切”来表示(4)使用这组公式进行变形时，经常把 “切 ”、 “割 ”用“弦 ”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法(5)几个常用关系式sin +cos，sin -cos， sin cos；(三式之间可以互相表示)同理可以由sin -cos或 s

4、in cos推出其余两式2 1 sin1 sin当 x0,时，有 sin xxtan x 222诱导公式(1)诱导公式中的角是使公式成立的任意角(2)正确使用诱导公式的关键是公式中符号的确定(3)sin(kkk +-1)=(sin； cos(k +-1)=( cos (k z) 熟记关系式sinxcosxcos x；444cos x4sinx43两角和与差的三角函数(1)公式不但要会正用，还要会逆用(2) 公式的变形应用要熟悉熟记： tan +tan =tan( +-tan)(1 tan，)它体现了两个角正切的和与积的关系(3)角的变换要能灵活应用，如 =( +-)， =-(-)，2 =( +

5、 -)+()等4倍角公式，半角公式(2)使用二倍角的正弦、余弦公式时，公式的选择要准确如已知 sin ， cos，tan 求 cos2时，应分别选择cos2=13(3)余弦的二倍角公式的变形 升幂公式、降幂公式必须熟练掌握要明确，降幂法是三角变换中非常重要的变形方法对 sin3 ， cos3的公式应记住(4)使用正弦、余弦的半角公式时，要注意公式中符号的确定方法正在使用无理表达式时，须要确定符号；在使用两个有理表达式时，无须确定符号，这是与选用无理表达式最大的区别，因此在化简、证明题中，5和差化积、积化和差公式，这两组公式现在不要求记忆，但要会使用(1)要明确，这两组公式是解决正、余弦的加、减

6、、乘的运算关系式(3)对下列关系式要熟记：6 三角变换：三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决7三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点(1)角的变换因为在 abc 中， a+b+c= ，所以sin(a+b)=sinc ； cos(a+b)=-cosc ； tan(a+b)=-tanc 4(2)三角形边

7、、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半在非直角 abc 中， tana+tanb+tanc=tanatanbtanc(4)在 abc 中，熟记并会证明：a ， b ， c 成等差数列的充分必要条件是b=60abc 是正三角形的充分必要条件是 a ， b ， c 成等差数列且 a，b， c 成等比数列8三角形的面积公式：（1） 1 aha 1 bhb 1 chc（ ha、hb、 hc 分别表示 a、b、c 上的高）222（2） 1 1 1absinc2bcsinaacsinb22（3） a 2 sin b sin c b2 sin c sin a c2

8、sin a sin b 2 sin( bc )2 sin(ca)2sin( a b)（4） 2r2sinasinbsinc （ r 为外接圆半径）4r（6） s( sa)( sb)( sc) ； s1 (a b c) 2（7） rs9直角三角形中各元素间的关系：如图，在 abc 中， c90，abc，acb，bca（1）三边之间的关系： a2b2 c2（勾股定理）（2）锐角之间的关系： ab90；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinacosb a ，cosasinb b ，cctgactgb a ， ctgatgb b ba10斜三角形中各元素间的关系:5如图 6-29，在 abc

9、 中， a、 b、 c 为其内角， a、b、c 分别表示 a、b、c的对边（1）三角形内角和 ：a b c （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.abc2rsin asin bsin c（r 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍222a b c 2bccosa，222b c a 2cacosb，222c a b 2abcosc（4）射影定理： a bcosc ccosb，b acosc ccosa，c acosb ccosa11解三角形： 由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少

10、有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设 abc 的三边为 a、b、 c，对应的三个角为a、b、c（1）角与角关系： a+b+c = ，（2）边与边关系： a + b c，b + c a，c + a b，ab c，b c b（3）边与角关系：正弦定理abcsin asin b2r （r 为外接圆半径）sin c2 2 2 2 2 2 2 2 2

11、余弦定理 c = a +b 2bccosc，b = a +c 2accosb， a = b +c 它们的变形形式有： a = 2r sina， sin aa ， cos ab2c 2a 2（4）面积公式：sin bb2bcs1 aha1 bhb1 chc1 absin c1 ac sin b1 bcsin a 222222解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如 a、b、 c），由 a+b+c = 求 c，由正弦定理求a、b（2）已知两边和夹角（如 a、b、c），应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 a+b+c = ，求另一角6（3）已知两边和其中一边

