高一数学教案：苏教版用二分法求方程的近似解2

1、第 30 课时 用二分法求方程的近似解（2）【教学目标】 1使学生进一步理解利用二分法求方程的近似解的思想方法，能灵活地使用二分法求某些方程的近似解2通过本节内容的学习，进一步培养学生的运算能力，数形结合，化归转化分类讨论等意识【学习指导】 用二分法求函数 f(x) 零点的步骤是：第一步：确定区间 a，b ，并验证 f(a)f(b) 0，同时给定精确度 ；第二步：求区间 (a，b)的中点 x1；第三步：计算 f(x 1)；（1）若 f(x 1)=0，则 x1 就是函数的零点；（2）若 f(a) f(x 1)0，则令 b=x1（此时零点 x0(a，x1)）；（3）若 f(a) f(x 1)0，则

2、令 a=x1（此时零点 x0(x1，b)）第四步：判断是否达到精确度 ：即若 |a-b| ，则得到零点近似值 a 或 b；否则重复第二步 第四步本节的重点是通过一些例题的分析与解决进一步培养学生的运算能力，数形结合，化归转化等意识，以提高学生的数学涵养难点是有些题目的计算比较烦，一定要让学生耐心去算【例题精析】例 1书本 p80 例 3，例 5书本上的这两道题体现的方法比较好，要让学生掌握例 2求方程 x39x211x10 0 的一个实数解，精确到 0.01【分析】二分法求方程实数解的思想是非常简明的，但是为了提高解的精确度，用二分法求方程实数解的过程又是比较长的，有些计算不用工具甚至无法实施

3、，这就需要借助于科学计算器【解法】 经检验， f(0) 100，f(1) 9 0，所以函数 f(x)x3 9x2 11x 10 在 0，1内有解如上下去，得到方程x3 9x2 11x 100 实数解所在区间的下表左端点右端点第 1 次01第 2 次0.51第 3 次0.50.75第 4 次0.56250.625第 5 次0.593750.625第 6 次0.6093760.625第 7 次0.61718760.625第 8 次0.61718760.62109375至此，可以看出，区间0.6171876 0.62109375内的所有值，若精确到0.01，都是 0.62，所以 0.62 是方程 x

4、3 9x2 11x 100 精确以 0.01 的实数解第 1 页共 4 页【评注】选好初定区间是使用二分法求近似解的前提条件， 而耐心的计算又是最终解决问题的关键，培养学生的运算能力是老师非常重要的任务例 3已知函数 f(x) ax x-2 （a1）x 1证明： f(x)在（ 1，）上增函数；证明： f(x)0 没有负数根；若 a 3，求方程 f(x)0 的根（精确到 0.1）【分析】二分法是一种重要的计算方法，在求方程的根、函数的零点以及现实生活中却有十分重要的应用，也是高考的热点内容x【解法】（ 1） f(x)a 1（ a1）函数 yax（a1），y13在（ 1，）均为增函数，x1f(x)

5、ax 13（ a 1）在（ 1，）为增函数x 1 f(x)在（ 1，）上为增函数当x（， ）时，3 恒小于 011x故当 x（， 1）时， f(x)恒大于零f(x)0 在（， 1）上没有实根当 x（ 1， 0）时， f(x)在（ 1，0上为增函数，计算f(0) 10故对任意 x（ 1， 0均有 f(x)0 , 方程 f(x) 0 没有负数根若 a 3，则 f(x)3x x-2x 1计算 f(0) 10，f(1)2.50根据解的存在性定理可知 f(x) 0 在（ 0,1）上有实根利用二分法即可求得它的一个根为 0 3【评注】本题欲证函数的单调性常有两种方法，一是定义法，二是利用复合函数单调性，对

6、于本题而言，利用复合函数单调性来说明显得简单对于方程的根的探讨常常借助于解的存在性定理来判别例 4已知关于 x 的方程 ax 2bxc 0 ，其中 2a 3b 6c 0 当 a=0 时，求方程的根； 当 a0 时，求证：方程有一根在0 和 1 之间【分析】 可以利用解的存在性定理来进行证明【解法】 a0 时， 3b6c0， b2c，方程为 bx c0 xc从而可得 x1 b2 a 0 时，b 24ac( 2 a2c)24ac4 a 24 ac 4c24 (a3 c)23c2039392方程 ax2bxc0 有两个根第 2 页共 4 页 c0 时， f (0)c0 ,f (1)abc ，由 2a

7、3b 6c 0 得b2 a2c，f (1)a2 a2cc1 a c0 .333 f (0)f (1) 0，故f ( x) 0有一根在（ 0，1）内 c0 时， f ( 1)1 a24 f ( 1 )1 a2a2c243a0 ， c01 b c， b2 a 2c ，235ac ，c12f ( 1)0 ，2f (0)f ( 1)0 ，故f ( x)0有一根在（ 0， 1 ）内22由 ，可知ax2bxc0 有一根在（ 0，1）内【评注】分类讨论是高中数学里一十分重要的思想方法，本题中由于无法确定c 的符号，故必须对c 进行讨论，并且当 c0 时是证明了 f (0)f ( 1 )0 ，而不是证明2f

8、( 0)f (1)0，这一点要予以注意【本课练习】1方程 x5-5x2-lgx=0 在区间（ 1，10）内的实数解的个数是（）a 3b2c 1d02已知函数 f(x)=ex+x 3-2x，则在下列区间中， f(x) 必有零点的为（）a （ -4，-3） b（-3，-2） c（-2， -1） d（ -1，0）3方程 2x3 -4x2-3x= -3 在区间（ 0， 1）内的近似解为（精确到 0.01）4方程 x7+7x+7=0 有多少个实数解？怎样证明？如果方程有解，请用二分法求出它的近似值（精确到0.1）5指出方程 lgx+x=0 存在实数解 ,并给出一个实数解存在的一个区间.（要求区间长度小于

9、 1）6若方程 7 x2(k 13) xk 2k20的两根分别在（ 0，1）和（ 1，2）内，求 k 取值范围7已知二次函数 f ( x) ax 2bxc 若 abc 且 f(1)=0，证明： f(x) 的图象与 x 轴相交证明：若对 x1, x2r 且 x1x2, f ( x1 ) f (x2 ) ，则方程 f ( x)f ( x1 )f ( x2 ) 必有2一实根在区间 ( x1 , x2 ) 内附答案 1c 2 c 3 0.63 4利用函数的单调性可证明方程最多只有一解，而又由特殊值知 f(-1) f(0) 0，于是由根的存在定理知，方程只有唯一的实根，利用二分第 3 页共 4 页法可得

10、方程的近似值为 -0.925 令函数 f(x)=lgx ， g(x)= -x在同一直角坐标系内作出它们的图象如图所示由图可知，两图象存在唯一的一个交点 a ，于是点 a 的横坐标就是方程 lgx+x=0 的实数解由图易知，点 a 的横坐标小于0.5，且大于 0.1，y故 实数解存在的一个区间可以是 (0.1，0.5)f(x)=lgx事实上，令 (x)=lgx+x ，则o1x(0.1)=lg0.1+0.1= -0.90，a(0.5)=lg0.5+0.50.20，g(x)= -x (0.1) (0.5)0又 (x)的图象是连续不断的，故方程在(0.1，0.5)内必有实数解6 k ( 2, 1) (3,4)7 f(1)=a+b+c=0 且 abc a0 且 c0 b 24ac0 f(x) 的图象与 x轴相交设 g (x) g( x1 ) g( x2 )f ( x)f ( x1 ) f (x2 )则 g(x