高一数学教案：平面向量的坐标运算(2)

1、课题：平面向量的坐标运算（2）教学目的：（ 1）理解平面向量的坐标的概念；（ 2）掌握平面向量的坐标运算；（ 3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课课时安排： 1 课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则2向量加法的交换律：a + b = b +a3向量加法的结合律：( a +b ) + c = a + (b + c )4向量的减法向量a 加上的 b 相反向量， 叫做 a 与 b的差 即： ab = a +

2、( b)5差向量的意义：oa = a,ob = b, 则 ba = ab即 a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量a 的终点的向量6实数与向量的积：实数与向量a 的积是一个向量，记作：a（1） | a |=| | a | ；（ 2） 0时 a 与 a 方向相同； 0时 a 与 a 方向相反； =0时 a =07运算定律aaaaa， (a+b)=a+b ( )=( )， (+)=+8 向量共线定理向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是： 有且只有一个非零实数，使b = a9平面向量基本定理：如果e1 ， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对

3、实数1， 2 使 a = 1 e1 +2 e2(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一 1， 2 是被 a ， e1 ， e2 唯一确定的数量第 1页共 4页10 平面向量的坐标表示分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i 、 j 作为基底 任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、 y ，使得 axi yj把 (x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作 a( x, y)其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做

4、a 在 y 轴上的坐标，特别地， i(1,0) ， j(0,1) ， 0(0,0)11平面向量的坐标运算若 a(x1, y1 ) ， b ( x2 , y2 ) ，则 ab( x1x2 , y1y2 ) ， ab( x1x2 , y1y2 ) ， a ( x, y)若 a(x1 , y1 ) ， b( x2 , y2 ) ，则 abx2 x1, y2 y1二、讲解新课：a b( b 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0设 a =(x1, y1) ， b =(x2, y2)其中 bax1x2由 a = b 得， (x1, y1) = (x2, y2)y1y2消去， x1y2-x2y1=0探

5、究：（ 1）消去时不能两式相除，y1, y2 有可能为0， b0 x2, y2 中至少有一个不为0y1y2（2）充要条件不能写成x1x2 x1, x2 有可能为 0(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：aba b ( b 0 )x1 y2x2 y10三、讲解范例：例 1 若向量 a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线且方向相同，求 x解： a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线(-1) 2- x?(-x)=0 x=2 a 与 b 方向相同 x= 2例 2已知 a(-1, -1), b(1,3), c(1,5) ,d(2,7) ,向量 ab 与 cd 平行吗？直线 ab与平行于

6、直线 cd第 2页共 4页吗？解： ab =(1-(-1), 3-(-1)=(2, 4), cd =(2-1,7-5)=(1,2)又 2 2-4 1=0 ab cd又 ac =(1-(-1), 5-(-1)=(2,6)ab =(2, 4)2 4-2 6 0 ac 与 ab 不平行a，b， c 不共线ab 与 cd 不重合 abcd四、课堂练习：1 若 a=(2,3),b=(4,-1+y)，且 a b，则 y=（）a 6b 5c 7d 82 若 a(x,-1),b(1,3),c(2,5)三点共线，则x 的值为（）a -3b -1c 1d 33 若 ab =i+2j,dc =(3-x)i+(4-y

7、)j(其中 i、 j 的方向分别与 x、 y 轴正方向相同且为单位向量 )ab 与 dc 共线，则x、 y 的值可能分别为（）a 1，2b 2， 2c 3， 2d 2， 44 已知 a=(4,2),b=(6,y),且 a b，则 y=5 已知 a=(1,2),b=(x,1),若 a+2b 与 2a-b 平行 ,则 x 的值为6 已知 abcd四个顶点的坐标为 a(5， 7)，b(3,x),c(2,3),d(4,x)，则 x=1参考答案： 1 c 2 b 3 b 4 35 2 6 5五、小结向量平行的充要条件（坐标表示）六、课后作业：1若 a=(x ,y )， b=(x， y )，且 a b,则

8、坐标满足的条件为（）a x xb c d 312设 a=( 2， sin )， b=(，3 )，且 a b，则锐角为（）a 30b 60c 45d 753设 k，下列向量中，与向量a=(1,-1)一定不平行的向量是（）a (k,k)b (-k,-k)c (k， )d （，）4若 a(-1,-1),b(1,3),c(x,5)三点共线，则 x=5已知 a=(3,2),b=(2,-1),若 a+b 与 a+ b（）平行，则6若 a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同，则 x=7已知 a=(1,2),b=(-3,2)，当 k 为何值时 ka+b 与 a-3b 平行 ?8已知 a、 b、 c、 d 四点坐标分别为 a(1,0),b(4,3),c(2,4),d(0,2)，试证明：四边形abcd 是梯形第 3页共 4页1ac,bf1