12、的对角（如a、b、 a），应用正弦定理求b，由a+b+c = 求 c，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况（4）已知三边 a、 b、 c，应余弦定理求a、b，再由 a+b+c = ，求角 c（二） 三角函数性质的分析1三角函数的定义域这两种表示法都需要掌握即角x 不能取终边在y 轴上的角函数 y=cotx 的定义域是 x或 (k ， k+)(k z) ，这两种表示法都需要掌握即角 x 不能取终边在 x 轴上的角(2)函数 y=secx、 y=cscx 的定义域分别与y=tanx 、 y=cotx 相同2三角函数的值域(1)由 |sinx|、1|cosx|1得函数 y=cscx

13、、 y=secx 的值域是 |cscx|1、|secx|1(2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域常用的一些函数的值域要熟记y=tanx+cotx (-， -22 ，+)3三角函数的周期性(1)对周期函数的定义，要抓住两个要点：周期性是函数的整体性质，因此f(x+t)=f(x) 必须对定义域中任一个x 成立时，非零常数 t 才是 f(x) 的周期周期是使函数值重复出现的自变量x 的增加值因为 sin(2k +x)=sinx对定义域中任一个 x 成立，所以 2k(k z ，k0)是 y=sinx 的周期

14、，最小正周期是 2同理 2k(k z， k0)是 y=cosx 的周期，最小正周期是2因为 tan(k +x)=tanx对定义域中任一个x 成立，所以k(k z ，k0)是 y=tanx 的周期，最小正周期是同理 k(k z， k0)是 y=cotx 的周期，最小正周期是7(3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用函数的递增或递减区间周期性的出现，每一个三角函数，都有无数个递增或递减区间，这些递增区间互不连接，递减区间也互不连接函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化因为三角函数是周期函数，所以画三角函数图象时，只须画一个周期的图象即可4三角函数的奇偶性，单调性研究函数的单调性，关键

15、是求函数的单调区间5三角函数的图象(1)画三角函数的图象应先求函数的周期，然后用五点法画出函数一个周期的图象(2)函数 y=sinx ， y=cosx ， y=tanx ，y=cotx图象的对称中心分别为z) 的直线（三）思想方法1.三角函数恒等变形的基本策略。22（1）常值代换：特别是用 “1的”代换，如 1=cos +sin =tanx cotx=tan45 等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角： =（ +） ，=2等。2（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。（4）化弦（切）法。将三角函数

16、利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。2b2sin(+)，这里辅助角所在象（5）引入辅助角。 asin +bcos=a限由 a、b 的符号确定，角的值由 tan= b 确定。a8（6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan的有理式。22.证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4.解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角

17、、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析 ”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。（四）注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：1三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值2三角变换的一般思维与常用方法注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如()()212也要注意题目中所给的各角之22间的关系注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切

18、割化弦，互余互化，常数代换等熟悉常数 “1的”各种三角代换：1sin 2cos2sec2tan2cossecsincos0tan2 sin246等注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为tan的代数式，把三角式2转化为代数式但往往代数运算比较繁熟悉公式的各种变形及公式的范围，如sin = tan cos ， 1cos2 cos2， 1costan等2sin2利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理，如221 cos2 sin2， 1 sinsincos， 1sinsincos等从右22222到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积

19、和（差）互化3几个重要的三角变换：sin cos 可凑倍角公式；1 cos 可用升次公式；91 sin 可化为 1cos2，再用升次公式；a sinb cosa 2b 2 sin（其中 tanb ）这一公式应用广泛，a熟练掌握4. 单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数 y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x 的图象都是 “平移 ”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题5. 三角函数的图象的掌握体现在：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用 “五点法 ”作

20、图的基本原理以及快速、准确地作图6.三角函数的奇偶性“函数 y = sin (x ) （r）不可能是偶函数 ”是否正确分析：当时， ysin xcos x ，这个函数显然是偶函数因22此，这个判断是错误的我们容易得到如下结论： 函数 y = sin (x )是奇函数kkz 函数 y = sin (x )是偶函数k2kz 函数 y =cos (x )是奇函数k2kz 函数 y = cos (x)是偶函数kkz7.三角函数的单调性“正切函数 f (x) = tan x， x kkz是定义域上的增函数 ”，是否正2确分析：我们按照函数单调性的定义来检验一下：任取 x1 0 ， x2，显然 x1x2，

21、但 f (x1 )0f (x2 )，与增函22数的定义相违背，因此这种说法是不正确的观察图象可知：在每一个区间k， k2k z 上， f (x ) = tan x2都是增函数，但不能说f (x ) = tan x 在其定义域上是增函数（ ）范例分析例 1、已知 tan2 ，求（ 1） cossin；（ 2） sin 2sin .cos2 cos2的值 .cossinsincossin11tan12cos2 2 ；解：（1）sinsin1tan13cos21cos10(2)22sin 2sincos 2 cos2sinsin cos2cossin2cos2sin2sin222 2 42cos2c

