高一数学教案：柱锥台和球的体积1

1、柱、锥、台和球的体积(1)教学目标： 了解柱、锥、台的体积的计算方法教学重点： 了解柱、锥、台的体积的计算方法教学过程：（一）祖暅原理：祖暅 ( 音 gng) ，一名祖暅之，是祖冲之的儿子，他的活动时期大约在公元504 526 年祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献祖暅的主要工作是修补编辑祖冲之的缀术他推导球体积公式的方法非常巧妙根据中国算书九章算术中李淳风的注释，下面我们使用现代的术语，并将原来的图形略加修改，把祖暅当时推导球体积公式的方法介绍如下：作一个几何体v1底面 oabc是一个正方形，边长为r( 图 2-18) 高取一点 s，过点 s 与底面平行的截面为spqr，设它的边长为a，

2、os为 h，则截面面积a2=r 2-h 2另取一个边长为r 的正方体v2( 图 2-19) ，连结 o d， oc， o a，锥体 o -a b cd记作 v3， v2-v 3 是正方体 o d挖去锥体 o -a b c d剩下的几何体下面来证明v1=v2-v 3设平行于底面与底面距离为223的截面是h 的平面，截 v 的截面是正方形 p ts m，面积等于 r ，截v正方形 qtr n，面积等于 h2( 因为 qt=o t=h) ，所以这两个正方形的差形成曲尺形pq nr s m，它的面积等于 r 2-h 2比较 v1 与 v2-v 3 在等高 (h) 处的截面，它们的面积都是r 2-h 2

3、，因此体积相等，即v1 =v2-v 3祖暅原理的原文是“幂势既同，则积不容异”“幂”是截面积，“势”是几何体的高意思是：两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么几何体的体积相等这就是现在说的：夹在两个第 1页共 3页平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等积为 v4( 是未知数 ) 和 v1 比较，在高h 处的截面积c ef 是以 a 为半祖暅提出的“幂势既同，则积不容异” ，及“体积之比等于对应截面积之比” ，在这里是当作公理使用提法“幂势既同，则积不容异” ，在西方通常叫做“卡瓦列利原理” (caval

4、ierisches ， prinzip) 卡瓦列利 米兰 milan( 现意大利城市) 人 在他的名著连续不可分几何中提出这一原理，这本书出版于1635 年（二）长方体的体积vsh（三）利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等，故柱体的体积为：vsh（四）利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等（五）三棱住可以分割成三个体积相等的锥故锥体的体积为v1 sh3第 2页共 3页（六）利用两个锥体做差可得台体的体积公式v1 (s ss s)h3（七）例子：(1) 长方体的三个面的面积分别为2、 6 和 9，则长方体的体积为 (2) 平行六面体abcd-a1b1c1d1 中，在从 b 点出发的三条棱上分别取其中点e、 f、 g，则棱锥b-efg的体积是平行六面体体积的(3) 如果一个正四面体的体积为9dm3，则其表面积 s 的值为 棱锥的体积是(5) 设正三棱柱的外接圆柱体体积为v1，内切切圆柱体积为 v2 ，则 a v1 v2= 1b v1 v2=21c v1 v2=4 1d v1v2=8 1课堂练习： 教材第 33 页 练习 a1.