知名机构高中讲义[20170920][必修五第12讲均值不等式]情景导入(2)_第1页
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1、第 12 讲均值不等式本课采用探究式学习方法，以学生为主题，探讨几何中的数量关系，从而得到不等式的大小比较 .下面是本课的情景创设 .1.问题刻画ab基本不等式ab的几何背景：如图是在北京召开的2第 24 界国际数学家大会的会标， 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。2.合作探究问题1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关）问题 2：:我们把 “风车 ”造型抽象成图在正方形 abcd 中有 4 个全等的直角三角形 .设直角三角形的长为 a 、 b ，那么正方形的边长为多少？面积为

2、多少呢？生答： a2b 2 ， a2 b 2问题3：那 4 个直角三角形的面积和呢？生答： 2ab问题 4：好，根据观察4 个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，a 2b 22ab 。什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即ab 时，正方形efgh 变成一个点，这时有a 2b 22ab结论：（板书）一般地，对于任意实数a 、 b ，我们有 a2b 22ab ，当且仅当 ab 时，等号成立。问题5：你能给出它的证明吗？ (学生尝试证明后口答,老师板书 )证明 : a2b 22ab (a b )2 ,当 ab时，(a b )20,当 ab时 ,(

3、a b )20,所以a2b 22ab注意强调当且仅当 ab 时, a2b 22ab特别地 ,如果 a0, b0, 用 a和 b 分别代替 a、 b , 可得 a b 2 ab ,也可写成abab (a0,b0) ,引导学生利用不等式的性质推导：两个正数的算术平均数不小于它2a b们的几何平均数ab23.揭示问题在右图中， ab 是圆的直径，点c 是 ab 上的一点， ac=a,bc=b 。过点 c 作垂直于 ab 的弦de ，连接 ad 、bd 。你能利用这个图形得出基本不等式abab的几何解释吗？2易证 t ad t db，那么 d 2 a b，即 dab .这个圆的半径为ab ，显然，它大于或等于cd，即 abab ，22其中当且仅当点c 与圆心重合，即 a b 时，等号成立 .因此：基本不等式abab几何意义是 “半径不小于半弦 ”24.评述如果把 ab 看作是正数a、 b 的等差中项

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