22、os.sin 21213cos2说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。例 2、已知函数 f(x)=tan(sinx)3（1）求 f(x) 的定义域和值域；（2）在（ ，）中，求 f(x) 的单调区间；（3）判定方程 f(x)=tan2 在区间（ ， ）上解的个数。3 sinx 。又函数y=tanx 在解：（1） 1sinx 1333x=k+ (k z)处无定义，2且 （，） , （ , ），2233令sinx= ，则 sinx= 3322解之得： x=k (k z)3 f(x) 的定义域是 a=x|x r，且 xk，kz3tanx 在

23、（，）内的值域为（ ， ），而当xa时，函数2+2y=sinx 的值域 b 满足13（，）b2 2 f(x) 的值域是（ ，+）。（2）由 f(x) 的定义域知， f(x) 在0，中的 x=和 x=2处无定义。33设 t=sinx，则当 x0,)（， 2 ） （ 2， ）时， t0,33333) (, ，且以 t 为自变量的函数 y=tant 在区间（ 0，），（，223223上分别单调递增。又 当 x0， 时，函数 t=sinx 单调递增，且 t 0, )33211当 x （， 时，函数 t=sinx 单调递增，且 t（,32323当 x ， 2) 时，函数 t=sinx 单调递减，且 t（

24、,23323当 x （ 2， ）时，函数 t=sinx单调递减，且t（ ，）3023f(x)=tan(sinx)在区间0，（,上分别是单调递增函数；在13) ,33222, ) 上是单调递减函数。, ), (323又 f(x) 是奇函数，所以区间（， 0 ， 2，) 也是 f(x) 的单调递2233增区间 ,), (, 是 f(x) 的递减区间。332故在区间（ ， ）中 ,f(x) 的单调递增区间为： ，) ，（，233），（， 单调递减区间为 2), (2,22) 。33,3), (,2333（3）由 f(x)=tan2 得：3tan(sinx)=tan(2)sinx=k233+ （k z

25、）33sinx=k3 +6(k z)3又 1sinx 1，32k3233 k=0 或 k= 16当 k=0 时，从 得方程 sinx=3当 k=1 时，从 得方程 sinx= 63 +3显然方程 sinx=6 ,sinx= 3 +6 ，在（ , ）上各有 2 个解，故33f(x)=tan2 在区间（ ，）上共有 4 个解。3说明：本题是正弦函数与正切函数的复合。（1）求 f(x) 的定义域和值域，应当先搞清楚 y=sinx 的值域与 y=tanx 的定义域的交集；（ 2）求 f(x) 的单调区3间，必须先搞清f(x) 的基本性质。如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。12例 3 、已知函数 fx

26、a cos2 x2 3a sin x cos x2ab 的定义域为0 ，值2域为 5，1 ，求常数 a、b 的值解： fxa cos 2x3a sin 2x2a b ，2a cos 2x32ab 0x，2x32， 1cos 2x123323当 a 0 时， b f ( x ) a3+ b， 3ab 1 ， 解得a2 ，b5 .b5 .当 a f(x1x2 )22证明 :tanx1+ tanx2= sin x1 + sin x2 = sin x1 cos x2sin x2cos x1cosx1cos x2cos x1cos x22 sin( x1x2 )12（0，1 2=cos(x1x ,x），

27、且 x xcos(x1 x2 )x2 )2 2sin(x1+x2)0,cosx1cosx20,0cos(x1 x2)1 从而有 0cos(x1+x2 )+cos(x1x2)1 cos( x1=2tan2x2 )另证：以上是采用化弦，放缩后利用公式tan=sin加以证明的，也可以21cos利用正切的和差角公式加以证明。14左边右边 =112x1x22tanx +tanx tan21x1x2x1x2=tanx1tan2+tanx2 tan2211x1x21x1x22x1x22x1x2)=tan(x2) (1+tanxtan2)+tan(x2) (1+tanx tan221x1x2x1x21tanx2tanx1x2)=tan(1+tanx1tan22221x1x2tanx1x212x1x2(0,x1x20=tan2(tanx tanx ) ，22) tan222x1x21212时，同为正，在1 2时，同为负，又 tan2和 tanxtanx 在 xxx 0。2综上 1tan x1x2 tan x12x2 (tanx1tanx2)0，即 1f(x 1)+f(x 2)f(x1x2 )2222说明：在三角函数恒等式、条件等式、不等式证明中，常采用化弦法。本题解法一是化弦，了解决把两个分数的单角转化为和角，同时又使函数值适当缩小。例 7、如图， a 、b 是一矩 oefg 边界上不